Колебания

Шестая неделя дважды отклоняла тело на малый угол: брусок от вращения вокруг оси, трубу от равновесия, и ответы вышли разные. Брусок, раскрученный вокруг оси наибольшего или наименьшего момента, при малом отклонении оси только покачивается, а вокруг средней оси кувыркается (Отпустим тело без опор). В задаче шестой недели фабричная труба, треснувшая у основания, стояла вертикально в равновесии и всё же упала (Падающая труба). Эта глава разбирает случай, когда отклонение от равновесия остаётся малым и система качается около него. Тело на оси войдёт в неё маятником, который возьмёт у шестой недели угол, момент инерции $I_A$ и произведение $ma$ массы на расстояние от оси до центра масс готовыми (Закроем счёт главы, Физический маятник).

От твёрдого тела линия курса ведёт к деформациям, которые договорённость шестой недели запретила; их вернёт восьмая неделя (Спросим, как поедет торец стержня). Колебания встают между ними, потому что так движутся и материальная точка, и твёрдое тело, и даже заряд в электрическом контуре. Колебания, затухающие и незатухающие, бывают и при обучении нейросетей. В конце главы трение тяжёлого шарика будет настроено так, чтобы он быстрее всего сел на дно оврага, и тем же рассуждением настраивают метод градиентного спуска с импульсом (Настроим трение на овраг).

Подвесим пружину вертикально

Груз массой $0{,}1$ кг на горизонтальной пружине жёсткостью $10$ Н/м качается с периодом $0{,}63$ с (Пружинный маятник). Повесим ту же пружину с тем же грузом вертикально. Вес растянет её, и равновесие уйдёт вниз на $mg/k = 9{,}8$ см, как в задаче четвёртой недели о грузе на пружине (Работа при растяжении пружины с грузом). Оттянем груз от нового равновесия и отпустим. Период останется прежним, $0{,}63$ с: постоянная сила сдвинула равновесие, а частоту не тронула.

Спросим о маятниках на Луне

Теперь отвезём на Луну оба груза: тот, что висит на пружине, и груз метрового маятника. Ускорение свободного падения на Луне $1{,}62$ м/с², примерно вшестеро меньше земного $9{,}81$ м/с², и вес каждого груза во столько же раз меньше, а масса прежняя. Изменятся ли периоды?

Ожидания здесь расходятся. Пружина только что показала, что вес сдвигает равновесие и не трогает частоту, и по этому правилу на Луне не изменится ни один период: вес там всего лишь меньше. А маятник на Луну отвозила ещё первая неделя, и в её опыте он качался в $2{,}46$ раза медленнее, чем на Земле (Маятник: журнал опытов).

Демка показывает, что правило пружины верно для пружины, а опыт первой недели для маятника (Одна яма, одно уравнение). Пружину на Луне вес растягивает на $1{,}6$ см вместо $9{,}8$ см на Земле, а период у груза прежний, $0{,}63$ с (рис. 1). Маятник на Луне качается с периодом $4{,}94$ с вместо $2{,}01$ с на Земле, в $\sqrt{9{,}81/1{,}62} = 2{,}46$ раза медленнее.

Тяжесть в этих двух системах делает разное. Груз на пружине возвращает упругость, и жёсткость $k$ принадлежит самой пружине, на Луне она та же, а вес входит в сумму сил постоянным слагаемым. Груз маятника возвращает сама тяжесть: нить держит его на дуге и тянет к подвесу, а к нижней точке груз тянет составляющая веса вдоль дуги. На Луне эта составляющая слабее при той же массе груза, и вместе с $g$ уменьшается жёсткость маятника, которую глава найдёт равной $mgl$ (Динамический и энергетический методы). Когда постоянная сила меняет жёсткость, а когда только сдвигает равновесие, глава разберёт отдельно (Сдвинем равновесие постоянной силой).

Назовём, на чём держится глава

Ответ о Луне держится на том же, на чём держится вся глава. Утверждений у неё два.

1. Около устойчивого равновесия малые колебания идут по одному уравнению, и частоту задают кривизна потенциала и инерция. Груз на пружине, маятник, тело на оси и электрический контур подчиняются разным законам, а уравнение у них одно: в равновесии сила равна нулю, и при малом отклонении в ней остаётся только член, пропорциональный смещению. Кривизной потенциала глава называет вторую производную потенциальной энергии в равновесии. На языке сил ей отвечает жёсткость, и что это одно и то же, показано в Динамический и энергетический методы. Инерция в обоих методах одна: масса, момент инерции, индуктивность. Первая часть главы выводит уравнение и рецепт получения частоты (Частота из кривизны потенциала), вторая смотрит, как меняются жёсткость и инерция: у тела на оси, под постоянной силой и у двух тел, скреплённых пружиной.
2. Затухание мерят числом колебаний системы. Трение входит в уравнение таким же первым членом, только пропорциональным скорости, и на интервале, малом против этого числа периодов, трением можно пренебречь (Измерим трение числом колебаний).

За малое отклонение платит амплитуда. В модели период от неё не зависит, а у настоящего маятника растёт, и насколько, глава покажет числом (Измерим период на большой амплитуде). Нового механического закона неделя не вводит: уравнения колебаний дают второй закон Ньютона и уравнение моментов, а новое в том, что из них следует около равновесия. В конце главы шесть систем сведены в одну таблицу (Закроем счёт главы).

Качели после толчка и ток в контуре из катушки и конденсатора движутся по-разному, но у этих движений есть общее: система раз за разом проходит около одного и того же состояния. Колебаниями называют процесс изменения состояния системы около равновесия, который в той или иной степени повторяется во времени. Повторение не обязано быть точным: следующий цикл может быть лишь похож на предыдущий, как размах качелей, который понемногу убывает.

Отличим устойчивое равновесие от неустойчивого

Равновесием называют состояние, в котором система может оставаться сколь угодно долго. Сила, действующая на каждое её тело, в равновесии равна нулю, а у тела на оси равен нулю и момент сил. Если положение системы задаёт одна координата $x$ и у сил есть потенциальная энергия $U(x)$, равновесие стоит там, где её производная равна нулю, $\left.\dfrac{dU}{dx}\right|_{x_0} = 0$ (Найдём силу по потенциальной энергии).

Около разных равновесий системы ведут себя по-разному. Если при малом отклонении возникает сила, которая тянет систему обратно, равновесие устойчивое, и у потенциальной энергии здесь минимум; в задаче четвёртой недели такое равновесие было у двух молекул, там, где сила между ними меняет знак (Равновесие в потенциале Леннарда-Джонса). Если сила уводит систему дальше, равновесие неустойчивое, и у энергии здесь максимум. Маятник на лёгком стержне, поставленный грузом вверх, стоит в равновесии, но малое отклонение его роняет; груз на нити так не стоит, нить его не толкает. Метровый маятник на стержне, отпущенный из покоя рядом с верхней точкой, удаляется от неё в $e$ раз примерно за полсекунды, за $0{,}53$ с (Частота из кривизны потенциала). Бывает и безразличное равновесие. Тело, подвешенное на оси, которая проходит через его центр масс, остаётся в покое при любом угле поворота, и колебаться ему не с чего (Физический маятник).

Колебания возникают около устойчивого равновесия, когда систему из него вывели. Если отклонение мало, а у потенциальной энергии в минимуме есть кривизна, колебания гармонические (Частота из кривизны потенциала). Колебания бывают и без этого, только период у них, как правило, зависит от амплитуды (Колебания без линейной силы).

Разделим колебания на виды

Чаще всего колебания делят по тому, что их поддерживает.

• Свободные колебания идут, когда систему вывели из равновесия и предоставили самой себе, а трения нет. Так свободные колебания понимаются в этой главе. Многие учебники называют свободными любые колебания без внешних воздействий, и тогда затухающие тоже свободные.
• Затухающие колебания идут с трением: оно отнимает энергию, и амплитуда понемногу убывает.
• Вынужденные колебания навязывает системе внешняя периодическая сила.
• Параметрические колебания раскачивает изменение параметров самой системы. Сидящий на качелях откидывается назад и вытягивает ноги, когда качели идут вперёд, а когда они идут назад, садится прямо и поджимает их. Положение его тела относительно подвеса при этом меняется, то есть меняется сама система. Но раскачка сидя не чисто параметрическая. Поворачивая тело на сиденье, человек раз за период подталкивает качели моментом сил, и у сидящего этот толчок даёт больше, чем изменение длины маятника: такая раскачка ближе к вынужденным колебаниям. Энергия груза, у которого по ходу колебаний меняют жёсткость пружины, тоже не сохраняется (Выясним, когда механическая энергия сохраняется).

Трение есть у всякой настоящей системы, и свободные колебания остаются моделью. Колебания можно считать свободными, если система успевает совершить много колебаний раньше, чем трение скажется. Сколько это «много», глава сосчитает в конце (Измерим трение числом колебаний).

Глава разбирает первые два вида. Сначала свободные колебания на четырёх системах: грузе на пружине (Пружинный маятник), маятнике (Математический маятник), электрическом контуре (Электромагнитные колебания) и теле на оси (Физический маятник). Затем постоянная сила и два тела (Сдвинем равновесие постоянной силой, Приведённая масса в роли инерции), большая амплитуда (Измерим период на большой амплитуде) и трение (Затухающие колебания). Вынужденные и параметрические колебания здесь не разбираются.

Груз массой $m$ лежит на гладком горизонтальном столе и прикреплён к пружине жёсткостью $k$, второй конец которой закреплён (рис. 2). Выведем груз из равновесия и отпустим. Как он будет двигаться и от чего зависит время одного колебания? Трение о стол и массу пружины не учитываем. Трение даст затухание, о нём конец главы (Затухающие колебания), а массой пружины можно пренебречь, пока она мала против массы груза.

Решим задачу динамическим методом, вторым законом Ньютона (Дадим имя тому, что меняет импульс: второй закон). Смещение груза от равновесия обозначим $x$. Пружина действует на груз силой $F = -kx$. Пока растяжение мало, сила пропорциональна ему (закон Гука), а знак минус говорит, что сила направлена к равновесию: растянули пружину, $x > 0$, и она тянет груз назад, сжали, $x < 0$, и она толкает его вперёд. При больших деформациях пропорциональность нарушается; что тогда бывает с колебаниями, разобрано отдельно (Колебания без линейной силы). Уравнение движения груза:

где $\ddot{x}$ ускорение груза. Разделим на $m$:

и обозначим

Уравнение принимает вид

Систему, движение которой подчиняется этому уравнению, называют гармоническим осциллятором. Проверим размерность: жёсткость измеряется в ньютонах на метр, $[k] = \text{Н}/\text{м} = \text{кг}/\text{с}^2$, поэтому $k/m$ имеет размерность $1/\text{с}^2$, и $\omega$ измеряется в обратных секундах.

Угадаем решение и проверим

Уравнение содержит вторую производную, это дифференциальное уравнение второго порядка. Общих методов решения таких уравнений у нас пока нет, поэтому решение угадаем. Нужна функция, которая после двух дифференцирований возвращается сама, умноженная на отрицательное число. Так ведут себя косинус и синус. Попробуем

с постоянными $A$ и $\psi_0$. Первая производная

и вторая

Подставим их в уравнение $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$:

Равенство выполняется при любых $A$ и $\psi_0$. Эти два числа остаются свободными, и выбирают их начальные условия. Знак минус в законе силы здесь и сработал. Будь в уравнении плюс, $\ddot x = +\omega^2 x$, вторая производная повторяла бы функцию со своим знаком, так ведёт себя экспонента, и груз уходил бы от равновесия, как перевёрнутый маятник (Что такое колебания).

Прочтём амплитуду, фазу и период

Число $A$ называют амплитудой: это наибольшее отклонение груза от равновесия, потому что косинус не выходит за единицу. Аргумент косинуса $\omega t + \psi_0$ называют фазой. Фаза показывает, в какой точке цикла находится груз, а $\psi_0$ есть фаза в момент $t = 0$, начальная фаза. Величину $\omega$ называют циклической частотой. Косинус повторяется, когда фаза набирает $2\pi$, поэтому период колебаний

Для груза $m = 0{,}1$ кг на пружине жёсткостью $k = 10$ Н/м получаем $\omega = \sqrt{10/0{,}1} = 10$ рад/с и период $T \approx 0{,}63$ с.

Колебание можно увидеть как тень равномерного вращения. Пусть точка бежит по окружности радиуса $A$ с постоянной угловой скоростью $\omega$, и в момент $t$ её радиус повёрнут от оси $x$ на угол $\omega t + \psi_0$. Проекция точки на ось $x$ равна $A\cos(\omega t + \psi_0)$ и повторяет движение груза. Фаза при этом есть угол точки на окружности, а циклическая частота её угловая скорость. Пятая неделя видела это у тяготения: тело, которое падает в шахту через центр однородной планеты, всё время идёт точно под спутником, облетающим планету у самой поверхности (Шахта через планету).

Найдём амплитуду и фазу из начальных условий

Пусть в момент $t = 0$ груз оттянут на $x_\text{н} > 0$ и отпущен без толчка: $x(0) = x_\text{н}$, $\dot x(0) = 0$. Подставим это в решение:

Второе уравнение даёт $\sin\psi_0 = 0$, то есть $\psi_0 = 0$ или $\psi_0 = \pi$. Обе записи описывают одно и то же движение, потому что $A\cos(\omega t + \pi) = -A\cos\omega t$, и договоримся считать амплитуду положительной, $A > 0$. Тогда при $x_\text{н} > 0$ первое уравнение даёт $\psi_0 = 0$ и $A = x_\text{н}$, и закон движения груза

Если в начальный момент груз ещё и толкнули, амплитуда выйдет больше $x_\text{н}$, а начальная фаза ненулевой. Два начальных условия, координата и скорость, всегда задают два свободных числа решения, $A$ и $\psi_0$.

Найдём их в общем случае. Пусть в момент $t = 0$ груз находится в точке $x_\text{н}$ и движется со скоростью $v_\text{н}$. Подставим $t = 0$ в решение и в его первую производную:

Это система двух уравнений для двух неизвестных, $A$ и $\psi_0$. Запишем её как $A\cos\psi_0 = x_\text{н}$ и $A\sin\psi_0 = -v_\text{н}/\omega$. Сложим квадраты уравнений, и косинус с синусом уйдут, потому что $\cos^2\psi_0 + \sin^2\psi_0 = 1$. Поделим второе уравнение на первое, и уйдёт амплитуда:

Тангенс задаёт угол с точностью до $\pi$, поэтому четверть выбирают по знакам: при $A > 0$ косинус начальной фазы одного знака с $x_\text{н}$, а синус одного знака с $-v_\text{н}$. Если груз толкнули прямо из равновесия, $x_\text{н} = 0$, тангенс не определён, и $\psi_0 = -\pi/2$ при $v_\text{н} > 0$. При $v_\text{н} = 0$ и $x_\text{н} > 0$ формулы дают прежние $A = x_\text{н}$ и $\psi_0 = 0$.

Оттянем наш груз на $3$ см и толкнём дальше от равновесия со скоростью $0{,}4$ м/с. Тогда $v_\text{н}/\omega = 4$ см, амплитуда $5$ см, больше начального отклонения, и $\operatorname{tg}\psi_0 = -4/3$. Косинус фазы положителен, синус отрицателен, и $\psi_0 \approx -0{,}93$ рад, около $-53°$.

Заметим, что период от амплитуды не зависит

В период входят только масса и жёсткость, амплитуды в нём нет. Оттянем груз на $1$ см или на $5$ см, и в обоих случаях он вернётся через те же $0{,}63$ с. Оттянутый дальше груз проходит больший путь, но и сила на нём во столько же раз больше, и одно уравновешивает другое. Третья неделя уже встречала это свойство: мяч с линейной оболочкой отскакивает от стены за время $\pi\sqrt{m/k}$, полпериода, при любой скорости налёта (Мяч у стены). Пятая назвала его у упругой силы, растущей пропорционально расстоянию до центра: все орбиты у неё замкнуты, и период от размера орбиты не зависит (Отличим обратный квадрат от других законов). У маятника на большой амплитуде период уже растёт (Измерим период на большой амплитуде).

Скажем, что требует гармоничности

Из примера с пружиной не следует, что колебаниям нужна сила, пропорциональная смещению. Колебания возникают около любого устойчивого равновесия, если систему из него вывели, а трение мало. Пропорциональность силы смещению делает их гармоническими: закон движения тогда косинус, и период от амплитуды не зависит. Без пропорциональности колебания остаются, но у силы, симметричной относительно равновесия, период начинает зависеть от амплитуды (Колебания без линейной силы).

Пружина, сила которой пропорциональна растяжению, даёт гармонические колебания с периодом, который от амплитуды не зависит (Пружинный маятник). Что будет, если сила растёт с отклонением как-то иначе?

Возьмём три других закона силы

Пусть пружина отвечает на растяжение силой, которая растёт как квадрат растяжения: на метр она тянет назад с силой $1$ Н, на десять метров уже с силой $100$ Н, и на сжатие отвечает так же. Её сила $F = -k_2\,x|x|$ с $k_2 = 1$ Н/м². Груз массой $0{,}1$ кг на такой пружине, лёжа на гладком столе, качается около положения, где пружина не растянута, но период у него зависит от амплитуды: при амплитуде $1$ м он равен $2{,}17$ с, при амплитуде $4$ м вдвое меньше, $1{,}09$ с.

Отношение этих чисел видно уже из размерностей, как в первой неделе (Пи-теорема). Период может зависеть только от массы $m$, постоянной $k_2$ и амплитуды $A$: других величин у задачи нет. Постоянная $k_2$ измеряется в Н/м², то есть в кг/(м·с²), и из четырёх величин $T$, $m$, $k_2$ и $A$ с тремя независимыми размерностями складывается одна безразмерная комбинация, $T\sqrt{k_2A/m}$. Зависеть ей не от чего, поэтому $T = C\sqrt{m/(k_2A)}$ с постоянным числом $C$, и учетверённая амплитуда даёт вдвое меньший период. Самого числа $C$ размерности не дают (Закон не зависит от того, в чём мы меряем), его даёт закон сохранения энергии; вывод свёрнут ниже.

Найдём число $C$ из закона сохранения энергии

Пружина, растянутая или сжатая на $|x|$, запасает энергию $U = k_2|x|^3/3$: это работа против её силы $k_2x^2$. Груз отпущен из покоя на амплитуде $A$, и закон сохранения энергии (Выясним, когда механическая энергия сохраняется) даёт его скорость в точке $x$:

$$v = \sqrt{\frac{2k_2\,(A^3 - |x|^3)}{3m}}$$

От края до положения, где пружина не растянута, груз идёт четверть периода. Время складывается из отрезков пути, делённых на скорость, $dt = dx/v$. Заменим $x = Au$:

$$T = 4\int_0^A \frac{dx}{v} = 4\sqrt{\frac{3}{2}}\int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^3}}\cdot\sqrt{\frac{m}{k_2A}}$$

Интеграл берётся численно и равен $1{,}402$, поэтому $C = 4\sqrt{3/2}\cdot1{,}402 = 6{,}87$. При $m = 0{,}1$ кг и $k_2 = 1$ Н/м² амплитуда $1$ м даёт $T = 6{,}87\sqrt{0{,}1} = 2{,}17$ с, а амплитуда $4$ м вдвое меньший период, $1{,}09$ с.

Шарик в V-образном жёлобе устроен иначе: стоит ему сойти с дна, сила сразу становится конечной и дальше по модулю не меняется (рис. 3). Пусть ускорение шарика вдоль склона по модулю равно $g_\text{ж} = 1$ м/с². От края до дна шарик идёт равноускоренно и проходит путь $A$ за время $\sqrt{2A/g_\text{ж}\,}$, а период вчетверо больше:

При амплитуде $4$ см период $1{,}13$ с, при $1$ см $0{,}57$ с, при $2{,}5$ мм $0{,}28$ с. Шарик, отпущенный ближе ко дну, возвращается быстрее.

Третий закон задаёт потенциальная энергия $U = cx^4$, постоянная $c$ у неё в джоулях на метр в четвёртой степени. Сила получается из энергии, $F = -\dfrac{dU}{dx} = -4cx^3$, и у дна она ещё слабее, чем у пружины выше. Период обратно пропорционален амплитуде, $T = 3{,}71\sqrt{m/c}\,/A$: чем меньше амплитуда, тем медленнее колебания.

Сравним, как период зависит от амплитуды

Все три ответа объясняет одна оценка, и сделаем её динамически, по ускорению, которое сила даёт на краю. От края до дна система проходит путь порядка амплитуды $A$ с ускорением порядка того, что сила даёт ей на краю, $|F(A)|/m$, и время прохода порядка $\sqrt{mA/|F(A)|}$. У линейной пружины ускорение на краю пропорционально $A$, и время от амплитуды не зависит. У жёлоба ускорение на краю постоянно, и период растёт как $\sqrt A$. У пружины с силой, растущей как квадрат растяжения, ускорение на краю растёт как $A^2$, и период падает как $1/\sqrt A$; у $U = cx^4$ оно растёт как $A^3$, и период падает как $1/A$. Для сил, растущих как степень смещения, оценка даёт точный закон, а числа выше посчитаны точно. У силы, симметричной относительно равновесия, период не зависит от амплитуды, только когда она пропорциональна смещению.

Во всех трёх случаях колебания есть: равновесие устойчивое, и сила при любом отклонении тянет назад (Что такое колебания). Нет гармоничности: закон движения не косинус, и одной частоты, общей для всех амплитуд, нет и при самых малых. Пропорциональность силы смещению есть условие гармонических колебаний, а не колебаний вообще. Рецепт получения частоты по кривизне потенциала здесь молчит (Частота из кривизны потенциала). У пружины с квадратичной силой и у $U = cx^4$ вторая производная потенциальной энергии на дне равна нулю, у жёлоба на дне излом, и второй производной нет вовсе. Жёлоб и яму $U = cx^4$ можно сравнить с параболой в демке (Одна яма, одно уравнение). Если ту же пружину с квадратичной силой подвесить вертикально, вес растянет её, и малые колебания около нового равновесия станут гармоническими (Сдвинем равновесие постоянной силой).

Выберем модель

Настоящая сила почти никогда не пропорциональна смещению в точности, и между линейной и нелинейной моделью выбирают по обычным признакам модели (Наклоним гантель к оси). У жёлоба и у $U = cx^4$ линейной модели нет вовсе: у силы нет линейного члена, и строить её не из чего. Где линейную модель выбирают против точной, глава разберёт у маятника на большой амплитуде (Измерим период на большой амплитуде).

Точечный груз массой $m$ висит на невесомой нерастяжимой нити длиной $l$ и может качаться в вертикальной плоскости под действием тяжести (рис. 4). Такую модель называют математическим маятником. Положение груза задаёт угол $\varphi$ между нитью и вертикалью. Путь груза вдоль дуги, отсчитанный от нижней точки, обозначим $x = l\varphi$ и назовём дуговой координатой.

Запишем второй закон вдоль дуги

Решим задачу динамическим методом. На груз действуют тяжесть $m\vec g$ и натяжение нити. Натяжение направлено вдоль нити, перпендикулярно дуге, и вдоль дуги его проекция равна нулю. Проекция тяжести на касательную к дуге равна $-mg\sin\varphi$, она направлена к нижней точке. Ускорение груза вдоль дуги есть $\ddot x$, и второй закон в проекции на касательную даёт

Масса входит в обе части и сокращается, поэтому период маятника от массы груза не зависит. Возвращающая сила пропорциональна не углу, а его синусу. Уравнение с синусом решить можно, но долго, и к нему глава вернётся в конце (Измерим период на большой амплитуде). Договоримся, что угол мал. Тогда синус почти равен самому углу. Синус угла есть высота, опущенная из груза на вертикаль, делённая на длину нити, а сам угол есть дуга, делённая на ту же длину, и при малом угле высота и дуга почти совпадают. Заменив $\sin\varphi$ на $\varphi$, получим

Длина нити постоянна, поэтому ускорение вдоль дуги $\ddot x = l\ddot\varphi$, и

или

Это уравнение пружины с $g/l$ на месте $k/m$, и решение у него то же (Пружинный маятник):

где $A$ угловая амплитуда, а циклическая частота

Ни масса, ни амплитуда в частоту не входят: её задают только длина нити и ускорение свободного падения. Маятник длиной $l = 1$ м на Земле даёт $\omega = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13$ рад/с и период $T = 2\pi\sqrt{l/g} \approx 2{,}01$ с; здесь и дальше глава считает с $g = 9{,}81$ м/с², как и её демки. Метод размерностей первой недели сказал, что период пропорционален $\sqrt{l/g}$, и промолчал о множителе $2\pi$ (Закон не зависит от того, в чём мы меряем); множитель дало решение уравнения движения.

Не спутаем частоту с угловой скоростью

Буква $\omega$ здесь не угловая скорость нити. Угловая скорость нити $\dot\varphi$ за период меняется от нуля в крайних точках до наибольшей в нижней, и при амплитуде $10°$ наибольшая равна $0{,}55$ рад/с. Циклическая частота $\omega = 3{,}13$ рад/с постоянна и говорит, как быстро растёт фаза. Угловой скоростью она служит только воображаемой точке на окружности, тенью которой колебание является (Пружинный маятник).

Проверим, насколько мал малый угол

Какой угол считать малым? Удобно проверить $30°$, то есть $\pi/6$. Угол равен $0{,}524$ радиана, а его синус ровно $0{,}5$, и синус меньше угла на $4{,}5$ процента. Если считать малыми углы до $30°$, период ошибается меньше синуса: при амплитуде $30°$ период настоящего маятника длиннее гармонического всего на $1{,}7$ процента. Платим за договорённость тем, что в модели малых углов период от амплитуды не зависит, а у настоящего маятника растёт. Насколько он длиннее при $70°$, чем при $14°$, показывает журнал опытов, где уравнение маятника интегрируется без приближения (Маятник: журнал опытов), а как он растёт с амплитудой, разобрано в конце главы (Измерим период на большой амплитуде).

Решим тот же маятник через моменты

Маятник можно рассматривать и как твёрдое тело на закреплённой оси, какие разбирала шестая неделя. Натянутая нить держит груз на одном расстоянии от точки подвеса $O$, и груз поворачивается вокруг горизонтальной оси, которая проходит через $O$ перпендикулярно плоскости качаний. Этот взгляд и приведёт главу к физическому маятнику, у которого на оси качается тело любой формы (Физический маятник). Для такого тела шестая неделя дала уравнение моментов в проекции на ось, $I_z\varepsilon = M_z$: скорость изменения момента импульса относительно оси равна моменту сил относительно неё, а момент импульса равен моменту инерции относительно оси, умноженному на угловую скорость (Найдём момент инерции). Это тот же динамический метод, записанный для угла. Натяжение нити проходит через ось и момента относительно неё не даёт (Продифференцируем момент импульса). Момент тяжести относительно оси подвеса равен $-mgl\sin\varphi$: сила $mg$ на плечо $l\sin\varphi$, со знаком минус, потому что он поворачивает груз к вертикали. Момент инерции относительно оси подвеса глава обозначает $I_A$, как у тела на оси (Физический маятник). У точечного груза $I_A = ml^2$, и

При малых углах ($\sin \varphi \approx \varphi$) уравнение снова принимает вид

Ответ тот же, что вдоль дуги. Энергетическим методом тот же маятник решён в Динамический и энергетический методы, и частота совпала и там.

На закреплённой оси вращение похоже на движение вдоль прямой, но только в проекции на ось: углу отвечает координата, угловой скорости скорость, моменту инерции масса, моменту силы сила (Найдём момент инерции). Этим словарём глава пользуется, когда на оси качается не точка, а тело (Физический маятник).

Два маятника отпускают одновременно, и в каждом опыте у них различается одна величина. Кнопки сверху выбирают опыт, журнал справа копит строки: во сколько раз изменили величину, во сколько раз изменился период и какой показатель степени из этого следует.

Груз впятеро тяжелее период не меняет, масса сократилась ещё в уравнении движения. Нить вчетверо длиннее даёт период ровно вдвое больше, и корень виден прямо в журнале. На Луне тот же маятник качается в $2{,}46$ раза медленнее. Эти опыты идут при амплитуде $14°$, где период длиннее, чем по формуле $T = 2\pi\sqrt{l/g}$, меньше чем на половину процента, и журналу этого не видно.

Демка интегрирует уравнение $\ddot\varphi = -(g/l)\sin\varphi$ без приближения малых углов, и последний опыт, «Большая амплитуда», это показывает: у маятников на нити $1{,}2$ м период при $70°$ равен $2{,}42$ с против $2{,}21$ с при $14°$, в журнале $\times\,1{,}10$. По формуле у такой нити $2{,}20$ с. Как период растёт с амплитудой, разобрано в Измерим период на большой амплитуде. Трения в модели нет, амплитуда не убывает, и периоды меряются чисто.

Могут ли колебания обойтись без механики, без груза, нити и пружины? Возьмём электрический контур из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$ (рис. 5); сопротивление проводов считаем равным нулю. Такой контур называют LC-контуром. Зарядим конденсатор и замкнём контур. Конденсатор начнёт разряжаться через катушку, и ток в ней вырастет. Когда заряд конденсатора пройдёт через ноль, ток не прекратится сразу: катушка его поддержит, и конденсатор перезарядится с обратным знаком. Потом всё повторится в обратную сторону. Энергия при этом переходит от электрического поля конденсатора к магнитному полю катушки и обратно.

Закон здесь не механический. Уравнение даёт правило для напряжений в замкнутом контуре, второе правило Кирхгофа, вместе с законом электромагнитной индукции; оба курс разберёт во втором семестре, а здесь они взяты готовыми. По роли это динамический метод: уравнение для заряда выписывается сразу, без энергии (Динамический и энергетический методы). Обозначим $q$ заряд той обкладки конденсатора, к которой течёт ток $I$, тогда $I = dq/dt$. ЭДС самоиндукции катушки равна напряжению на конденсаторе:

Подставив $I = dq/dt$, получим

Это то же уравнение, что у груза на пружине (Пружинный маятник): заряд стоит на месте координаты, ток на месте скорости. Возвращает систему к нулю конденсатор. Напряжение $q/C$ гонит заряд назад, и величина $1/C$ играет роль жёсткости. Инерцию даёт катушка: ЭДС $-L\,dI/dt$ не даёт току ни вырасти, ни пропасть мгновенно, и заряд проскакивает ноль, как груз проскакивает равновесие. Индуктивность $L$ играет роль массы. Решение то же, что у пружины:

где $q_0$ наибольший заряд конденсатора, а циклическая частота

Для контура с $L = 1$ мГн и $C = 1$ мкФ получаем $\omega = 1/\sqrt{10^{-3} \cdot 10^{-6}} \approx 3{,}2 \cdot 10^{4}$ рад/с: около пяти тысяч полных колебаний в секунду, период $0{,}2$ мс.

Закон у контура электрический, у груза упругий, у маятника тяготение, а уравнение у всех одно (Математический маятник). Почему так выходит, объясняет кривизна потенциала (Частота из кривизны потенциала).

Как найти частоту колебаний системы, не угадывая каждый раз решение заново? У пружины, маятника и контура уравнение вышло одно и то же. Найти его можно двумя методами, динамическим и энергетическим, и оба приводят к одному уравнению и к одной частоте.

Найдём частоту из уравнения движения

В динамическом методе сначала находят равновесие $x_0$, положение, в котором сила на систему равна нулю. Потом выводят систему из него на малое смещение $x$ и записывают уравнение движения: второй закон Ньютона (Дадим имя тому, что меняет импульс: второй закон), а для тела на оси уравнение моментов (Найдём момент инерции). Возвращающая сила зависит от смещения. В равновесии она равна нулю, и при малом $x$ от неё остаётся член, пропорциональный смещению:

Число $\kappa$ называют жёсткостью системы, у груза на пружине это $k$. Меру инерции обозначим $\alpha$, она стоит в уравнении при ускорении: масса $m$ у груза, момент инерции $I_A$ у тела на оси, индуктивность $L$ у контура. Уравнение движения принимает вид

Сравнив его с уравнением пружины $\ddot x + \omega^2 x = 0$, читаем частоту:

Формула имеет смысл, только если $\kappa/\alpha > 0$. Мера инерции положительна, поэтому условие требует $\kappa > 0$: смещённую систему сила тянет назад, и равновесие устойчивое. Если $\kappa < 0$, уравнение принимает вид $\alpha\ddot x = |\kappa|\,x$, и отклонение растёт экспонентой, как у перевёрнутого маятника (Частота из кривизны потенциала). Если $\kappa = 0$, линейного члена у силы нет, и метод частоты не даёт, хотя колебания могут быть (Колебания без линейной силы). Динамический метод работает и тогда, когда энергия не сохраняется, например с трением (Затухающие колебания), но требует выписать все силы.

Найдём частоту из энергии

В энергетическом методе начинают с энергии. Если трения нет, полная энергия системы сохраняется (Выясним, когда механическая энергия сохраняется): $E = \tfrac12\alpha\dot x^2 + U(x_0 + x)$, где $x$, как и в динамическом методе, смещение от равновесия $x_0$. Меру инерции $\alpha$ читают из кинетической энергии. Потенциальную энергию раскладывают около равновесия $x_0$. Её первая производная там равна нулю: равновесие стоит там, где $\left.\dfrac{dU}{dx}\right|_{x_0} = 0$ (Что такое колебания). Первым после постоянной поэтому идёт квадратичный член:

Отсчитаем энергию от $U(x_0)$ и обозначим $\kappa = \left.\dfrac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0}$. Тогда

Энергия постоянна, и её производная по времени равна нулю:

Раскрыв производную, получим

Скорость $\dot x$ стоит множителем в обоих членах и обращается в ноль только в отдельные моменты. Сократив её, получаем то же уравнение $\alpha\ddot x + \kappa x = 0$ и ту же частоту $\omega^2 = \kappa/\alpha$. Практическую силу методу даёт обратный ход: записав энергию системы в виде «квадрат скорости с коэффициентом плюс квадрат смещения с коэффициентом», читают $\alpha$ и $\kappa$ прямо из этой записи и получают частоту, не выписывая сил. Это короче динамического метода там, где сил много, а энергия пишется сразу: силы реакции, которые работы не совершают, в энергию не входят.

Свяжем жёсткость с кривизной

Равенство, которое энергия дала до сокращения скорости, есть уравнение динамического метода, умноженное на скорость, поэтому методы и дают одну частоту. Буква $\kappa$ в них означает одно и то же. Сила есть минус производная потенциальной энергии, $F = -\dfrac{dU}{dx}$ (Найдём силу по потенциальной энергии), и жёсткость динамического метода равна второй производной потенциальной энергии в равновесии:

Вторую производную потенциальной энергии в равновесии глава называет кривизной потенциала. Что она задаёт частоту у всякой системы около минимума, разобрано в Частота из кривизны потенциала.

Решим пружину и маятник обоими методами

Пружина. Динамическим методом: сила $-kx$, жёсткость $\kappa = k$, инерция $\alpha = m$ (Пружинный маятник). Энергетическим: кинетическая энергия груза равна $m\dot x^2/2$, потенциальная $kx^2/2$, и

Отсюда $\alpha = m$, $\kappa = k$ и $\omega^2 = k/m$: ответ совпал с динамическим.

Математический маятник. Динамическим методом частота найдена дважды, вдоль дуги и через моменты, $\omega^2 = g/l$ (Математический маятник). Энергетическим: кинетическая энергия груза равна $I_A\dot\varphi^2/2$, где $I_A = ml^2$ момент инерции груза относительно оси подвеса, а потенциальная энергия тяжести растёт с подъёмом груза на $l(1 - \cos\varphi)$:

При малых углах $\cos\varphi \approx 1 - \varphi^2/2$. Это и есть разложение потенциальной энергии до квадратичного члена: линейного члена нет, потому что нижнее положение есть равновесие, а кривизна $\left.\dfrac{d^2U}{d\varphi^2}\right|_{0} = mgl$. Энергия принимает вид

Отсюда $\alpha = I_A$, $\kappa = mgl$ и

С $I_A = ml^2$ частота сводится к $\omega^2 = g/l$: ответ снова совпал с динамическим. У тела на оси энергия пишется так же, только поднимается его центр масс. Длину нити $l$ в потенциальной энергии тогда заменяет расстояние $a$ от оси до центра масс, а $I_A$ становится моментом инерции тела относительно оси подвеса (Физический маятник).

Груз на пружине, маятник, тело на оси и электрический контур подчиняются разным законам, а уравнение у них вышло одно. Почему?

Посмотрим на дно ямы

Ответ даёт энергетический метод (Динамический и энергетический методы). Пусть положение системы задаёт одна координата $x$, кинетическая энергия равна $\tfrac12\alpha\dot x^2$, а потенциальная $U(x)$. У устойчивого равновесия $x_0$ потенциальная энергия имеет минимум (рис. 6). Первая производная в минимуме равна нулю, и разложение $U$ по смещению начинается сразу с квадратичного члена: около дна гладкая яма с точностью до постоянной $U(x_0)$ неотличима от параболы $\dfrac12\left.\dfrac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0}(x - x_0)^2$. Энергия системы принимает тот же вид, что у груза на пружине, и частота читается из неё:

Вторая производная $\left.\dfrac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0}$ в рецепте есть кривизна потенциала, она же жёсткость $\kappa$ динамического метода (Динамический и энергетический методы).

Законы, по которым устроены системы, входят в частоту только двумя числами: кривизной у дна и мерой инерции, которая стоит в кинетической энергии. У груза мера инерции есть масса $m$, у маятника $ml^2$, у тела на оси момент инерции $I_A$ (Физический маятник), у двух тел на пружине приведённая масса $\mu$ (Приведённая масса в роли инерции), у контура индуктивность $L$. Кривизна у дна равна $k$ у пружины и $mgl$ у маятника, а у контура это $1/C$ (Электромагнитные колебания): потенциальной энергией там служит энергия конденсатора $q^2/2C$, кинетической энергия катушки $LI^2/2$, и обе разберёт второй семестр. У маятника кривизна $mgl$ и инерция $ml^2$ растут с массой одинаково, и масса из частоты уходит: груз впятеро тяжелее качается с прежним периодом, как в опыте первой недели (Маятник: журнал опытов). Без инерции рецепт был бы неверен: у маятника кривизна растёт с массой, а частота нет.

Системы главы стоят рядом в демке (Одна яма, одно уравнение). У груза на пружине, маятника, тела на оси, контура и тележек она печатает три периода: по формуле главы, по кривизне, посчитанной из самой $U$, и снятый с движения.

Отличим кривизну потенциала от кривизны пути

Слово «кривизна» курс уже занимал. Во второй неделе кривизна пути равна $1/R$ и меряется в обратных метрах (Нормальное и тангенциальное ускорение). Если координата есть длина, кривизна потенциала $\dfrac{d^2U}{dx^2}$ меряется в джоулях на квадратный метр, то есть в ньютонах на метр, как жёсткость. У угла она в джоулях, у заряда в обратных фарадах, а размерность $\omega^2 = \dfrac{1}{\alpha}\dfrac{d^2U}{dx^2}$ от выбора координаты не меняется. Сходятся две кривизны у дна чаши. Пусть точка массой $m$ движется в потенциале $mg\,y(x)$, где $y(x)$ профиль чаши, а радиус кривизны дна равен $R$. Тогда $\dfrac{d^2U}{dx^2} = \dfrac{mg}{R}$, инерция $m$, и $\omega^2 = g/R$. Чаша с радиусом дна $1$ м качается с периодом $2{,}01$ с, как метровый маятник: груз маятника и есть точка на дне чаши радиуса $l$.

Четвёртая неделя показала это числами (Горка против потенциала). В её демке две чаши, высота которых растёт как квадрат расстояния от центра, обе полушириной $1$ м, мелкая глубиной $5$ см и глубокая глубиной $1{,}5$ м. Кривизна дна у глубокой больше в $30$ раз, и точка в её потенциале качается с периодом $1{,}16$ с против $6{,}34$ с в мелкой, в $\sqrt{30} = 5{,}48$ раза быстрее. Потенциал точки там точная парабола, и период от амплитуды не зависит. Тело, скользящее по горке той же формы, качается так только при малой амплитуде (Найдём силу по потенциальной энергии), а что даёт большая, сказано у маятника (Измерим период на большой амплитуде).

Перевернём яму

Если в равновесии у потенциальной энергии максимум, кривизна отрицательна (рис. 6). Энергия около вершины равна $\dfrac12\alpha\dot x^2 - \dfrac12\left|\dfrac{d^2U}{dx^2}\right| (x - x_0)^2$, и её производная по времени даёт уравнение $\alpha\ddot x = \left|\dfrac{d^2U}{dx^2}\right| (x - x_0)$: ускорение направлено от равновесия, и отклонение растёт экспонентой $e^{\lambda t}$ с $\lambda = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left|\dfrac{d^2U}{dx^2}\right|}$. Поставим грузом вверх метровый маятник на лёгком стержне. Кривизна у вершины равна $-mgl$ при той же инерции $ml^2$, и $\lambda = \sqrt{g/l}$: экспонента набирает множитель $e$ за $0{,}32$ с. Маятник, отпущенный из покоя у вершины, уходит от неё медленнее, в $e$ раз за $0{,}53$ с (Что такое колебания). Его отклонение есть полусумма растущей и гаснущей экспонент, и гаснущая поначалу сдерживает рост.

Так же падала фабричная труба в задаче шестой недели (Падающая труба). Потенциальная энергия трубы, стоящей на основании и отклонённой от вертикали на угол $\varphi$, равна $mg\tfrac l2\cos\varphi$. У вертикали она имеет максимум с кривизной $-mgl/2$, момент инерции трубы относительно оси у основания $ml^2/3$, и малое отклонение растёт с $\lambda = \sqrt{3g/2l}$. Это согласуется с угловым ускорением $\varepsilon = (3g/2l)\sin\varphi$, найденным там (угол в задаче назван $\alpha$).

Брусок, раскрученный вокруг средней оси, тоже уходит от исходного вращения экспонентой (Отпустим тело без опор), но кривизна потенциала об этом ничего не говорит. Потенциальной энергии со своим минимумом у свободного вращения нет, и рост там решает знак коэффициента при отклонении в уравнении движения. Признак по энергии там прямо обманул бы: при том же моменте импульса энергия вращения больше всего у оси наименьшего момента, а вращение вокруг неё устойчиво. Так же, экспонентой, растёт малое возмущение треугольника Лагранжа в задаче трёх тел третьей недели (Три тела с возмущением). Треугольник тоже вращается как целое, покоя у него нет, и рост там тоже решает уравнение движения.

Узнаем, где рецепт молчит

Рецепту нужна кривизна на дне, $\left.\dfrac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0} > 0$. У ямы $U = cx^4$ кривизна на дне равна нулю, у V-образного жёлоба на дне излом, и второй производной нет вовсе. Колебания там есть, равновесие устойчивое, но одной частоты нет, и период зависит от амплитуды, как бы мала она ни была (Колебания без линейной силы).

Пятая неделя разложила потенциальную энергию тяжести по высоте и остановилась на линейном члене, $mgh$ (Запишем энергию тяготения). У поверхности Земли тело не в равновесии, и линейный член работает. В равновесии он равен нулю, и первым работает следующий, квадратичный. Там же, в пятой неделе, тело падало в шахту через однородную планету и качалось, как груз на пружине (Шахта через планету). В однородной планете сила растёт пропорционально расстоянию до центра на всём пути, потенциальная энергия есть точная парабола, и рецепт верен при любой амплитуде. У маятника и у большинства систем парабола есть только у дна, и рецепт верен, пока отклонение мало.

Восьмая неделя возьмёт закон Гука первым членом разложения силы упругости (Разделим жёсткость на вещество и форму). Почему первый член линеен, видно отсюда: недеформированное тело находится в устойчивом равновесии, и его упругая энергия начинается с квадратичного члена.

Выведем рецепт с оценкой отброшенного

Пусть кинетическая энергия равна $\tfrac12\alpha(x)\dot x^2$: у многих систем мера инерции зависит от положения. Обозначим смещение $\xi = x - x_0$ и разложим энергию около равновесия до членов третьего порядка по малым $\xi$ и $\dot\xi$:

$$\begin{aligned} E = U(x_0) &+ \tfrac12\alpha(x_0)\,\dot\xi^2 + \frac12\left.\frac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0}\xi^2 \\ &+ \frac12\left.\frac{d\alpha}{dx}\right|_{x_0}\xi\dot\xi^2 + \frac16\left.\frac{d^3U}{dx^3}\right|_{x_0}\xi^3 \end{aligned}$$

Члена, линейного по $\xi$, нет, потому что $\left.\dfrac{dU}{dx}\right|_{x_0} = 0$. Два переменных члена второго порядка повторяют энергию груза на пружине с инерцией $\alpha(x_0)$ и жёсткостью $\left.\dfrac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0}$. Здесь и ниже производные по $x$ взяты в равновесии $x_0$. Если отбросить члены третьего порядка, производная энергии по времени равна $\dot\xi\left(\alpha(x_0)\ddot\xi + \dfrac{d^2U}{dx^2}\,\xi\right)$. Она равна нулю всё время, а $\dot\xi$ обращается в ноль только в отдельные моменты, поэтому скобка равна нулю всегда, и $\omega^2 = \dfrac{1}{\alpha(x_0)}\dfrac{d^2U}{dx^2}$.

Отброшенные члены малы против оставленных, пока $|\xi| \ll 3\dfrac{d^2U}{dx^2}\Big/\left|\dfrac{d^3U}{dx^3}\right|$ и $|\xi| \ll \alpha(x_0)\Big/\left|\dfrac{d\alpha}{dx}\right|$. У маятника мера инерции $ml^2$ от угла не зависит, а потенциальная энергия $mgl(1 - \cos\varphi)$ симметрична, и $\left.\dfrac{d^3U}{d\varphi^3}\right|_{0} = 0$. Первый отброшенный член у него четвёртого порядка, $-mgl\,\varphi^4/24$, и его доля в потенциальной энергии равна $\varphi^2/12$. При амплитуде $30°$ это $2{,}3$ процента, а период при этой амплитуде длиннее гармонического на $1{,}7$ процента. Ошибка периода того же порядка, что доля отброшенного члена в энергии.

Слева система, в середине её потенциальная энергия $U$ с пунктирной параболой по кривизне $\dfrac{d^2U}{dx^2}$ в минимуме и уровнем энергии, справа фазовая плоскость, о ней следующий раздел (Фазовый портрет). Под ними три периода: по формуле главы, по кривизне, которую демка считает из самой $U$ численно, и снятый с движения. Ползунок задаёт амплитуду, груз отпускают из покоя.

Верхняя строка собирает системы с разными законами: груз $0{,}1$ кг на пружине $10$ Н/м, маятник $1$ м, стержень $1$ м на оси через конец, контур $1$ мГн и $1$ мкФ, тележки $1$ и $3$ кг на пружине $20$ Н/м. У дна у всех лежит парабола, и три периода совпадают: $0{,}6283$ с, $2{,}0061$ с, $1{,}6379$ с, $0{,}1987$ мс, $1{,}2167$ с. Если прибавить амплитуду, у пружины снятый период стоит, а у маятника растёт, при $30°$ на $1{,}7$ процента. Тележки демка двигает вторым законом для каждой, рецепт берёт инерцию $\mu = 0{,}75$ кг из кинетической энергии, и ответы сходятся.

Нижняя строка показывает, где ответ меняется и где рецепт молчит. У висящей пружины минимум уходит на $9{,}8$ см, а кривизна и период прежние. Ту же пружину и тот же метровый маятник демка отвозит на Луну, где $g = 1{,}62$ м/с². Минимум пружины сдвигается там только на $1{,}6$ см, период тот же, $0{,}6283$ с. У маятника груз возвращает сама тяжесть: кривизна $U$ в минимуме равна $mgl$ и падает вместе с $g$, и период вырастает с $2{,}01$ до $4{,}94$ с, в $2{,}46$ раза. Три периода сходятся и на Луне. У $U = cx^4$ парабола вырождается в прямую, у жёлоба на дне излом, частоты рецепт не даёт, и период зависит от амплитуды: в жёлобе $0{,}57$ с при $1$ см и $1{,}13$ с при $4$ см. Перевёрнутый маятник, отпущенный из покоя у вершины, от неё уходит, и отклонение растёт в $e$ раз за $0{,}53$ с.

Можно ли увидеть всё движение осциллятора одной картинкой, а не графиком по времени? Отложим по одной оси координату $x$, по другой скорость $\dot x$. Плоскость с такими осями называют фазовой плоскостью. Каждая её точка задаёт состояние системы, положение вместе со скоростью, и с течением времени точка состояния чертит кривую, фазовую траекторию. Траектории при разных начальных условиях вместе составляют фазовый портрет (рис. 7).

Траекторию осциллятора без трения даёт энергия, которая у него сохраняется (Динамический и энергетический методы):

При постоянной $E$ это уравнение эллипса. Его полуось по координате $\sqrt{2E/\kappa}$ есть амплитуда $A$, полуось по скорости $\sqrt{2E/\alpha}$ есть наибольшая скорость $\omega A$. У груза на пружине из начала главы, оттянутого на $5$ см, эллипс идёт от $-5$ до $5$ см по координате и от $-0{,}5$ до $0{,}5$ м/с по скорости (Пружинный маятник). Если отложить по осям $\sqrt\kappa\,x$ и $\sqrt\alpha\,\dot x$, эллипс становится окружностью радиуса $\sqrt{2E}$. В осях, где энергия есть окружность, четвёртая неделя считала соударения шаров, только по осям там стояли скорости двух шаров, $\sqrt M\,V$ и $\sqrt m\,v$. Число $\pi$, которое выписывают удары, то же, что в периоде колебаний (Решим упругий удар на прямой, Сколько раз стукнутся шары).

Каждой энергии отвечает свой эллипс: чем больше энергия, тем он шире. Эллипсы вложены друг в друга и не пересекаются, через каждую точку плоскости проходит одна траектория. Обход идёт по часовой стрелке. В верхней полуплоскости скорость $\dot x$ положительна, координата растёт, и точка движется вправо, а в нижней влево.

Кривая замкнута, потому что энергия сохраняется. Точка состояния не может уйти с линии своей энергии и, обойдя её, возвращается туда, откуда начала, после чего движение повторяется. Замкнутая траектория означает строго периодическое движение. Замкнутость даёт сохранение энергии, а форму эллипса квадратичная потенциальная энергия: у маятника на большой амплитуде траектории остаются замкнутыми, но эллипсами быть перестают (Измерим период на большой амплитуде). Трение отнимает энергию, и траектория размыкается в спираль, которая сходится к равновесию (Три режима затухания).

Шестая неделя обещала, что маятник возьмёт угол, момент инерции $I_A$ и произведение $ma$ готовыми (Закроем счёт главы). Что из этого задаёт инерцию, а что жёсткость? Подвесим твёрдое тело на неподвижную горизонтальную ось, проходящую через точку $A$ (рис. 8). Центр масс $C$ лежит на расстоянии $a$ от оси, угол $\varphi$ отсчитаем между отрезком $AC$ и вертикалью. Такое тело называют физическим маятником.

Уравнение выведем динамическим методом, из уравнения моментов для закреплённой оси, $I_z\varepsilon = M_z$ (Найдём момент инерции). Ось подвеса проходит через $A$, и момент инерции тела относительно неё обозначим $I_A$. Это момент относительно оси: полярный момент относительно точки шестая неделя ввела как другую величину, и путать их нельзя (Сложим моменты инерции по трём осям). Сила реакции оси проходит через ось и момента не даёт. Сила тяжести приложена в центре масс, её плечо относительно оси равно $a\sin\varphi$ и меняется с углом, а расстояние $a$ плечом не является. Момент тяжести в проекции на ось поворачивает тело к вертикали, и по правилу знаков шестой недели он равен $-mga\sin\varphi$:

В равновесии, при $\varphi = 0$, момент равен нулю. Разложим его около равновесия: первым остаётся линейный член, $-mga\sin\varphi \approx -mga\,\varphi$. Уравнение принимает вид $\alpha\ddot\varphi + \kappa\varphi = 0$ с инерцией $\alpha = I_A$ и жёсткостью $\kappa = mga$ (Динамический и энергетический методы), и квадрат частоты равен

Обещание шестой недели разложилось на две части. Момент инерции $I_A$ стоит при ускорении и задаёт инерцию. Произведение $ma$ вместе с $g$ задаёт жёсткость. Масса входит в обе части и сокращается, потому что $I_A$ ей пропорционален: период физического маятника от массы не зависит, как и период груза на нити.

Груз на нити длиной $l$ качается с $\omega^2 = g/l$ (Математический маятник). С той же частотой, что наше тело, качался бы груз на нити длиной

Её называют эффективной длиной физического маятника, в учебниках чаще приведённой. По теореме Гюйгенса–Штейнера (Перенесём ось параллельно)

где $I_C$ есть момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса. Тогда

и эффективная длина

Проверим два предельных случая. У точечного груза на нити $I_C = 0$, и $l_A = a$: математический маятник восстанавливается. Если подвесить тело за центр масс, $a \to 0$, момент тяжести исчезает при любом угле и равновесие становится безразличным. Колебаться телу не с чего: эффективная длина уходит в бесконечность, частота в ноль.

Математический маятник проще: ему хватает одной длины. Шар радиусом $3$ см, центр которого висит в метре от оси, имеет $I_C = \tfrac25mr^2$, и его эффективная длина больше метра на $0{,}36$ мм, а период длиннее, чем у точки, на $0{,}02$ процента. Пока такой поправки не видно в опыте, бритва Оккама оставляет точку на нити, а телу размером с подвес нужен физический маятник.

Найдём наименьший период

Будем переносить ось вдоль прямой, проходящей через центр масс. Эффективная длина $l_A = a + I_C/(ma)$ складывается из двух слагаемых: первое растёт с $a$, второе убывает. Их сумма наименьшая, когда они равны, при $a = \sqrt{I_C/m}$. Это расстояние называют радиусом инерции тела. На нём эффективная длина равна двум радиусам инерции, и период наименьший. Ближе к центру масс период снова растёт: момент инерции к центру масс убывает, но возвращающий момент $mga$ убывает быстрее.

Возьмём однородный тонкий стержень длиной $l = 1$ м с осью, перпендикулярной стержню. Относительно оси через середину $I_C = ml^2/12$ (Посчитаем момент инерции стержня), радиус инерции $l/\sqrt{12} = 0{,}289$ м, и подвешенный в этой точке стержень качается с наименьшим периодом, $1{,}52$ с. Подвешенный за конец, он качается с периодом $1{,}64$ с, а в $5$ см от середины с периодом $2{,}63$ с (рис. 9). Всю кривую периода строит демка (Кривая периода физического маятника).

Подвесим тело за центр качания

Отложим от оси эффективную длину $l_A$ по прямой $AC$ за центр масс и обозначим полученную точку $B$. Её называют центром качания. Подвесим тело на ось через $B$, параллельную прежней. Расстояние от новой оси до центра масс равно $l_A - a$, и по теореме Гюйгенса–Штейнера

Квадрат частоты

и эффективная длина

Из выражения для $l_A$ видно, что $l_A - a = I_C/(ma)$. Подставим это в первое слагаемое, и оно обратится в $a$:

Подвешенное за центр качания, тело качается с тем же периодом. У стержня, подвешенного за конец, центр качания лежит в двух третях длины от оси, $l_A = 0{,}667$ м.

Обратное утверждение верно не всегда. Пусть период задан, то есть задана эффективная длина $l_A$. Расстояние $h$ от оси до центра масс, при котором она получается, удовлетворяет условию $h + I_C/(mh) = l_A$, то есть уравнению

Корней у него два, $a$ и $b$, и по теореме Виета $a + b = l_A$, $ab = I_C/m$. Оси на расстояниях $a$ и $b$ от центра масс по разные стороны от него и есть точка подвеса и центр качания, а расстояние между ними равно $l_A$. Тот же период даёт и ось на расстоянии $a$ по другую сторону от центра масс, потому что эффективная длина зависит только от расстояния до него. Две опоры с равными периодами получаются поэтому двумя способами: при $ab = I_C/m$ и при $b = a$.

Телефон $15\times7$ см, тот же, что подбрасывала шестая неделя (Отпустим тело без опор), подвешенный за угол и качающийся в своей плоскости, имеет период $0{,}67$ с. Все четыре угла лежат на одном расстоянии от центра масс, $8{,}28$ см, и за любой из них период тот же по симметрии: это случай $b = a$, а не свойство центра качания. Центр качания лежит на диагонали в $11{,}0$ см от угла, ровно в двух третях её длины, в $2{,}8$ см за центром масс, и подвесить телефон за него можно только сквозь отверстие.

Измерим g оборотным маятником

Равенство периодов тела, подвешенного за точку $A$ и за центр качания $B$, даёт способ измерить ускорение свободного падения прибором, который называют оборотным маятником (рис. 10). Мерить $g$ точно приходится потому, что от места к месту оно разное. Точка на экваторе идёт по окружности с центростремительным ускорением около $0{,}034$ м/с², три с половиной тысячных от $g$ (Отберём право выбирать отсчёт: первый закон), к тому же Земля не шар. Вместе это даёт $9{,}78$ м/с² на экваторе против $9{,}83$ м/с² на полюсе. Периоды одного маятника там отличаются на $0{,}26$ процента, и маятник, отбивающий секунды на полюсе, на экваторе за сутки отстанет почти на четыре минуты. Чтобы мерить $g$ с такой точностью, нужна и длина маятника, известная с той же точностью, а у настоящего груза неизвестно, где именно лежит центр масс и чему равен $I_C$.

Оборотный маятник обходит эту трудность. Это тело с двумя опорными призмами, на любую из которых его можно подвесить. Призмы ставят по разные стороны от центра масс на неравных расстояниях от него и сдвигают груз на теле, пока периоды на двух призмах не совпадут. Тогда призмы стоят в точке подвеса и в центре качания, расстояние между ними $l_{AB}$ равно эффективной длине, и

Ни положения центра масс, ни момента инерции знать не нужно, а расстояние между призмами меряется точно. Приближение малых углов при этом остаётся, поэтому маятник качают с малой амплитудой: при $2°$ период длиннее гармонического на $0{,}008$ процента.

Ловушку ставит симметричная пара опор. Однородный стержень длиной $1$ м с призмами в $0{,}40$ м от середины по разные стороны от неё качается на обеих с одним периодом, $1{,}565$ с. Расстояние между призмами $0{,}8$ м, а эффективная длина $0{,}608$ м, и $g$ по этой паре выйдет завышенным на $31{,}5$ процента. Поэтому оборотный маятник делают несимметричным, с тяжёлым грузом ближе к одному концу.

Слева стержень длиной $1$ м на горизонтальной оси $A$, $C$ его центр масс. Центр качания $B$ лежит на прямой $AC$ на расстоянии от оси, равном эффективной длине $l_A$. Правее с той же высоты висит груз на нити длиной $l_A$, и пунктир от $B$ к грузу остаётся горизонтальным: тело и груз качаются в такт. Справа период против положения оси по обе стороны от центра масс. Линия на графике построена по формуле главы, а точки сняты с движения: демка решает уравнение моментов $I_A\ddot\varphi = -mga\sin\varphi$ без приближения малых углов и берёт $I_A$ суммой по кусочкам тела.

Ползунок двигает ось вдоль стержня. На оси через конец период $1{,}64$ с, наименьший, $1{,}52$ с, получается при $a = 0{,}289$ м, на радиусе инерции. Ближе к центру масс период растёт: при $a = 1$ см он $5{,}79$ с, при $1$ мм уже $18{,}3$ с, а на оси через сам центр масс равновесие безразличное, и колебаний нет. Кнопка «в центр качания» переносит ось в $B$, период остаётся прежним, а расстояние между осями равно эффективной длине. Кнопка «симметрично» ставит ось на то же расстояние по другую сторону центра масс. Период и тут тот же, но у опор в $0{,}40$ м от середины расстояние между ними $0{,}80$ м против эффективной длины $0{,}608$ м, и $g$ по такой паре вышло бы на $31{,}5$ процента больше.

Телефон $15\times7$ см качается в своей плоскости, ось ходит по его диагонали. За угол период $0{,}67$ с, и за любой из четырёх углов он тот же: все углы лежат в $8{,}28$ см от центра масс. Центр качания на диагонали в $11{,}0$ см от угла, в $2{,}8$ см за центром масс. Если поднять амплитуду до $60°$, период вырастет на $7$ процентов против формулы, а груз на нити и тело всё равно пойдут в такт.