Колебания

Слева система, в середине её потенциальная энергия $U$ с пунктирной параболой по кривизне $\dfrac{d^2U}{dx^2}$ в минимуме и уровнем энергии, справа фазовая плоскость, о ней следующий раздел (Фазовый портрет). Под ними три периода: по формуле главы, по кривизне, которую демка считает из самой $U$ численно, и снятый с движения. Ползунок задаёт амплитуду, груз отпускают из покоя.

Верхняя строка собирает системы с разными законами: груз $0{,}1$ кг на пружине $10$ Н/м, маятник $1$ м, стержень $1$ м на оси через конец, контур $1$ мГн и $1$ мкФ, тележки $1$ и $3$ кг на пружине $20$ Н/м. У дна у всех лежит парабола, и три периода совпадают: $0{,}6283$ с, $2{,}0061$ с, $1{,}6379$ с, $0{,}1987$ мс, $1{,}2167$ с. Если прибавить амплитуду, у пружины снятый период стоит, а у маятника растёт, при $30°$ на $1{,}7$ процента. Тележки демка двигает вторым законом для каждой, рецепт берёт инерцию $\mu = 0{,}75$ кг из кинетической энергии, и ответы сходятся.

Нижняя строка показывает, где ответ меняется и где рецепт молчит. У висящей пружины минимум уходит на $9{,}8$ см, а кривизна и период прежние. Ту же пружину и тот же метровый маятник демка отвозит на Луну, где $g = 1{,}62$ м/с². Минимум пружины сдвигается там только на $1{,}6$ см, период тот же, $0{,}6283$ с. У маятника груз возвращает сама тяжесть: кривизна $U$ в минимуме равна $mgl$ и падает вместе с $g$, и период вырастает с $2{,}01$ до $4{,}94$ с, в $2{,}46$ раза. Три периода сходятся и на Луне. У $U = cx^4$ парабола вырождается в прямую, у жёлоба на дне излом, частоты рецепт не даёт, и период зависит от амплитуды: в жёлобе $0{,}57$ с при $1$ см и $1{,}13$ с при $4$ см. Перевёрнутый маятник, отпущенный из покоя у вершины, от неё уходит, и отклонение растёт в $e$ раз за $0{,}53$ с.

Два маятника отпускают одновременно, и в каждом опыте у них различается одна величина. Кнопки сверху выбирают опыт, журнал справа копит строки: во сколько раз изменили величину, во сколько раз изменился период и какой показатель степени из этого следует.

Груз впятеро тяжелее период не меняет, масса сократилась ещё в уравнении движения. Нить вчетверо длиннее даёт период ровно вдвое больше, и корень виден прямо в журнале. На Луне тот же маятник качается в $2{,}46$ раза медленнее. Эти опыты идут при амплитуде $14°$, где период длиннее, чем по формуле $T = 2\pi\sqrt{l/g}$, меньше чем на половину процента, и журналу этого не видно.

Демка интегрирует уравнение $\ddot\varphi = -(g/l)\sin\varphi$ без приближения малых углов, и последний опыт, «Большая амплитуда», это показывает: у маятников на нити $1{,}2$ м период при $70°$ равен $2{,}42$ с против $2{,}21$ с при $14°$, в журнале $\times\,1{,}10$. По формуле у такой нити $2{,}20$ с. Как период растёт с амплитудой, разобрано в Измерим период на большой амплитуде. Трения в модели нет, амплитуда не убывает, и периоды меряются чисто.

Слева стержень длиной $1$ м на горизонтальной оси $A$, $C$ его центр масс. Центр качания $B$ лежит на прямой $AC$ на расстоянии от оси, равном эффективной длине $l_A$. Правее с той же высоты висит груз на нити длиной $l_A$, и пунктир от $B$ к грузу остаётся горизонтальным: тело и груз качаются в такт. Справа период против положения оси по обе стороны от центра масс. Линия на графике построена по формуле главы, а точки сняты с движения: демка решает уравнение моментов $I_A\ddot\varphi = -mga\sin\varphi$ без приближения малых углов и берёт $I_A$ суммой по кусочкам тела.

Ползунок двигает ось вдоль стержня. На оси через конец период $1{,}64$ с, наименьший, $1{,}52$ с, получается при $a = 0{,}289$ м, на радиусе инерции. Ближе к центру масс период растёт: при $a = 1$ см он $5{,}79$ с, при $1$ мм уже $18{,}3$ с, а на оси через сам центр масс равновесие безразличное, и колебаний нет. Кнопка «в центр качания» переносит ось в $B$, период остаётся прежним, а расстояние между осями равно эффективной длине. Кнопка «симметрично» ставит ось на то же расстояние по другую сторону центра масс. Период и тут тот же, но у опор в $0{,}40$ м от середины расстояние между ними $0{,}80$ м против эффективной длины $0{,}608$ м, и $g$ по такой паре вышло бы на $31{,}5$ процента больше.

Телефон $15\times7$ см качается в своей плоскости, ось ходит по его диагонали. За угол период $0{,}67$ с, и за любой из четырёх углов он тот же: все углы лежат в $8{,}28$ см от центра масс. Центр качания на диагонали в $11{,}0$ см от угла, в $2{,}8$ см за центром масс. Если поднять амплитуду до $60°$, период вырастет на $7$ процентов против формулы, а груз на нити и тело всё равно пойдут в такт.

Тележки $1$ и $3$ кг стоят на дорожке, между ними пружина с $k = 20$ Н/м, сжатая на $0{,}2$ м. «Пуск» отпускает её, тележки ходят навстречу и врозь, а под сценой остаются их следы, время на графике идёт вниз. След центра масс прямой: в колебаниях центр масс не участвует. На старте тележки стоят, и центр масс не сходит с места; кнопка «идёт» у надписи «Центр масс» даёт обеим тележкам общую скорость $0{,}2$ м/с.

Справа период колебаний, снятый со следа расстояния между тележками, и рядом $2\pi\sqrt{\mu/k}$ с приведённой массой $\mu = m_1m_2/(m_1 + m_2) = 0{,}75$ кг. Оба числа $1{,}217$ с. Ниже периоды каждой тележки поодиночке у стенки на той же пружине, $1{,}405$ и $2{,}433$ с. Пара колеблется быстрее любой из них: инерцию пары задаёт приведённая масса, а она меньше массы каждой тележки.

Ползунок наклоняет дорожку, и тяжесть тянет обе тележки вдоль неё с одним ускорением, до $1$ м/с². След центра масс становится параболой, а период остаётся $1{,}217$ с: одинаковое ускорение обеих тележек расстояния между ними не меняет.

Слева метровый маятник на лёгком стержне, в середине его фазовая плоскость, справа период против амплитуды в долях гармонического $T_0 = 2\pi\sqrt{l/g} = 2{,}006$ с. Кривые фазовой плоскости проведены по сохранению энергии. Замкнутые вокруг нижней точки описывают качание, волнистые сверху и снизу вращение через верх, а разделяет их сепаратриса, кривая с энергией $2mgl$. Полоса следа за точкой посчитана по уравнению движения и ложится на свою кривую.

Ползунок и кнопки задают амплитуду, с которой маятник отпускают из покоя. Под сценой стоят гармонический период, точный из сохранения энергии и снятый с движения по разворотам маятника. Каждая амплитуда, на которую встаёт ползунок, добавляет точку на кривую справа, а кнопка «Снять кривую» проходит амплитуды от $5°$ до $179°$ сама. При $14°$ период длиннее гармонического на $0{,}37$ процента. При $30°$ синус угла меньше самого угла на $4{,}5$ процента, а период длиннее всего на $1{,}7$. Отметки на кривой стоят у $22{,}8°$, $50{,}1°$ и $69{,}3°$, где период длиннее на $1$, $5$ и $10$ процентов, и у $90°$, где на $18$. Пунктир рядом даёт первую поправку к периоду (формула свёрнута в Измерим период на большой амплитуде), и до $70°$ она ошибается в периоде меньше чем на процент. При $170°$ маятник качается в $2{,}44$ раза медленнее гармонического, при $179{,}9°$ в $5{,}37$ раза и подолгу стоит у верхней точки.

Кнопка «Толкнуть через верх» пускает маятник из нижней точки с угловой скоростью $6{,}5$ рад/с, больше $2\sqrt{g/l} = 6{,}26$ рад/с на сепаратрисе. Точка бежит над сепаратрисой, маятник вращается, и оборот длится $1{,}685$ с. На нити груз при амплитуде больше $90°$ провис бы сразу, поэтому в демке он на стержне.

Груз $0{,}1$ кг на пружине $10$ Н/м отпускают из $5$ см. Слева его отклонение от времени с коридором в пять процентов начального, справа та же точка на фазовой плоскости $(x, \dot x)$, где пунктиром проведён эллипс без трения через начальную энергию. Внизу режим по знаку $\gamma^2 - \omega_0^2$ рядом с числом заходов за ноль, снятым со следа, момент, после которого отклонение навсегда остаётся в коридоре, логарифмический декремент $d$ по соседним максимумам рядом с $\gamma T$ и добротность $Q = \pi/d$ (Декремент затухания и добротность).

Ползунок задаёт $\gamma/\omega_0$ от нуля до трёх. Без трения точка обходит эллипс и возвращается в ту же точку. При $d = 0{,}3$ соседние максимумы относятся как $0{,}741$, амплитуда падает в $e$ раз за $3{,}33$ колебания и $Q = 10{,}47$; при $d = 0{,}01$ коэффициент трения $0{,}0032$ кг/с и $Q \approx 314$. Критический режим, $\beta = 2$ кг/с, приходит в коридор за $0{,}474$ с без захода за ноль, а при $\gamma = 2\omega_0$ на это уходит $1{,}146$ с, и пунктир критического весь путь идёт ниже. При $\gamma/\omega_0 = 0{,}7$ груз входит в коридор раньше критического, за $0{,}290$ с, а потом перелетает равновесие, на $4{,}6$ процента, уже внутри коридора.

Второй ползунок толкает груз к равновесию. Критический режим перелетает ноль при толчке быстрее $50$ см/с, режим с $\gamma = 2\omega_0$ при толчке быстрее $186{,}6$ см/с, так что незаход за ноль отличает режим только у старта из покоя. Кнопка «Явный Эйлер» добавляет на фазовую плоскость ту же систему, посчитанную явной схемой с шагом в сотую долю периода без трения: без трения её соседние максимумы растут в $1{,}22$ раза и спираль раскручивается наружу, как в третьей неделе (Шаг по орбите). Спираль трения идёт внутрь и от шага не зависит.

Две строки, два затухающих осциллятора из раздела о декременте (Декремент затухания и добротность): сверху период $10$ нс и $\gamma = 10^5$ с⁻¹, снизу период $1$ мс и $\gamma = 10^2$ с⁻¹. В строке колебания $x(t)$, под ней столбики энергии в максимумах; энергию демка обозначает $W$, глава $E$. Курсор проходит окно за пять секунд, и под каждой строкой написано, сколько колебаний и сколько секунд прошло у этого осциллятора к курсору.

Переключатель оси меняет часы. В колебаниях, у каждого своих, амплитуда первого падает в $e$ раз за $1000$ колебаний, второго за $10$, и быстрее гаснет второй. В секундах первый гаснет за $10$ мкс, второй за $10$ мс, в тысячу раз медленнее, и за окно в $30$ мкс второй делает только три сотых колебания. Ползунок окна растягивает ось до $3000$ колебаний или до $0{,}3$ с. Кнопка «Одна добротность» даёт обоим $d = 0{,}01$: в колебаниях строки совпадают, а по секундомеру первый гаснет за $1$ мкс, второй за $100$ мс.

«Одна система» оставляет одну строку и ползунок декремента от $0{,}001$ до $2$. Демка снимает $d$ по двум соседним максимумам и печатает рядом $Q = \pi/d$, $\omega_0/2\gamma$ и отношение энергии к потере за период. При $d = 0{,}01$ первые два равны $314{,}16$, а энергия больше потери за период только в $50{,}5$ раза; отношение энергии к средней потере за радиан, $2\pi W/\Delta W = 317{,}3$, больше $Q$ на процент. При $d = 0{,}5$ определения расходятся заметно: $\pi/d = 6{,}28$, а $2\pi W/\Delta W = 9{,}94$. Сколько колебаний модель без трения держится, сказано в разделе о числе колебаний (Измерим трение числом колебаний).

Шарик на рельефе с двумя ямками: левая глубже, правая мельче, между ними барьер. Шарик отпускают из покоя на правом склоне, и уравнение $m\,d^2x/dt^2 = -dU/dx - \gamma\,dx/dt$ ведёт его вниз. Без трения энергия стоит, и шарик качается через обе ямки без конца. При слабом трении, $\gamma = 0{,}5$, он переваливает барьер и ложится в глубокую ямку. При трении около критического, $\gamma = 5$, он быстрее всего успокаивается в мелкой. При сильном, $\gamma = 15$, ползёт в мелкую ямку, ближайшую к старту.

Полые значки идут по той же кривой шагами двух алгоритмов с шагом времени $\Delta t = 0{,}05$: кружок градиентным спуском с $\eta = \Delta t/\gamma$, квадрат тяжёлым шариком с $\eta = \Delta t^2/m$ и $\beta = 1 - \gamma\Delta t/m$. Тяжёлый шарик идёт за физическим, а спуск при слабом трении остаётся в мелкой ямке: инерции, чтобы перевалить барьер, у него нет. При сильном трении оба алгоритма приходят в минимум почти за одно и то же число шагов, $239$ и $237$.