Предмет физики. Размерности

Курс общей физики открывается двумя вопросами: что такое физика и почему она важна для специалистов в области машинного обучения и искусственного интеллекта.

Физика — это фундаментальная естественно-научная дисциплина, которая, как и химия, биология и астрономия, использует эксперимент для описания объективной реальности. Физика сосредотачивается на самых базовых закономерностях, лежащих в основе всех природных явлений, и часто становится отправной точкой для других наук.

Почему физика важна будущему специалисту по машинному обучению? Во-первых, физика развивает понимание того, как строить модели реальности на основе экспериментальных данных. Этот процесс очень похож на работу специалиста по машинному обучению: сбор данных, построение моделей, прогнозирование поведения систем.

Кроме того, многие математические концепции и идеи, с которыми специалист сталкивается в профессиональной деятельности, изначально появились в физике. Эти концепции впоследствии перешли в другие области знаний, включая математику, где они уже формально вводятся и строго обосновываются. Курс объясняет их на пальцах и показывает, как они применяются в реальных физических задачах.

Обязательный курс физики разделён на два семестра и полностью покрывает классическую физику. Первый семестр посвящён механике и термодинамике — основам понимания движения, сил и энергии. Во втором семестре курс переходит к изучению электромагнитных явлений, включая оптику, что позволяет понять природу света и электромагнитных волн. Соответственно, лекции и записи состоят из двух частей: первая часть — механика и термодинамика, вторая часть — электромагнитные явления.

Для желающих углубиться в более современные области физики в летнем семестре предлагается небольшой 7-недельный курс, посвящённый квантовой физике. В нём рассматривается, как квантовая физика изменяет наше представление о мире на микроуровне и как это влияет на общую картину мира. Однако этот курс относится к альтернативным и не является обязательным.

Курс построен так, чтобы показать в физике не только набор формул и законов, но и захватывающую область знаний, способную объяснить и предсказать поведение мира вокруг нас. Начинается он с основ классической физики: эти базовые принципы формируют само понимание реальности.

Измерить величину значит сравнить её с образцом и сказать, во сколько раз она больше. Пока величину не с чем сравнить, о ней нельзя сказать ничего проверяемого, и физика начинается там, где сравнение становится возможным.

Чем мерили до эталонов

Мерили тем, что всегда под рукой. Длину брали в локтях, шагах и пядях, вес в фунтах и стоунах. У такой меры одно неудобство: локоть зависит от того, чей он, и в соседнем городе выходит другим. Пока обмен идёт между знакомыми людьми, это терпимо. Торговля между городами и повторение чужого опыта требуют образца, одинакового для всех сторон.

Одним из интересных исторических примеров является деление круга на 360 градусов. Почему именно 360? Это число восходит к древнему Вавилону, где считалось, что в году 360 дней. Число 360 удобно для расчётов, поскольку оно делится на множество чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12 и так далее. Это делало использование градусов удобным для древних астрономов и математиков.

Однако использование 360 градусов как единицы измерения углов имеет свои недостатки. Градусы — это условная единица, основанная на исторических соглашениях, и они не всегда удобны при математических операциях. Например, формула для длины дуги, опирающейся на центральный угол в градусах, может быть довольно сложной и требует дополнительных преобразований:

где $s$ — длина дуги, $\theta$ — угол в градусах, $r$ — радиус окружности.

Чтобы упростить расчёты и сделать их более объективными, были введены радианы. Радиан определяется как угол, при котором длина дуги окружности равна её радиусу. Это приводит к простой формуле:

где $\theta$ — угол в радианах, $s$ — длина дуги, $r$ — радиус окружности. Радианы удобны тем, что угол в них задан отношением двух длин, а не долей произвольно выбранного круга. Из формул уходят переводные множители: производная синуса равна косинусу только для радианов, в градусах остался бы множитель $\pi/180$.

Таким образом, радианы становятся предпочтительной единицей измерения углов, так как они не только удобны для математических операций, но и обеспечивают более объективное описание угловых измерений.

После того как мы обсудили важность измерений и рассмотрели некоторые исторические примеры, такие как использование градусов и радианов для измерения углов, возникает естественный вопрос: как мы пришли к современным системам измерения, и почему они важны?

Историческая справка: Великая французская революция и метрическая система

История стандартной системы единиц берёт своё начало во времена Великой французской революции в конце 18 века. В этот период возникла идея создать единую, универсальную и логичную систему измерений, основанную на природных явлениях. В результате этой работы был введён метр — единица длины, определённая как одна десятимиллионная часть расстояния от экватора до Северного полюса вдоль Парижского меридиана. В дальнейшем метрическая система получила широкое распространение, и из неё развилась современная Международная система единиц (СИ).

Метрическая система предложила использовать десятичную систему, что сделало измерения более простыми и удобными для научных и повседневных нужд. Например, один километр стал равен 1000 метров. Однако, несмотря на стремление к унификации, переход на десятичную систему не был полным. Хотя длины и массы были успешно переведены в метрическую систему, время оставалось исключением. Были идеи перейти на десятичные часы, но они не прижились.

По мере того как метрическая система развивалась, потребовалось создание точных эталонов для базовых величин, таких как длина и масса. Первоначально эталоны представляли собой физические объекты. Например, метр определялся как длина между двумя рисками на эталоне из платино-иридиевого сплава, а килограмм — как масса эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов.

Для измерения времени также был установлен эталон — цезиевый стандарт. В 1967 году была принята новая дефиниция секунды, основанная на свойствах атома цезия-133. Секунда стала определяться через частоту излучения, соответствующую переходу между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния атома цезия-133.

С развитием науки стало очевидно, что использование физических эталонов имеет свои ограничения. Эти эталоны могли изменяться со временем и под воздействием окружающей среды. В 2018 году Генеральная конференция по мерам и весам приняла решение сделать СИ нематериальной, опирающейся на неизменные мировые константы; в силу оно вступило 20 мая 2019 года. Теперь такие константы, как скорость света ($c$) и постоянная Планка ($h$), имеют точные значения, которые определяют базовые единицы.

• Скорость света в вакууме теперь точно равна 299 792 458 м/с, и это значение используется для определения метра.
• Постоянная Планка $h$ имеет точное значение $6.62607015 \times 10^{-34}$ Дж·с. Эта константа используется для определения килограмма, связанного с квантовой механикой.

Секунда в этом ряду стоит особняком. Её определение тоже фиксирует число — частоту перехода в атоме цезия-133, ровно $9\,192\,631\,770$ Гц, — но само число описывает конкретное вещество, а не мировую константу вроде $c$ или $h$. Поэтому именно секунда остаётся привязанной к выбранной атомной системе, и точность её воспроизведения растёт вместе с техникой: оптические стандарты уже дают лучший результат, чем цезиевые, и переопределение секунды обсуждается всерьёз.

Роль времени как основной величины и важность точных стандартов

Измерение времени является одной из самых фундаментальных задач в физике и науке в целом. Точные стандарты времени, такие как цезиевый и оптический стандарты, необходимы для навигации, коммуникаций и фундаментальных исследований. С переходом к нематериальной СИ, роль времени как основной величины только усилилась, что подчёркивает важность точных стандартов.

Историю единиц легко прочесть как набор занятных случаев. Направление в ней всё же есть.

Градус — соглашение одного народа: год считали в 360 дней, число прижилось и осталось, потому что удобно делится. Метр опирается уже не на обычай, а на природу, но на природу одной планеты. Севрский эталон убрал зависимость от точности геодезии и добавил зависимость от одного предмета: его хранят в подвале, выдают по расписанию, и за век он разошёлся со своими копиями на несколько десятков микрограммов. Реформа 2019 года убрала и предмет: единица теперь считается от числа, зафиксированного раз и навсегда, и воспроизвести её может любая лаборатория, у которой хватит техники.

Каждый шаг убирает произвол предыдущего, и за каждый приходится платить. Плата всегда одна: определение уходит от того, что можно пощупать. Метр начинался с человеческого шага, потом стал долей меридиана, потом бруском в Севре. Сегодня метр есть расстояние, которое свет проходит за $1/299\,792\,458$ секунды, и воспроизвести его без точных часов и лазера невозможно. Зато он одинаков в любой лаборатории мира.

Сама единица при этом осталась человеческого размера, и это отдельное решение. Секунду задаёт частота перехода в атоме цезия, но саму секунду выбрали такой, какой она была до всякой атомной физики: реформа поменяла определение, а не длительность.

СИ не единственная система, и к ней возникает вопрос: обязательно ли заряду отдельная основная единица? В СИ кулон не зависит от метра, килограмма и секунды, и за эту независимость приходится платить.

Система СГС отвечает иначе. Основных единиц в ней три: сантиметр, грамм и секунда. Заряд своей единицы не получает, и это видно по закону Кулона. В СИ он записывается так:

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная с размерностью $[\epsilon_0] = \text{Кл}^2\cdot\text{Н}^{-1}\cdot\text{м}^{-2}$, $q_1$ и $q_2$ — заряды в кулонах, $r$ — расстояние между ними.

Коэффициент перед дробью появляется из-за лишней основной единицы: он переводит кулоны в ньютоны и метры.

В СГС переводить нечего:

Заряд получает размерность $[\text{заряд}] = \text{г}^{1/2} \cdot \text{см}^{3/2} \cdot \text{с}^{-1}$, то есть выражается через массу, длину и время. Дробные степени выглядят непривычно, зато новой сущности в системе не появляется. Один кулон равен примерно $3 \times 10^9$ электростатических единиц заряда (э.е.з.).

Та же экономия видна в уравнениях Максвелла: в СГС в них явно стоит скорость света, и связь электричества с магнетизмом читается прямо из записи, без набора переводных множителей.

Планковские величины представляют собой набор единиц, основанных на фундаментальных физических константах: скорости света ($c$), постоянной Планка ($h$) и гравитационной постоянной ($G$). Эти величины определяют базовые масштабы для длины, времени, массы и других физических величин в квантовой механике.

Вот основные планковские величины и их определения:

Планковская длина $l_p$:

Планковское время $t_p$:

Планковская масса $m_p$:

Планковская энергия $E_p$:

Планковская температура $T_p$:

где $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ — приведённая постоянная Планка, $k_B$ — постоянная Больцмана.

Планковские величины подчёркивают глубокую связь между квантовой механикой и общей теорией относительности, позволяя физикам проводить исследования на самых фундаментальных уровнях природы. Они представляют собой предельные масштабы, ниже которых классические представления о пространстве и времени теряют смысл, и являются важным инструментом для изучения явлений в чёрных дырах или при ранних стадиях Вселенной.

Всё, что мы разбирали про единицы, говорит одно: единица условна. Круг делят на 360 частей потому, что в древнем Вавилоне считали год в 360 дней. Метр появился как одна десятимиллионная четверти парижского меридиана, и меридиан при этом измерили с ошибкой. Килограмм полтора века был бруском металла в Севре. Каждый из этих выборов мог оказаться другим.

Природа о нашем выборе не знает. Шарик падает одинаково, меряем мы путь в метрах или в футах; при переходе к сантиметрам изменятся числа в записи, а связь между величинами останется прежней. Отсюда требование, на котором дальше стоит вся теория размерностей:

Физический закон обязан сохранять вид при любом изменении масштабов единиц внутри выбранного класса систем. Опытом такое требование не проверяют: оно говорит, какая запись вообще имеет смысл. Формула, которая ломается при переходе от метров к сантиметрам, описывает нашу линейку, а не природу.

Из этого требования, без единого уравнения движения, дальше выводятся устройство любой физической величины, разграничение величин на размерно-зависимые и независимые и способ сокращать число переменных в задаче.

Кажется, что можно остановиться на том, что мы ввели основные единицы измерения и перейти к изучению конкретных физических величин. Однако, даже тот факт, что мы ввели единицы измерения, уже может нам помочь глубже понять физические процессы. Например, из введения основных единиц следует, что любая физическая величина может быть представлена как произведение базовых величин в определённых степенях.

Утверждение: Формула размерностей любой физической величины есть степенной одночлен от базовых размерностей — произведение их степеней, без сложения. В общем виде это утверждение можно записать как:

где $\left[ Q \right]$ — размерность физической величины $Q$, а $a$, $b$, $c$ — показатели степеней, соответствующие длине (L), массе (M) и времени (T).

Доказательство утверждения: Будем доказывать это утверждение через преобразование масштабов величин. Рассмотрим функцию объёма $V$ и изменим её на примере двух объектов с линейными размерами $A = (a_1, a_2, a_3)$ и $B = (b_1, b_2, b_3)$. Предположим, что объём $V$ является функцией от размеров объекта: $V = f(A)$ и $V' = f(B)$.

1. Однократное преобразование масштабов. Выполним преобразование линейных размеров, увеличив их в $k$ раз. Тогда объёмы будут определяться как:

после масштабирования:

Получаем отношение:

Здесь вступает второе допущение вывода: отношение $f(A)/f(kA)$ считается одним и тем же для любого тела, то есть зависит от масштаба $k$, но не от того, что именно мы меряем. Это постулат Бриджмена, проверяется он только опытом; без него формула размерностей не выводится.

2. Свойства функции $\phi(k)$. Учитывая, что при $k = 1$ объём не изменяется, получаем:

Кроме того, предположим, что у этой функции существует производная:

Мы используем это предположение для физических выкладок, так как в физике такие зависимости гладкие и имеют производные.

3. Двойное преобразование масштабов. Теперь рассмотрим двойное изменение масштаба:

Это уравнение говорит о том, что функция $\phi$ должна удовлетворять функциональному уравнению, где $\phi(k_1 k_2) = \phi(k_1) \cdot \phi(k_2)$.

4. Угадывание функции $\phi$. Из этого уравнения мы можем угадать, что единственная функция, подходящая под данное условие, — это степень вида:

Угадать мало: надо убедиться, что других решений нет. Это делает Единственность степенного решения.

Следствия из утверждения

1. Умножение размерных величин: Если $A$ и $B$ — две физические величины с размерностями $\left[ A \right] = \text{L}^a \cdot \text{M}^b \cdot \text{T}^c$ и $\left[ B \right] = \text{L}^d \cdot \text{M}^e \cdot \text{T}^f$, то их произведение $A \cdot B$ имеет размерность $\left[ A \cdot B \right] = \text{L}^{a+d} \cdot \text{M}^{b+e} \cdot \text{T}^{c+f}$.

2. Возведение в степень: Если физическая величина $A$ имеет размерность $\left[ A \right] = \text{L}^a \cdot \text{M}^b \cdot \text{T}^c$, то величина $A^n$ имеет размерность $\left[ A^n \right] = \text{L}^{an} \cdot \text{M}^{bn} \cdot \text{T}^{cn}$.

Функциональное уравнение $\phi(k_1 k_2) = \phi(k_1)\phi(k_2)$ получено в Формула размерностей из одних только преобразований масштаба. Степенное решение мы там угадали; здесь показано, что других решений у него нет. Единственное, что предполагается сверх самого уравнения, это гладкость $\phi$, и она у физических зависимостей есть. Второе допущение вывода, независимость $\phi$ от самого тела, названо в Формула размерностей.

Сначала значение в единице. Подставим $k_1 = k_2 = 1$:

Нуль здесь невозможен: $\phi(k) = f(A)/f(kA)$ есть отношение двух значений одной величины, и в нуль оно не обращается.

Теперь продифференцируем функциональное уравнение по $k_2$, считая $k_1$ фиксированным:

Подставим $k_2 = 1$ и обозначим $N \equiv \phi'(1)$ — это просто число, производная в единице:

Мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение, и переменные в нём разделяются:

Интегрируя обе части, получаем $\ln \phi = N \ln k + \text{const}$, то есть $\phi(k) = C k^N$. Постоянную даёт условие $\phi(1) = 1$, откуда $C = 1$:

Других решений нет: любое гладкое решение функционального уравнения обязано иметь степенной вид. Именно поэтому формула размерностей — всегда произведение степеней, а не что-нибудь ещё.

Из формулы размерностей следуют два правила проверки с общим основанием. Пригодятся они в любой теме курса.

Первое правило: уравнение однородно. Все слагаемые обеих частей обязаны иметь одну и ту же размерность. Складывать метры с секундами нельзя не потому, что это запрещено правилом, а потому, что сумма не будет значить ничего: при переходе к другим единицам два слагаемых умножатся на разные числа, и равенство развалится. Поэтому размерностная проверка ловит ошибку раньше, чем начнётся счёт. Стоит она дешевле перепроверки всей выкладки.

Второе правило: аргумент неалгебраической функции безразмерен. Под логарифмом, экспонентой и синусом может стоять только безразмерная комбинация. Основание прежнее. Разложение в ряд складывает степени аргумента:

Само разложение в ряд мы здесь принимаем как готовый факт: тому, что гладкую функцию можно записать такой суммой степеней, учат в курсе математического анализа. Для нашей проверки хватает одного: в сумме стоят разные степени аргумента. Если $x$ несёт размерность, то у $x$ и $x^2$ размерности разные, а складывать их нельзя. Значит безразмерным обязан быть сам аргумент. На практике это почти всегда отношение к опорному значению: под логарифмом стоит не температура, а её отношение к другой температуре, не амплитуда, а отношение двух амплитуд.

Ошибку эти правила ловят, а правоту не подтверждают. Выражение, верное по размерности, вполне может быть неверным по физике: размерности не знают ни о числовых множителях, ни о величине, которую забыли включить в список.

Из понимания того, что любая физическая величина может быть представлена как произведение базовых величин в определённых степенях, следует важное разграничение между размерно-зависимыми и размерно-независимыми величинами.

Определение: Говорят, что величина $a$ размерно-зависима от величин $b_1, b_2, \ldots, b_n$, если размерность величины $a$ выражается через размерности этих величин по формуле:

т.е. существуют такие действительные числа $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что равенство выполняется. Если же таких чисел не существует, то величина $a$ размерно-независима от величин $b_1, b_2, \ldots, b_n$.

Примеры размерно-независимых величин:

• Время $t$, длина $l$, масса $m$ — это примеры размерно-независимых величин, так как они являются основными единицами измерения.
• Система величин: скорость, динамическая вязкость (формально мы ещё не знакомы с понятием динамической вязкости, но для нас представляет интерес размерность вязкости; динамическая вязкость имеет размерность $\text{ML}^{-1}\text{T}^{-1}$), и время также является системой размерно-независимых величин. Это видно из того, что в размерность вязкости входит масса, поэтому она не может выражаться через скорость и время. Аналогично, время и скорость не могут выражаться через размерности друг друга, поскольку скорость включает длину, а время — нет. Такие системы величин представляют собой множество размерно-независимых величин.

Давление $P$ является величиной, размерно-зависимой от динамической вязкости $\eta$, ускорения свободного падения $g$, и длины $l$. Действительно, размерность давления может быть выражена через размерности вязкости, ускорения и длины. Рассмотрим их размерности:

Будем искать такие числа $p, q, r$, чтобы выполнялось равенство:

Подставив размерности выбранных величин, получим:

Приравняв показатели степеней одинаковых размерностей в правой и левой частях, получим систему линейных уравнений:

Эта система имеет единственное решение: $p = 1$, $q = 1/2$, $r = -1/2$. Таким образом, получаем:

что доказывает, что давление размерно-зависимо от вязкости, ускорения и длины.

Формула размерностей говорит, как устроена одна величина. Пи-теорема говорит, что делать с целой задачей: если в ней $n$ величин, а независимых размерностей среди них $k$, то зависимость сводится к $n-k$ безразмерным комбинациям. Переменных становится меньше, и это сокращение самой задачи, а не только её записи.

Формулировка пи-теоремы

Пусть есть физическая величина $a = f(a_1, \ldots, a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n)$, и вид этой функции не меняется при изменении масштабов в выбранном классе систем единиц. Выберем среди аргументов функции наибольшую совокупность величин с независимыми размерностями (от 1 до $k$), тогда исходная зависимость эквивалентна зависимости между $p = n - k$ безразмерными величинами:

где $\pi$ и $\pi_i$ — безразмерные комбинации переменных.

Оборот «в выбранном классе систем единиц» требует расшифровки. Класс — это все системы с одним и тем же набором основных величин, отличающиеся только размером самих единиц: в механике СИ и СГС лежат в одном классе LMT, потому что переход от метров к сантиметрам сводится к умножению на числа. Другой класс получается, когда меняется сам набор основных величин: в электродинамике СИ добавляет к длине, массе и времени ампер, а СГС обходится без него, и размерность заряда в этих системах разная. Условие теоремы поэтому означает: закон выглядит одинаково, меряем мы в метрах или в сантиметрах.

Тот же ход знаком по работе с данными: признаки объединяют в безразмерные комбинации, и модель учится на меньшем числе входов, не теряя информации о системе. Разница в том, что здесь комбинации не подбираются, а следуют из размерностей.

Шаг 1: Обезразмеривание переменных. Выберем первые $k$ величин и обезразмерим все остальные:

где $\pi_i = \frac{a_i}{a_1^{b_1} \ldots a_k^{b_k}}$.

Шаг 2: Изменение масштаба первой переменной. Изменим масштаб величины $a_1$, но вид зависимости не изменится:

Величины $a_1, \ldots, a_k$ взяты с независимыми размерностями, поэтому масштабы основных единиц можно подобрать так, чтобы число, изображающее $a_1$, выросло в десять раз, а числа для $a_2, \ldots, a_k$ остались прежними: ни одна из них не выражается через остальные, и масштабы меняются порознь. Безразмерные $\pi$ и $\pi_{k+1}, \ldots, \pi_n$ при смене единиц не меняются вовсе, а обе системы единиц лежат в одном классе, поэтому по условию теоремы вид $f$ тот же. Изменился один аргумент из всех, и десятка тут ничем не выделена: годится любой множитель.

Поскольку вид функции остаётся неизменным, можно сделать вывод, что функция не зависит от $a_1$, и её можно исключить:

Шаг 3: Повторение для остальных переменных. Повторим аналогичное изменение масштаба для переменных $a_2, \ldots, a_k$. В результате остаются только безразмерные величины:

Это и есть пи-комплексы, которые выражают зависимость исходной величины через уменьшенное число независимых безразмерных параметров.

Рассмотрим пример с падением шарика под действием силы тяжести. Пусть величина, которую мы хотим описать, — это пройденный путь $S$ за время $t$. Очевидно, что $S$ зависит от времени $t$ и ускорения свободного падения $g$. Запишем эту зависимость:

С точки зрения размерностей:

При неправильном применении пи-теоремы можно предположить, что зависимость можно выразить как:

где $k$ — константа. Однако, такой подход игнорирует влияние ускорения $g$ и не соответствует действительности, так как не учитывает физическую величину $g$, которая определяет ускорение движения. Это приводит к неполному и неверному описанию зависимости.

Дополнительный комментарий: Если мы изменим масштаб времени, коэффициент $k$ также изменится, что нарушает принцип пи-теоремы, согласно которому вид зависимости не должен изменяться при изменении масштаба величин в выбранном классе единиц.

Теперь рассмотрим правильное применение пи-теоремы на том же примере падения шарика под действием силы тяжести. Величина $S$ зависит от времени $t$ и ускорения свободного падения $g$:

Преобразуем зависимость с использованием пи-теоремы. Обезразмерим переменные, выбрав $g$ и $t$ в качестве базисных величин:

В этой комбинации $\pi$ — безразмерная величина. Тогда зависимость $S$ можно выразить через безразмерную комбинацию:

откуда следует:

где $k$ — некоторая безразмерная константа. Этот результат соответствует известному физическому закону, где $k = \frac{1}{2}$ для свободного падения без начальной скорости.

Рассмотрим пример с движением шарика в вязкой жидкости. Пусть сила вязкого трения $F$ зависит от вязкости жидкости $\eta$, скорости шарика $v$, радиуса шарика $r$ и плотности жидкости $\rho$. Запишем эту зависимость:

С точки зрения размерностей:

Преобразуем зависимость с использованием пи-теоремы. Выберем вязкость $\eta$, скорость $v$ и радиус $r$ в качестве базисных величин. Обезразмерим переменные:

Первый пи-комплекс $\pi_1$ описывает безразмерное выражение силы вязкого трения. Второй пи-комплекс $\pi_2$ — это известное число Рейнольдса, которое характеризует соотношение инерционных и вязких сил в жидкости. Число Рейнольдса является одним из главных параметров в гидродинамике и будет рассматриваться подробнее в соответствующей лекции (Прочтём число Рейнольдса по уравнению кубика).

Правильное применение пи-теоремы позволяет выразить силу вязкого трения через безразмерные комбинации:

Или, что эквивалентно:

Это означает, что сила вязкого трения зависит от числа Рейнольдса, что подтверждает экспериментальные данные и широко используется в гидродинамике и инженерных приложениях.

Какова функция $f$, размерности не говорят, зато говорят, что опыт нужен один: пять разных тел в разных средах ложатся на одну кривую (Пять опытов на одной кривой).

Применение пи-теоремы требует тщательного выбора базисных величин и учёта всех значимых физических параметров. Ошибки, такие как игнорирование влияющих величин, могут привести к неправильным результатам. Правильное использование пи-теоремы позволяет уменьшить размерность задачи, сохраняя её физическую точность. Именно из-за пи-теоремы мы можем строить уменьшенные модели летательных аппаратов и автомобилей для тестирования их поведения в аэродинамических трубах. Тестируя уменьшенные модели в контролируемых условиях, мы можем предсказывать поведение полноразмерных объектов, что существенно экономит ресурсы и время.

Пи-теорема утверждает больше, чем экономию переменных. Если у двух задач совпали все безразмерные комплексы, то совпали и решения в безразмерном виде, независимо от того, насколько разными эти задачи выглядят по размерам, скоростям и веществам.

На этом стоят испытания на уменьшенных моделях. Самолёт не обязательно продувать целиком: достаточно уменьшенной модели, если у модели и у оригинала совпадает число Рейнольдса. Посчитаем, чего это стоит. Уменьшили модель в десять раз, радиус упал вдесятеро; чтобы комбинация $\rho v r / \eta$ осталась прежней, надо во столько же раз поднять скорость. Есть и второй путь: сменить среду, увеличив плотность или уменьшив вязкость. Отсюда аэродинамические трубы с повышенным давлением: сжатый воздух даёт нужную плотность там, где скорость поднимать уже некуда.

Обратную сторону показывает Пять опытов на одной кривой. Пять тел, от пылинки в воздухе до футбольного мяча, различаются по силе сопротивления на девять порядков, и в обычных осях их кривые не имеют между собой ничего общего. В безразмерных осях все пять ложатся на одну.

Полное подобие достижимо редко. Безразмерных комплексов у задачи обычно больше одного, и совместить их все разом не выходит: уменьшая модель, приходится поднимать скорость ради числа Рейнольдса, а рост скорости портит второй комплекс, отвечающий за сжимаемость среды. Тогда выбирают, какой из комплексов важнее для того, что именно измеряют, и мирятся с расхождением по остальным.

Во введении обещано, что понятия машинного обучения нередко приходят из физики. Пи-теорема — один из таких случаев, и разбирается он на уже знакомом примере.

Пусть надо предсказывать силу сопротивления шарика в жидкости. Признаков четыре: плотность среды, скорость, радиус тела, вязкость. Наивная постановка ищет функцию четырёх аргументов, то есть поверхность над четырёхмерным кубом. Пи-теорема считает иначе: величин вместе с самой силой пять, базовых размерностей три, значит независимых безразмерных комплексов ровно два: число Рейнольдса и сила, отнесённая к $\rho v^2 r^2$:

Задача обучения схлопнулась с функции четырёх аргументов до функции одного. Цена в данных считается сразу: чтобы прощупать функцию четырёх переменных хотя бы по десяти точкам на каждую ось, нужно $10^4$ опытов, а функцию одного аргумента — десять. Четыре порядка по числу измерений, и это точное следствие того, что природа не знает, в чём мы меряем.

Модель, обученная в безразмерных переменных, переносится с тела на тело: кривая бусины в глицерине годится любому шару при тех же числах Рейнольдса. Модель на сырых признаках так не умеет: она не знает, что ответ зависит от произведения $\rho v r / \eta$, а не от четырёх чисел по отдельности, и выучить эту зависимость может только внутри увиденного диапазона. За пределами своего отрезка чисел Рейнольдса безразмерная модель так же слепа, как модель на сырых признаках, и футбольному мячу с его $\mathrm{Re} \sim 10^5$ нужны свои замеры (Пять опытов на одной кривой).

Самый известный случай, когда теория размерностей дала число, за которым стояли годы секретной работы. Взрыв «Тринити» 16 июля 1945 года снимали скоростной камерой; кадры с масштабной линейкой и отметкой времени опубликовали, а энергию взрыва — нет. Между тем на кадре есть всё, что нужно.

Огненный шар расширяется в воздухе, и разумно предположить, что его радиус $R$ определяется тремя величинами: энергией взрыва $E$, плотностью окружающего воздуха $\rho$ и временем $t$, прошедшим с момента подрыва. Прочность воздуха и его начальное давление на этой стадии несущественны — давление внутри шара на порядки больше.

Составим формулу размерностей для искомой энергии:

Ищем энергию в виде произведения степеней, как того требует метод:

Приравняем показатели при массе, длине и времени. Масса входит только в плотность, поэтому $a = 1$ сразу. Из длины получаем $2 = -3a + b$, то есть $b = 5$. Из времени $-2 = c$. Все три показателя определились однозначно — безразмерного комплекса здесь не остаётся, а значит ответ найден с точностью до числового множителя порядка единицы:

Пятая степень радиуса — та самая причина, по которой оценка вообще возможна: радиус измеряется по фотографии точнее всего остального, и именно он решает дело.

Подставим числа с кадра: радиус шара $R = 130$ м на отметке $t = 0{,}025$ с, плотность воздуха $\rho = 1{,}2$ кг/м$^3$.

Переведём в привычные для этой области единицы, поделив на энергию килотонны тротила $4{,}18 \cdot 10^{12}$ Дж:

Официальная оценка держалась десятилетиями на 21 килотонне, а радиохимическая переоценка 2021 года дала 24,8 ± 2 кт. Расчёт в четыре строки, сделанный без единого секретного документа, попадает в тот же порядок величины и ошибается меньше чем в полтора раза. Ровно это и обещает метод размерностей: не точное значение, а правильный масштаб явления — и понимание, от чего оно зависит.

Соберите безразмерную комбинацию руками: у каждой величины — своя степень, внизу три счётчика (метр, килограмм, секунда), и каждый должен прийти к нулю. Наборы недели: свободное падение, давление через вязкость, сила вязкого трения. Счётчики показывают не только что сошлось, но и почему: килограмм гасится строго парой величин, которые его несут.

Проверка теории размерностей экспериментом: два маятника отпускают одновременно и меняют по одной величине за опыт. Журнал накапливает строки — масса впятеро не меняет период, длина вчетверо даёт ровно вдвое, Луна замедляет в 2,46 раза. Демка честно интегрирует уравнение маятника без приближения малых углов.

Слева оси, в которых меряют: сила сопротивления против скорости. Пять тел — пылинка в воздухе, бусина в глицерине, шарик в воде, теннисный и футбольный мячи; между крайними кривыми девять порядков по силе, общего у них не видно. Кнопка «По Рейнольдсу» пересчитывает те же точки в безразмерные оси, и пять кривых садятся на одну.

По вертикали справа коэффициент сопротивления $c_d = F / (\rho v^2 S / 2)$, где $S$ — площадь сечения тела. Это то же $\pi_1$, делённое на $\pi_2$ и на числовой множитель, как принято нормировать силу в гидродинамике. Одна кривая вместо пяти и есть зависимость $\pi_1 = f(\pi_2)$ из примера про вязкое трение. Число Рейнольдса здесь взято по диаметру, как принято в гидродинамике, а $\pi_2$ в примере построен на радиусе, поэтому $\mathrm{Re} = 2\pi_2$. Кнопка «Левый край» кладёт поверх прямую $24/\mathrm{Re}$: предел Стокса, к которому кривая выходит при малых числах Рейнольдса; в переменных примера та же прямая читается как $12/\pi_2$.

Точки на графике не измерены. Это то, что даёт сводная кривая сопротивления шара — корреляция Клифта и Говена (1971), описывающая усреднение семнадцати опытных работ, — посчитанное для пяти конкретных тел. Демка показывает работу обезразмеривания, а не архив чьих-то измерений.