Произвольное движение твёрдого тела

С одной точкой пятая неделя разобралась. У точки, которая обходит полюс по окружности радиуса $r$, момент импульса равен $mvr$, а скорость равна $\omega r$ (Определим момент импульса точки), так что момент импульса был связан с угловой скоростью уже там, только неявно. Эта связь и есть предмет главы: возьмём пару точек и запишем её явно. Две маленькие массы $m$ на лёгкой штанге вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, которая проходит поперёк штанги через её середину $O$ (рис. 1). Каждая масса идёт по окружности радиуса $r$ со скоростью $\omega r$, и её момент импульса относительно $O$ направлен по оси и равен $mr^2\omega$ (Определим момент импульса точки). Оба момента смотрят в одну сторону, и сумма лежит на оси:

Момент импульса идёт здесь по угловой скорости так же, как импульс точки идёт по её скорости, $\vec p = m\vec v$ (Продифференцируем момент импульса), а вместо массы стоит число $2mr^2$, сумма масс, умноженных на квадраты их расстояний до оси. Так же устроен обод колеса на своей оси: его момент импульса лежит на оси и равен $mR^2\omega$. Такие числа глава назовёт моментами инерции (Найдём момент инерции).

Теперь наклоним штангу так, чтобы она шла под углом $\alpha$ к оси, оставив её середину на оси, и снова раскрутим гантель. Куда смотрит её момент импульса?

Массы по-прежнему ходят по окружностям вокруг оси, но точка $O$ лежит теперь вне плоскости каждой окружности. Момент импульса массы, $m\,\vec r\times\vec v$, перпендикулярен её радиус-вектору, а радиус-векторы обеих масс лежат на штанге. Поэтому и сумма перпендикулярна штанге. Момент импульса гантели ушёл с оси: он лежит в плоскости оси и штанги и отклонён от оси в сторону, противоположную верхней массе (рис. 3). Гантель вращается, плоскость оси и штанги поворачивается вместе с ней, и момент импульса обходит конус вокруг оси, хотя угловая скорость постоянна. Сколько его осталось на оси, посчитает пример, он же найдёт, кто момент импульса поворачивает (Посчитаем момент подшипников); наклон штанги можно менять в демке (Гантель на моторе).

Уход с оси не особенность тела. У одной материальной точки, которая ходит по окружности, момент импульса тоже уходит с оси и обходит конус, если полюс взят на оси выше или ниже плоскости окружности. Пятая неделя этого не видела, потому что брала полюс в плоскости орбиты. Своё у гантели другое: её центр масс лежит на оси, поэтому поперечная часть момента импульса не зависит от того, какую точку оси взять полюсом (Посчитаем момент подшипников).

Глава держится на двух утверждениях.

1. Мера инерции вращения не число. Импульс идёт по скорости всегда, потому что масса есть число. Момент импульса тела лежит на оси вращения, только если эта ось главная, а иначе уходит с неё даже при постоянной угловой скорости; поперечную часть задаёт распределение массы. Первая половина главы держит ось закреплённой и видит это на гантели (Посчитаем момент подшипников), вторая отпускает ось (Свяжем момент импульса с угловой скоростью).
2. Ось вне момента импульса держат моментом сил. Поперечная часть момента импульса ходит вместе с телом, и ось стоит, только пока момент импульса поворачивают. У гантели его поворачивают подшипники, у стержня на шарнире тяжесть, если брать момент относительно шарнира (Посчитаем момент подшипников, Подвесим стержень и раскрутим волчок). Без опор поворачивать некому: момент импульса стоит, и вокруг неподвижной оси тело вращается равномерно, только если момент импульса лежит на этой оси; иначе ось ходит вокруг неподвижного момента импульса (Отпустим тело без опор).

Разное поведение оси глава покажет на четырёх телах: гантели на подшипниках, стержне на шарнире, теле без опор и волчке. На них же разберём законы, которые за этим поведением стоят, а в конце главы закроем счёт по всем четырём (Закроем счёт главы).

Посчитаем, чего не было у точки

Тело есть новый объект, и насколько оно сложнее точки, можно сосчитать. Сужая тело до точки, вторая неделя выбросила ориентацию, вращение вокруг собственной оси и распределение массы: спросить у точки, куда она смотрит, нельзя, раз у неё нет носа (Материальная точка). Третья неделя вернула часть этой цены, когда центр масс стал точкой по теореме, а форму и вращение оставила шестой (Соберём, что выбрали законы).

Положение точки задают три числа. У тела есть ещё ориентация, и на неё нужны три угла, а не два. Двумя углами задаётся направление одной оси, проведённой в теле, так же как широта и долгота задают точку на глобусе. Третий нужен на поворот тела вокруг этой оси: направление оси от него не меняется, а ориентация меняется. Что трёх углов хватает, следует из теоремы Эйлера о поворотах (Составим два поворота). Положение тела задают шесть: три координаты центра масс и три угла, которые говорят, как тело повёрнуто (Составим два поворота). У гантели и тонкого стержня чисел пять: их точки лежат на одной прямой, и поворот вокруг неё ничего не меняет, как у точки ничего не меняет никакой поворот. Чтобы предсказать движение точки, нужны шесть начальных чисел, положение и скорость (Прочитаем второй закон как уравнение и назовём состояние); телу их нужно двенадцать, гантели десять. Распределение массы тоже входит в динамику немногими числами. Из всей формы тела законам движения нужны десять: масса, три координаты центра масс и шесть чисел о том, как масса разложена вокруг него. Что это за шесть чисел, станет ясно во второй половине главы (Свяжем момент импульса с угловой скоростью).

Выберем между точкой и телом

Брать ли тело вместо точки, зависит от вопроса. Молоток, брошенный через двор, летит центром масс по параболе, и где он упадёт, отвечает точка с шестью начальными числами (Докажем, что центр масс движется как точка). Какой стороной он ударится о землю, точка не скажет вовсе. Скажет тело, если дать ему двенадцать начальных чисел и знать, как в молотке разложена масса. Выбирают по обычным признакам модели: она объясняет то, о чём спросили, предсказывает то, что можно проверить, и не тянет лишнего. Где на вопрос отвечает точка, углы и шесть чисел о том, как разложена масса, становятся лишними сущностями, и бритва Оккама их отрезает. Где спрашивают об ориентации, точку отрезает сам вопрос. Сводит тело к этим немногим числам одна договорённость, о неизменных расстояниях (Договоримся о неизменных расстояниях).

Уравнение моментов для системы точек готово с пятой недели. Внутренние силы выпали из него парами, и момент импульса системы относительно неподвижного полюса меняет только момент внешних сил (Найдём момент внутренних сил):

Возьмём тело, которое может только поворачиваться вокруг неподвижной оси $z$: его вал держат подшипники. Полюс $O$ поставим на ось. Уравнение векторное, а орт оси $\vec e_z$ со временем не меняется, поэтому производная проекции есть проекция производной. Для $L_z = \vec L\cdot\vec e_z$ и $M_z = \vec M^{\text{внеш}}\cdot\vec e_z$

Тот же ход третья неделя сделала с импульсом: вдоль оси, на которую внешние силы не проецируются, импульс сохраняется, хотя вдоль других осей меняется (Разложим импульс по осям и посмотрим на короткий удар). Если бы ось поворачивалась, в уравнении появилось бы слагаемое $\vec L\cdot d\vec e_z/dt$, и одной проекцией было бы не обойтись; так устроены уравнения Эйлера во второй половине главы (Перейдём в оси тела).

Посмотрим, что входит в проекцию

Момент импульса точки массы $m$ равен $m\,\vec r\times\vec v$, где $\vec r$ проведён из полюса $O$ (Определим момент импульса точки). Разложим радиус-вектор и скорость на составляющие вдоль оси и поперёк неё (рис. 2):

Векторное произведение распадается на четыре слагаемых:

Первое равно нулю, его сомножители параллельны. Третье и четвёртое перпендикулярны оси: в каждом один сомножитель направлен по оси, а векторное произведение перпендикулярно своим сомножителям. На ось проецируется только второе:

Вектор $\vec r_\perp$ проведён от оси к точке перпендикулярно оси. Если сдвинуть полюс вдоль оси, меняется только $\vec r_z$, а он в проекцию не входит. Поэтому $L_z$ от выбора точки на оси не зависит, и его называют моментом импульса относительно оси. Третье и четвёртое слагаемые дают поперечную часть момента импульса, и с ней момент импульса может уйти с оси (Посчитаем момент подшипников). Третье, в отличие от проекции, при сдвиге полюса вдоль оси меняется.

Так же раскладывается момент силы:

Сила, параллельная оси, в $M_z$ не входит: у неё $\vec F_\perp = 0$. Не входит и сила, прямая которой пересекает ось: точку приложения можно сдвинуть вдоль этой прямой до оси, момент от этого не меняется (Продифференцируем момент импульса), а на оси $\vec r_\perp = 0$. Реакции подшипников приложены на самой оси, и в $M_z$ их нет.

Заплатим двумя проекциями

Положение тела на оси задаёт один угол, и на него хватает одного уравнения, в котором нет неизвестных реакций (Найдём момент инерции). Платим тем, что две другие проекции уравнения моментов уходят на опоры: из них находят, какой момент должны дать подшипники, чтобы ось стояла. Сумму сил, которая нужна центру масс, подшипники тоже дают (Докажем, что центр масс движется как точка). Из уравнения для проекции следует то, что понадобится сразу: проекция момента импульса сохраняется, если $M_z = 0$, даже когда полный момент сил не равен нулю и сам вектор $\vec L$ меняется (Посчитаем момент подшипников).

Подшипники часто дают две равные противоположные силы в разных точках оси. Две такие силы на разных прямых статика называет парой сил: их сумма равна нулю, а момент один и тот же относительно любой точки, $(\vec r_1 - \vec r_2)\times\vec F$, где $\vec F$ приложена в точке $\vec r_1$, а $-\vec F$ в точке $\vec r_2$. Поэтому покоящемуся телу нужны два условия, нулевая сумма внешних сил и нулевой их момент, и правило рычага пятой недели было вторым из них, записанным для полюса на оси (Найдём момент внутренних сил).

Вернёмся к гантели, которую мы наклонили к оси в начале главы (Наклоним гантель к оси). Две массы $m = 0{,}5$ кг сидят на лёгкой штанге на расстоянии $r = 0{,}2$ м от её середины $O$. Середина лежит на вертикальном валу, штанга наклонена к валу на угол $\alpha = 45°$, и мотор крутит вал с постоянной угловой скоростью $\omega = 10$ рад/с. Вал держат два подшипника, на $0{,}1$ м выше и ниже точки $O$ (рис. 3; рисунок не в масштабе).

Масса в точке $\vec r$ движется со скоростью $\vec\omega\times\vec r$. Вторая масса стоит в точке $-\vec r$, и её вклад в момент импульса относительно $O$ такой же. Раскрыв двойное векторное произведение, получаем

Вектор составлен из $\vec\omega$ и $\vec r$ и поэтому лежит в плоскости оси и штанги. Скобка равна $r^2\vec\omega_\perp$, где $\vec\omega_\perp$ есть составляющая угловой скорости, перпендикулярная штанге: из $\vec\omega$ вычтена её проекция на штангу, и остаётся вектор длины $\omega\sin\alpha$. Значит, $\vec L$ перпендикулярен штанге, а его модуль равен $2mr^2\omega\sin\alpha$; векторный вывод подробно разобран в задаче (Момент импульса гантели на наклонной оси). Каждая масса отстоит от оси на $r\sin\alpha$, и по формуле проекции (Спроецируем уравнение моментов на ось) на ось приходится $L_z = 2m(r\sin\alpha)^2\omega$. При наших числах

Модуль момента импульса в $1/\sin\alpha = 1{,}41$ раза больше его проекции на ось вращения. Проекция есть произведение угловой скорости на число $2m(r\sin\alpha)^2$, момент инерции гантели относительно оси (Найдём момент инерции), а весь вектор одним этим числом не записывается.

Повернём вектор вместе с гантелью

Плоскость оси и штанги поворачивается вместе с гантелью, и вектор $\vec L$ поворачивается с ней. Проекция на ось стоит. Поперечная часть длиной $L_\perp = |\vec L|\cos\alpha = 0{,}200$ кг·м$^2$/с обходит за оборот круг, как конец скорости обходит годограф при движении по окружности (Годограф: скорость заводит свою траекторию). Конец вектора бежит со скоростью $\omega L_\perp$ поперёк плоскости оси и штанги, и по уравнению моментов для этого нужен момент внешних сил:

Его модуль $\omega L_\perp = mr^2\omega^2\sin2\alpha = 2{,}0$ Н·м, и смотрит он поперёк оси.

Спросим, кто даёт момент

Тяжесть его не даёт. Силы тяжести двух масс параллельны оси, а их моменты относительно $O$ гасят друг друга, потому что центр масс гантели лежит в $O$. Остаются подшипники. Центр масс стоит на месте, поэтому поперечные силы двух подшипников, $\vec R_1$ и $\vec R_2$ на рисунке, равны и противоположны, то есть составляют пару сил (Спроецируем уравнение моментов на ось). На базе $0{,}2$ м пара даёт $2{,}0$ Н·м, если каждый подшипник давит на вал с силой $10$ Н. Это вдвое больше веса одной массы, $4{,}9$ Н. Обе силы поворачиваются вместе с гантелью, и плохо закреплённый вал бьётся в подшипниках.

У момента подшипников нет проекции на ось: их силы приложены на самой оси. Нет её и у момента тяжести, потому что сила тяжести параллельна оси. Поэтому

Проекция момента импульса сохраняется, а полный момент сил не равен нулю.

У рычага пятой недели опора была одна, в полюсе, и сила, которой ось держала рычаг, момента не имела (Найдём момент внутренних сил). У гантели опор две, они разнесены по валу, и их силы приложены не в полюсе. Каждая из них по отдельности момент относительно $O$ имеет, вместе они дают пару, и момент пары лежит поперёк оси.

Момент подшипников пропадает при $\alpha = 90°$, когда штанга перпендикулярна оси и момент импульса лежит на оси, как в начале главы. Пропадает он и при $\alpha = 0$: массы сидят на самой оси, и момента импульса нет вовсе. Оси, на которых момент импульса лежит, глава найдёт по распределению массы и назовёт главными (Свяжем момент импульса с угловой скоростью). Наклон штанги можно менять в демке, а вал отпустить; момент там считается и по формуле, и по силам подшипников (Гантель на моторе).

Сравним с одной массой

Пусть одна масса $m$ ходит по окружности радиуса $\rho$ вокруг оси, а полюс стоит на оси на $h$ ниже плоскости окружности. Поперечная часть её момента импульса равна $m\omega\rho h$, и если полюс сдвинуть вдоль оси, она изменится. У гантели верхняя масса на $h$ выше точки $O$, нижняя на $h$ ниже, обе на расстоянии $\rho$ от оси. Поднимем полюс по оси на $d$:

Слагаемые записаны с одним знаком: нижняя масса лежит ниже полюса, но и стоит по другую сторону оси, и эти два отличия от верхней массы гасят друг друга. Сдвиг выпал. Центр масс гантели на оси, её импульс равен нулю, и момент импульса относительно любой точки оси один и тот же. При $\rho = r\sin\alpha$ и $h = r\cos\alpha$ это те же $0{,}200$ кг·м$^2$/с, и задаёт их только то, как разложена масса.

Твёрдым телом называют систему материальных точек, расстояния между которыми не меняются, какие бы силы на них ни действовали. Это единственная новая договорённость недели. Твёрдое тело, как и материальная точка (Материальная точка), есть модель: настоящее тело под нагрузкой деформируется, и ниже сказано, когда этим можно пренебречь.

Продифференцируем по времени квадрат расстояния между точками 1 и 2 (рис. 4):

Относительная скорость двух точек твёрдого тела перпендикулярна отрезку между ними. Друг к другу точки не приближаются и друг от друга не удаляются, отрезок между ними может только поворачиваться.

Проверим, что делают внутренние силы

Сила, с которой точка 2 действует на точку 1, лежит на прямой между ними: это опытный факт, который приняла третья неделя и на котором пятая построила выпадение пары из момента (Найдём момент внутренних сил). Точка 1 действует на точку 2 такой же силой в обратную сторону, и мощность этих двух сил есть сила, скалярно умноженная на относительную скорость (Найдём работу внутренних сил). У твёрдого тела она равна нулю:

Это обещала четвёртая неделя: работа внутренних сил твёрдого тела равна нулю, и его кинетическую энергию меняет только работа внешних сил (Найдём работу внутренних сил, Докажем теорему о кинетической энергии). Из импульса внутренние силы выпадают парами всегда (Соберём много точек и посчитаем импульс системы), из момента импульса выпадают, потому что лежат на прямых между точками (Найдём момент внутренних сил), а у твёрдого тела они выпадают ещё и из энергии. Где расстояния меняются, работа внутренних сил может быть ненулевой: человек на вращающейся скамье, сводя руки с гантелями, есть система тел, и её энергию меняют мышцы (Найдём момент инерции).

Найдём, где модель кончается

Договорённость запрещает телу то, что настоящее тело делает всегда: деформироваться. Модель держится, пока три сравнения идут в её пользу.

Начнём со времени. О толчке в одном месте тело узнаёт не сразу: деформация бежит по нему со скоростью звука. Вдоль стального стержня звук идёт со скоростью $c = \sqrt{E/\rho}$, где $E$ модуль Юнга, а $\rho$ плотность. Это около $5{,}1$ км/с, и метр звук проходит за $0{,}2$ мс. Гантель делает оборот за $0{,}6$ с (Посчитаем момент подшипников), за это время звук пробежит метр тысячи раз, и для неё модель годится. Удар жёстких тел длится обычно от $10^{-4}$ до $10^{-3}$ с: бейсбольная бита отбивает мяч примерно за $0{,}6$ мс. Это сравнимо со временем звука, и в ударе по длинному стержню его концы движутся по-разному.

Относительное растяжение под нагрузкой равно напряжению, делённому на модуль Юнга, $\sigma/E$, и сравнивать его надо с точностью, которая нужна ответу. В тонком ободе, точки которого движутся со скоростью $v$, напряжение $\sigma = \rho v^2$, и растяжение $\sigma/E = (v/c)^2$. У велосипедного колеса на $5$ м/с это $10^{-6}$, и обод можно считать твёрдым с большим запасом.

На долгих временах работает внутреннее трение. Части настоящего тела немного движутся друг относительно друга, трение переводит энергию этого движения в тепло, и за много оборотов это меняет даже вращение тела без опор (Отпустим тело без опор).

Прочность отвечает на другой вопрос: разорвётся ли тело. Стальной обод с пределом прочности $10^9$ Па рвётся, когда $\rho v^2$ дорастает до этого предела, при скорости около $360$ м/с, а растяжение $(v/c)^2$ при этой скорости около полупроцента. Модель ошибается на доли процента почти до самого разрыва, а его не предсказывает вовсе. Деформациями, которые договорённость запретила, займётся восьмая неделя (Спросим, как поедет торец стержня).

Выбирать между твёрдым и деформируемым телом приходится по тем же признакам, что между точкой и телом (Наклоним гантель к оси). Деформируемое тело объясняет больше, но вместо шести чисел ему нужно смещение каждой точки. Пока сравнения выше говорят в пользу твёрдого тела, деформации ответа не меняют, и бритва Оккама их отрезает.

Выведем одну угловую скорость для всего тела

Во второй половине главы понадобится, что скорости всех точек тела задаёт одна угловая скорость, общая для любого полюса: $\vec v = \vec v_O + \vec\omega\times\vec r$, где $\vec r$ проведён из точки тела $O$ (Найдём точки с нулевой скоростью). Перпендикулярность относительной скорости, взятая для одной пары, этого не даёт, она говорит о каждой паре порознь. Нужно, чтобы поле скоростей было линейным и кососимметричным, и это получается, если взять перпендикулярность сразу для всех пар. Обозначим $\vec f(\vec r) = \vec v - \vec v_O$. Пара из точки и полюса даёт $\vec r\cdot\vec f(\vec r) = 0$, а пара точек $\vec r$ и $\vec s$ после раскрытия скобок даёт

$$\vec s\cdot\vec f(\vec r) = -\,\vec r\cdot\vec f(\vec s)$$

Правая часть линейна по $\vec r$, значит, линейна и проекция $\vec f(\vec r)$ на любой вектор $\vec s$ из тела. Если у тела есть четыре точки не в одной плоскости, проекций хватает на три направления, и $\vec f(\vec r) = \hat A\vec r$ с матрицей $\hat A$, одной для всех точек. То же равенство требует $\hat A^{\mathsf T} = -\hat A$, а у кососимметричной матрицы три независимых числа, и $\hat A\vec r = \vec\omega\times\vec r$ с одним вектором $\vec\omega$. Перенос полюса в другую точку тела меняет $\vec v_O$, но не $\vec\omega$. Другим путём, разложив малое перемещение тела на перенос и поворот, это показывают Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц («Механика», §31). У пластины, все точки которой лежат в одной плоскости, довод не проходит: относительные скорости поперёк плоскости в перпендикулярность не входят, и приходится брать саму договорённость вместо её производной. У тела, все точки которого лежат на одной прямой, как у гантели, составляющая $\vec\omega$ вдоль прямой не определена вовсе, как не определён и поворот вокруг штанги (Наклоним гантель к оси).

Доказательство теоремы Эйлера о повороте тела с неподвижной точкой есть в первом томе «Общего курса физики» Д. В. Сивухина (Составим два поворота).

Тело на закреплённой оси $z$ может только поворачиваться, и его положение задаёт один угол поворота $\varphi$. Угловая скорость и угловое ускорение получаются из угла так же, как у точки на окружности: $\omega = \dot\varphi$, $\varepsilon = \dot\omega$ (Угловая скорость). Каждая точка тела идёт по окружности вокруг оси со скоростью $v = \omega r_\perp$, где $r_\perp$ её расстояние до оси. По формуле проекции (Спроецируем уравнение моментов на ось) элемент массы $dm$ даёт

Скорость перпендикулярна и оси, и $\vec r_\perp$, поэтому векторное произведение направлено по оси и равно по модулю $r_\perp v$:

Угловая скорость у всех точек одна и выносится за интеграл:

Интеграл зависит только от того, как масса разложена вокруг оси. Его называют моментом инерции тела относительно оси $z$:

Размерность момента инерции кг·м$^2$, масса на квадрат расстояния. Так выполняется обещание пятой недели, что момент импульса тела запишется через момент инерции (Закроем счёт главы), но выполняется оно проекцией. Сам вектор $\vec L$ на ось ложиться не обязан: у гантели из примера $I_z\omega = 0{,}200$ кг·м$^2$/с, а модуль момента импульса $0{,}283$ кг·м$^2$/с, в $1{,}41$ раза больше (Посчитаем момент подшипников). Связать с угловой скоростью весь вектор одно число не может; для этого понадобится тензор инерции (Свяжем момент импульса с угловой скоростью).

Запишем второй закон для угла

В уравнение для проекции (Спроецируем уравнение моментов на ось) внутренние силы не входят, они выпали из момента парами (Найдём момент внутренних сил), и $M_z$ есть проекция момента одних внешних сил. Реакций оси в нём тоже нет:

Если момент инерции не меняется, производная $L_z$ равна $I_z\varepsilon$, и уравнение принимает вид второго закона для угла:

Знак задаёт правило правой руки (Продифференцируем момент импульса). Угол $\varphi$ отсчитывают против часовой стрелки, если смотреть с конца орта $\vec e_z$, и в ту же сторону положительны $\omega$ и $\varepsilon$. Момент $M_z$ положителен, если сила поворачивает тело в сторону роста $\varphi$, и отрицателен, если в обратную: школьные моменты по часовой стрелке и против неё стали знаком одного числа.

Моменту силы здесь отвечает сила, угловому ускорению ускорение, моменту инерции масса (Дадим имя тому, что меняет импульс: второй закон). Чем больше $I_z$, тем труднее раскрутить тело тем же моментом. Так же похожи $p = mv$ и $L_z = I_z\omega$, но сходство держится только в проекции. Импульс идёт по скорости всегда, потому что масса есть число. Мера инерции вращения одним числом не исчерпывается: одно число связывает с угловой скоростью только проекцию момента импульса, а за поперечную часть, как у гантели, платят опоры. Уравнению для угла из всего распределения массы хватает одного числа, $I_z$. Если на тело действует тяжесть, её момент добавит массу и расстояние от оси до центра масс, и маятник седьмой недели возьмёт их готовыми (Физический маятник).

Раскрутим скамью

Когда проекция момента внешних сил на ось равна нулю, $L_z$ сохраняется, даже если другие проекции момента сил есть. На этом держится скамья Жуковского (рис. 5). Человек сидит на скамье, которая вращается на вертикальной оси почти без трения, и держит в разведённых руках гантели. Тяжесть параллельна оси, реакции приложены на оси, и $M_z = 0$.

Пусть человек со скамьёй без гантелей даёт $I_0 = 1{,}6$ кг·м$^2$, гантели по $2$ кг он держит в $0{,}75$ м от оси, и всё вместе делает пол-оборота в секунду. Руки считаем лёгкими, и $I_0$ не меняется, когда они сходятся. Момент инерции системы $3{,}85$ кг·м$^2$, угловая скорость $3{,}14$ рад/с. Человек прижимает гантели к груди, в $0{,}20$ м от оси. Момент инерции падает до $1{,}76$ кг·м$^2$, проекция момента импульса остаётся прежней, $12{,}1$ кг·м$^2$/с, и угловая скорость вырастает до $6{,}87$ рад/с.

Энергия при этом не сохраняется. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси, складывается из энергий точек, которые движутся со скоростями $\omega r_\perp$:

В начале и в конце, когда гантели относительно человека не движутся, вся система вращается как одно тело. При неизменном $L_z$ её энергия обратно пропорциональна моменту инерции и растёт с $19{,}0$ до $41{,}6$ Дж. Разницу, $22{,}6$ Дж, дала работа мышц. Человек со скамьёй и гантелями не твёрдое тело: расстояния в этой системе тел меняются, и работа внутренних сил нулю не равна (Договоримся о неизменных расстояниях). Так же рука, втягивая нить, отдавала энергию шарику при неизменном моменте импульса (Потянем нить через отверстие). Гантели же, сходясь к груди, замедляются: их скорость падает с $2{,}36$ до $1{,}37$ м/с, а энергия с $11{,}1$ до $3{,}8$ Дж. Прибавку получает человек со скамьёй, его энергия растёт с $7{,}9$ до $37{,}8$ Дж: гантели, которые руки тянут к оси, давят на ладони вперёд по ходу вращения и через руки раскручивают туловище. Быстро сводить руки или медленно, работа одна и та же, если в конце гантели остановлены у груди; сводить их можно в демке (Скамья Жуковского с энергией).

Звено манипулятора похоже на стержень, и мотор в шарнире поворачивает его вокруг конца звена. Какой момент нужен мотору, чтобы разогнать звено с угловым ускорением $\varepsilon$, говорит уравнение $M_z = I_z\varepsilon$ (Найдём момент инерции), и считать приходится момент инерции. Его определение

подсказывает, как считать: тело разбивают на малые куски, массу каждого умножают на квадрат его расстояния до оси и всё складывают.

Возьмём тонкий однородный стержень длины $l$ и массы $m$ и ось, которая перпендикулярна стержню и проходит через его середину (рис. 6). Координату $x$ отсчитаем вдоль стержня от середины. Кусок длины $dx$ имеет массу $dm = (m/l)\,dx$ и отстоит от оси на $|x|$, поэтому

Вокруг конца стержень раскрутить вчетверо труднее:

Это даёт тот же интеграл с пределами от $0$ до $l$, но быстрее перенести ось: сдвиг оси от середины на $l/2$ добавляет $m(l/2)^2$ (Перенесём ось параллельно).

Моменты инерции частей складываются, если все они взяты относительно одной и той же оси. Две половины стержня, каждая длины $l/2$ и массы $m/2$, вращаются вокруг своих концов, которые лежат на средней оси, и дают

тот же ответ, что и интеграл. Для метровой линейки массой 200 г это $0{,}017$ кг·м$^2$ вокруг середины и $0{,}067$ кг·м$^2$ вокруг конца. Мотору в шарнире на конце звена при том же угловом ускорении нужен вчетверо больший момент, чем мотору на оси посередине.

Заменим в определении момента инерции расстояние до оси расстоянием до точки $O$:

Эту величину называют полярным моментом инерции. В уравнение вращения она не входит, там стоит момент инерции относительно оси (Найдём момент инерции), и путать их нельзя: у шара они различаются в полтора раза (Посчитаем шар, кольцо и диск). Зато $J_O$ не зависит от того, как направлены оси, и этим помогает считать.

Проведём через $O$ три взаимно перпендикулярные оси. Квадрат расстояния от элемента $dm$ до оси $x$ равен $y^2 + z^2$, и так для каждой оси:

Сложим три момента. Каждая координата входит в сумму дважды:

Возьмём тонкую однородную сферическую оболочку массы $m$ и радиуса $R$, а точку $O$ в её центре. Вся масса стоит на расстоянии $R$ от центра, и $J_O = mR^2$. Однородная сфера одинакова со всех сторон, три осевых момента через центр равны, $3I = 2mR^2$, и

относительно любой оси через центр. Однородность здесь нужна. Если ту же массу собрать в пояс по экватору, момент вокруг оси пояса будет $mR^2$, а вокруг осей в его плоскости вдвое меньше. Тонкая сфера понадобится задаче о мяче (Мяч скатывается с наклонной плоскости).

Положим фигуру в плоскость

Если все точки фигуры лежат в плоскости $xy$ (рис. 7), то у них $z = 0$, момент $I_z$ совпадает с $J_O$, и сумма даёт

Это правило перпендикулярных осей. У плоской фигуры сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в её плоскости, равна моменту инерции относительно третьей оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку их пересечения. Нужны и перпендикулярность осей в плоскости, и общая точка всех трёх. Для тонкого стержня вдоль оси $x$ с тремя осями через его середину $I_x = 0$ и $I_y = I_z = ml^2/12$, и правило выполняется (Посчитаем момент инерции стержня). Если провести ось $y$ через конец стержня, а ось $z$ оставить в середине, сумма $ml^2/3$ разойдётся с $ml^2/12$: третья ось уже не проходит через точку, где пересекаются первые две.

Правило сразу даёт момент инерции прямоугольной пластины массы $m$ со сторонами $a$ вдоль оси $x$ и $b$ вдоль оси $y$, оси через центр. Расстояние до оси $x$ задаёт только координата $y$, поэтому относительно этой оси пластина устроена как стержень длины $b$, и $I_x = mb^2/12$. Так же $I_y = ma^2/12$, и

Квадратную пластину, которая качается в своей плоскости, седьмая неделя возьмёт с этим числом готовым (Два подвеса квадратной пластинки).

Однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ удобно резать на тонкие сферические слои (рис. 9). Слой радиуса $r$ и толщины $dr$ имеет объём, равный площади его поверхности $4\pi r^2$, умноженной на толщину:

Точный объём слоя отличается от этого слагаемыми порядка $dr^2$, и при интегрировании они вклада не дают. При плотности $\rho = 3m/(4\pi R^3)$ масса слоя $dm = \rho\,dV$, и вся она стоит на расстоянии $r$ от центра. Поэтому слои проще всего сложить в полярный момент инерции (Сложим моменты инерции по трём осям):

Шар одинаков со всех сторон, три его осевых момента через центр равны, и из $3I = 2J_O$

Тот же ответ дают слои, если сразу взять для каждого осевой момент тонкой сферы, $\frac23\,r^2\,dm$. Осевой момент шара в полтора раза меньше полярного.

У тонкого кольца радиуса $R$ вся масса стоит на одном расстоянии от оси, которая проходит через центр перпендикулярно плоскости кольца, и момент инерции кольца $mR^2$. Диск массы $m$ и радиуса $R$ складывается из тонких концентрических колец (рис. 8). Кольцо радиуса $r$ и ширины $dr$ даёт

и относительно оси, перпендикулярной диску и проходящей через центр,

Длина вдоль оси в этот счёт не входит, и тот же ответ верен для однородного цилиндра любой длины на его собственной оси. Для осей в плоскости тонкого диска работает правило перпендикулярных осей (Сложим моменты инерции по трём осям). Диск симметричен, $I_x = I_y$, и

Это верно только для тонкого диска: у цилиндра высоты $h$ момент относительно поперечной оси через центр больше на $mh^2/12$.

Сравним три тела одной массы и одного радиуса относительно оси через центр, у кольца и диска перпендикулярной их плоскости: у шара $0{,}4\,mR^2$, у диска $0{,}5\,mR^2$, у кольца $mR^2$. Чем дальше масса в среднем от оси, тем больше момент инерции, и катятся эти тела по-разному (Скатим тела с горки).

Моменты инерции стержня, шара и диска посчитаны относительно осей через центр масс (Посчитаем момент инерции стержня, Посчитаем шар, кольцо и диск). Что будет, если ось сдвинуть, например вращать диск вокруг оси, которая проходит через точку обода параллельно оси диска? Интегрировать заново не придётся, если выполнены два условия: новая ось параллельна старой, и старая проходит через центр масс.

Пусть ось $C$ проходит через центр масс тела массы $m$, а параллельная ей ось $O$ отстоит от неё на $d$ (рис. 10). По определению

где $r_\perp$ расстояние от элемента $dm$ до оси $O$. Проведём от центра масс к элементу вектор и возьмём его составляющую $\vec\rho_\perp$, перпендикулярную осям; её длина есть расстояние от элемента до оси $C$. Вектор, проведённый от оси $O$ к элементу перпендикулярно осям, складывается из перпендикуляра $\vec d$ от оси $O$ к оси $C$, общего для всех элементов, и $\vec\rho_\perp$:

Подставим это в интеграл:

и раскроем скобки:

Второе слагаемое есть момент инерции $I_C$ относительно оси через центр масс. Третье равно нулю: по определению центра масс интеграл векторов, проведённых из него к элементам, равен нулю (Дадим закону выбрать точку: центр масс), и нулю равна сумма их составляющих, перпендикулярных осям. Остаётся теорема Гюйгенса–Штейнера:

Брать за $\vec\rho$ весь вектор от центра масс нельзя. Если тело протянуто вдоль оси, у этого вектора есть составляющая вдоль неё, и интеграл его квадрата дал бы полярный момент (Сложим моменты инерции по трём осям): для стержня, лежащего на самой оси $C$, вышло бы $ml^2/12$ вместо нуля.

Слагаемое $md^2$ не бывает отрицательным, поэтому из всех параллельных осей наименьший момент инерции у оси через центр масс. Проверка на стержне: $I_C = ml^2/12$, сдвиг к концу на $l/2$ даёт $ml^2/12 + ml^2/4 = ml^2/3$, как и интеграл (Посчитаем момент инерции стержня). Если ни одна из двух осей не проходит через центр масс, переносить надо через него: $I_2 = I_1 + m(d_2^2 - d_1^2)$, где $d_1$ и $d_2$ расстояния осей до центра масс. Перенос с одного конца стержня на другой напрямую дал бы $ml^2/3 + ml^2 = 4ml^2/3$, а верно $ml^2/3$.

Теперь ответ про диск. Ось через точку обода параллельна оси диска и отстоит от его центра на $R$:

Посчитаем энергию вращения

Кинетическая энергия тела, которое вращается вокруг неподвижной оси $O$, уже записана (Найдём момент инерции):

Подставим $I_O = I_C + md^2$:

Первое слагаемое есть энергия вращения вокруг оси через центр масс, второе энергия центра масс, который идёт по окружности радиуса $d$ со скоростью $\omega d$. Это разложение на энергию центра масс и энергию движения относительно него, теорема Кёнига четвёртой недели (Разделим энергию системы на две части), и перенос оси с ней согласен.

Катящееся колесо со спицами и гонку тел с горки глава разбирает после плоского движения, где ось вращения уже не закреплена (Скатим тела с горки).

На закреплённой оси хватило одного числа: проекция момента импульса на ось равна $I_z\omega$ (Найдём момент инерции). Но у гантели из начала главы сам вектор $\vec L$ с оси ушёл (Посчитаем момент подшипников), и на вопрос, куда он смотрит, одно число не отвечает. Возьмём вектор целиком.

Сначала о точке. Момент импульса считается относительно точки, и всё, что ниже, верно, если эта точка $O$ либо принадлежит телу и неподвижна, либо совпадает с его центром масс. Тогда скорость элемента массы $dm$ относительно $O$ равна $\vec v = \vec\omega\times\vec r$, где $\vec r$ проведён из $O$ к элементу. Для центра масс скорости отсчитываются от него, и момент импульса от этого не меняется; для других точек появляются добавки, их разбирает раздел о движущемся полюсе (Запишем уравнение моментов для движущегося полюса). Момент импульса тела равен

Раскроем двойное векторное произведение:

Здесь $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ есть квадрат расстояния от элемента до точки $O$. Первое слагаемое направлено по $\vec\omega$, второе складывается из векторов, направленных по радиус-векторам элементов, и из-за него $\vec L$ может отойти от $\vec\omega$. Запишем проекцию на ось $x$:

Слагаемые с $\omega_x x^2$ сокращаются:

В проекцию входят все три компоненты угловой скорости, и при каждой стоит интеграл по распределению массы. Интегралы двух видов получили свои имена:

Сумма $y^2 + z^2$ равна квадрату расстояния от элемента до оси $x$, поэтому $I_{xx}$ есть момент инерции относительно оси $x$, тот же, что в первой половине главы. Такие величины называют осевыми моментами инерции. Величины $I_{xy}$, $I_{xz}$ и $I_{yz}$ называют центробежными моментами инерции. В части учебников центробежным моментом называют интеграл без минуса, и тогда минус стоит в самой матрице; здесь он внутри определения.

Проекции на оси $y$ и $z$ выписываются так же, и девять чисел складываются в матрицу:

Её называют тензором инерции тела относительно точки $O$. Момент импульса получается умножением этой матрицы на столбец компонент угловой скорости:

Матрица симметрична, $I_{xy} = I_{yx}$, и независимых чисел в ней шесть, а не девять.

Найдём поперечную часть

Пусть тело вращается вокруг оси $z$, то есть $\vec\omega = (0;\ 0;\ \omega)$. Тогда из всей матрицы работает последний столбец:

Вдоль оси лежит $I_{zz}\omega$, та же проекция, что на закреплённой оси. Поперёк оси лежит часть $\omega\,(I_{xz};\ I_{yz})$, и задают её центробежные моменты, то есть то, как масса распределена относительно оси. Эта часть есть и при постоянной угловой скорости.

Вместе с телом поперечная часть поворачивается вокруг оси. Момент импульса, который поворачивается с угловой скоростью $\vec\omega$, меняется со скоростью $\vec\omega\times\vec L$, и для равномерного вращения нужен момент внешних сил:

Он лежит поперёк оси, и его даёт крепление оси. У гантели из начала главы при штанге под $45°$ к оси центробежный момент $I_{xz}$ по модулю равен $0{,}02$ кг·м², и при $\omega = 10$ рад/с выходят те же $2{,}0$ Н·м, что дают подшипники (Посчитаем момент подшипников).

Импульс идёт по скорости всегда, $\vec p = m\vec v$, потому что масса есть число. Мера инерции вращения не число, и момент импульса идёт по угловой скорости не всегда. Бывает это и у одной точки, если полюс взят на оси вне плоскости её окружности (Посчитаем момент подшипников). У тела с центром масс на оси иначе: импульс тела равен нулю, и момент импульса от выбора точки на оси не зависит. Поперечную часть задают центробежные моменты, а не выбор полюса.

Найдём главные оси

У симметричной матрицы с вещественными элементами три вещественных собственных значения и три взаимно перпендикулярных собственных направления; это теорема линейной алгебры. Собственные направления тензора инерции называют главными осями тела для точки $O$, а собственные значения называют главными моментами инерции $I_1$, $I_2$, $I_3$. Находят их из уравнения $\det(\hat I - \lambda E) = 0$, где $E$ единичная матрица. В главных осях центробежные моменты равны нулю:

Если угловая скорость направлена по главной оси, $\vec\omega = \omega\vec e_k$, то $\vec L = I_k\vec\omega$, и момент импульса лежит на оси вращения. Верно и обратное: равенство $\hat I\vec\omega = \lambda\vec\omega$ и означает, что $\vec\omega$ направлена по собственному направлению. Поэтому $\vec L$ параллелен $\vec\omega$, только если тело вращается вокруг главной оси. Если два главных момента равны, главной оказывается любая ось в плоскости их осей, а у шара и у куба относительно центра любая ось через центр. Только вокруг главных осей равномерному вращению не нужен момент опор. Главные оси, проведённые через центр масс, называют главными центральными.

Осевой момент на диагонали в произвольных осях и главный момент различаются. При повороте осей диагональные элементы меняются, и сохраняется только их сумма, след матрицы: $I_{xx} + I_{yy} + I_{zz} = 2\int r^2\, dm = 2J_O$, удвоенный полярный момент инерции (Сложим моменты инерции по трём осям).

Повернём оси

Тензором матрицу делает закон, по которому она меняется при повороте осей. Пусть компоненты любого вектора в новых осях получаются из старых умножением на матрицу поворота $R$, например $\vec\omega' = R\vec\omega$ и $\vec L' = R\vec L$. Обратный переход делает обратная матрица, $\vec\omega = R^{-1}\vec\omega'$, и у поворота она устроена просто. Поворот осей не меняет ни длин векторов, ни углов между ними, поэтому скалярное произведение любых двух векторов в новых осях то же, что в старых: $(R\vec a)\cdot(R\vec b) = \vec a^{\mathsf T}R^{\mathsf T}R\,\vec b = \vec a\cdot\vec b$. Для любых $\vec a$ и $\vec b$ это возможно, только если $R^{\mathsf T}R = E$, то есть обратная матрица поворота есть транспонированная, $R^{-1} = R^{\mathsf T}$. Тогда $\vec L' = R\vec L = R\hat I\vec\omega = R\hat I R^{\mathsf T}\vec\omega'$, и компоненты тензора в новых осях равны

Возьмём однородную прямоугольную пластинку $2\times1$ м массой $1$ кг и оси в её плоскости через центр. В осях вдоль сторон центробежный момент равен нулю, и это главные оси: $0{,}083$ кг·м² вокруг оси вдоль длинной стороны и $0{,}333$ кг·м² вокруг оси вдоль короткой. Повернём оси на угол $\varphi$ в плоскости пластинки, и центробежный момент станет равен

Под $45°$ оба осевых момента равны $0{,}208$ кг·м², а центробежный $0{,}125$ кг·м². Число $0{,}208$ стоит на диагонали, но это не главный момент: главные моменты пластинки $0{,}083$ и $0{,}333$ кг·м², а сумма осевых в обоих положениях одна и та же, $0{,}417$ кг·м². Поворачивать оси и смотреть, как меняется матрица, можно в демке (Тензор инерции при повороте осей).

Сменим точку

Тензор и главные оси принадлежат точке. Если центр масс лежит на оси вращения, ответ на вопрос, главная ли ось, от выбора точки на ней не зависит. Если не лежит, зависит. У стержня на шарнире, который ходит конусом вокруг вертикали, вертикаль относительно шарнира не главная, а относительно одной из точек той же вертикали ниже шарнира главная (Подвесим стержень и раскрутим волчок).

Есть и другой выбор, выбор осей. В осях, привинченных к телу, компоненты $\hat I$ постоянны, а в неподвижных осях меняются, пока тело поворачивается: у гантели центробежные моменты относительно неподвижных осей ходят по кругу вместе со штангой. Поэтому уравнения движения тела без опор пишут в осях тела (Перейдём в оси тела). Как увидеть тензор картинкой, разобрано дальше (Построим эллипсоид инерции), а как прочитать его через ковариацию распределения массы, сразу за этим (Прочтём тензор как ковариацию).

Тензор инерции построен относительно точки $O$ (Свяжем момент импульса с угловой скоростью). Найдём по нему момент инерции относительно любой оси, проходящей через $O$. Зададим ось единичным вектором $\vec s$ и раскрутим тело вокруг неё, $\vec\omega = \omega\vec s$. Проекция момента импульса на ось равна $L_s = \vec s\cdot\hat I\vec\omega = \omega\,\vec s\cdot\hat I\vec s$, а на закреплённой оси $L_s = I_s\omega$ (Найдём момент инерции). Значит,

Это тот же осевой момент, что в первой половине главы. Подставим определение тензора: $\vec s\cdot\hat I\vec s = \int\bigl(r^2 - (\vec r\cdot\vec s)^2\bigr)\,dm$, а разность $r^2 - (\vec r\cdot\vec s)^2$ есть квадрат расстояния $r_\perp$ от элемента до оси, так что $I_s = \int r_\perp^2\,dm$. Формула годится только для осей через $O$. Для параллельной оси через другую точку момент пересчитывают по теореме Гюйгенса–Штейнера (Перенесём ось параллельно). В главных осях перекрёстных слагаемых нет, и остаются квадраты косинусов $s_k$ углов между осью и главными осями:

Нарисуем тензор

Отложим от $O$ вдоль каждого направления $\vec s$ отрезок длины $1/\sqrt{I_s}$. Конец отрезка $\vec x = \vec s/\sqrt{I_s}$ удовлетворяет равенству $\vec x\cdot\hat I\vec x = 1$, и все концы ложатся на одну поверхность:

Вторая запись сделана в главных осях. Это эллипсоид инерции тела для точки $O$ (рис. 11). Его полуоси направлены по главным осям и равны $1/\sqrt{I_1}$, $1/\sqrt{I_2}$, $1/\sqrt{I_3}$, так что самая длинная полуось лежит вдоль оси наименьшего момента. При повороте осей координат меняются числа в матрице, а поверхность остаётся на месте (Тензор инерции при повороте осей).

По эллипсоиду видно и направление момента импульса. Нормаль к поверхности $\vec x\cdot\hat I\vec x = 1$ в точке $\vec x$ направлена по вектору $\hat I\vec x$. Возьмём точку, где поверхность пересекает луч, проведённый из $O$ вдоль $\vec\omega$. Там $\vec x\parallel\vec\omega$, и нормаль направлена по $\hat I\vec\omega = \vec L$: момент импульса смотрит по нормали к эллипсоиду в той точке, куда указывает угловая скорость (рис. 11). Если эллипсоид не шар, нормаль идёт по лучу только на его осях. Поэтому $\vec L\parallel\vec\omega$ только вдоль главных осей, а при любом другом направлении момент импульса уходит с оси вращения.

Не спутаем поверхность с телом

Без опор и в однородном поле тяжести вращение тела определяют его масса, центр масс и тензор инерции. Поэтому тело вращается так же, как однородный эллипсоид той же массы с теми же главными моментами. Этот эллипсоид есть другое тело, и с эллипсоидом инерции он не совпадает даже пропорциями. Однородный эллипсоид с полуосями в отношении $2:1:1$ имеет главные моменты $0{,}4\,m$, $m$ и $m$ в квадратах малой полуоси, и его эллипсоид инерции вытянут в ту же сторону, но слабее: полуоси относятся как $1{,}58:1$.

Посмотрим на куб и треугольник

У однородного куба с ребром $a$ относительно центра масс все три главных момента одинаковы и равны $ma^2/6$, и эллипсоид инерции превращается в шар (рис. 12). Отсюда следствие, на первый взгляд неожиданное: момент инерции куба относительно любой оси через центр, будь то диагональ куба или ось через середины граней, равен $ma^2/6$, и каждая такая ось главная. Как бы куб ни вращался вокруг центра масс, $\vec L$ параллелен $\vec\omega$. Относительно вершины это уже не так: там главные моменты равны $ma^2/6$ вдоль диагонали и $11ma^2/12$ поперёк неё.

Пластинка в форме правильного треугольника со стороной $a$ (рис. 12) переходит сама в себя при повороте на $120°$ вокруг нормали, проведённой через центр масс. Значит, и сечение эллипсоида инерции плоскостью пластинки, эллипс, при таком повороте переходит в себя, а это возможно только у окружности. Поэтому момент инерции относительно любой оси, лежащей в плоскости пластинки и проходящей через центр масс, один и тот же, $ma^2/24$, половина момента $ma^2/12$ относительно нормали по правилу перпендикулярных осей (Сложим моменты инерции по трём осям). Зеркальной симметрии для такого вывода мало: прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ симметричен относительно обеих средних линий, а моменты относительно них разные, $mb^2/12$ и $ma^2/12$.

Возьмём облако точек одинаковой массы, вытянутое в одну сторону (рис. 13). Вдоль одного направления точки разбросаны сильнее всего, поперёк него слабее всего. Ось, проведённая через центр масс вдоль наибольшего разброса, в среднем ближе всего к точкам, и вокруг неё облако раскрутить легче, чем вокруг любой другой оси через центр масс. Это направление и перпендикулярное ему в плоскости облака и есть его главные оси.

Тензор инерции относительно центра масс собирается из матрицы, знакомой каждому, кто работал с данными. Отсчитаем положения $\vec r_i$ точек тела от центра масс (Дадим закону выбрать точку: центр масс) и составим матрицу

Это второй момент распределения массы, то есть ковариация положения, взвешенная массой и на массу не делённая. Сравним с определением тензора (Свяжем момент импульса с угловой скоростью). На диагонали $I_{xx} = \sum m_i(y_i^2 + z_i^2) = \operatorname{tr}C - C_{xx}$, вне диагонали $I_{xy} = -C_{xy}$, и вместе это одна формула:

В статистике ковариацию делят на число точек. Если поделить $C$ на массу тела, получится нормированная ковариация $\Sigma = C/m$, и формула примет вид $\hat I = m\bigl[(\operatorname{tr}\Sigma)\,E - \Sigma\bigr]$.

Сравним главные оси с главными компонентами

Единичная матрица при повороте осей не меняется, поэтому собственные направления у $\hat I$ и $C$ общие: главные оси тела совпадают с главными компонентами облака масс. Порядок у них обратный. Если $c_k$ собственные значения $C$, то главные моменты равны $I_k = \operatorname{tr}C - c_k$, и направление наибольшего разброса, первая главная компонента, оказывается осью наименьшего момента инерции. У длинного стержня это ось вдоль него: разброс вдоль стержня наибольший, а момент инерции вокруг этой оси почти нулевой.

Совпадение держится только в центре масс. Метод главных компонент всегда вычитает среднее, а тензор относительно точки, сдвинутой от центра масс на $\vec d$, получает добавку, обобщение теоремы Гюйгенса–Штейнера (Перенесём ось параллельно):

Если сдвиг не направлен вдоль одной из главных осей, добавка поворачивает главные оси, и с главными компонентами они расходятся.

Вспомним, как это нашёл Пирсон

Метод главных компонент вырос из задачи, которая оказалась задачей механики. В 1901 году Карл Пирсон искал прямую, которая ближе всего проходит к облаку точек: сумма квадратов расстояний от точек до неё должна быть наименьшей. Он заметил, что эта сумма есть момент инерции точек с равными массами относительно прямой, а среди параллельных прямых момент инерции наименьший у той, что проходит через центр масс. Значит, лучшая прямая проходит через центр масс и идёт вдоль оси наименьшего момента инерции, то есть вдоль направления наибольшего разброса.

Язык у статьи механический. Дисперсии и корреляции Пирсон связывает с моментами и произведениями инерции относительно осей через центр масс, а простоту ответа объясняет через эллипсоиды инерции. Для остатков он строит эллипсоид тем же приёмом, каким строят эллипсоид инерции (Построим эллипсоид инерции), только по ковариации. Оси у его эллипсоида остатков те же, а порядок длин обратный, так что эллипсоидом инерции его называть нельзя.

Посмотрим, как этим пользуются роботы

Обратная задача встаёт перед роботом. Чтобы управлять ногой или манипулятором по модели, нужно знать инерцию каждого звена: массу, три координаты центра масс и шесть чисел тензора, всего десять чисел. Их подбирают по записям движения звеньев и моментов в суставах, и подбор может выдать набор, которому не соответствует никакое тело. В 2018 году Патрик Уэнсинг, Сангбэ Ким и Жан-Жак Слотин записали условие на эти числа через ковариацию массы.

У настоящего тела ковариация неотрицательна: для любого единичного вектора $\vec u$ число $\vec u^{\mathsf T}C\,\vec u = \sum m_i(\vec u\cdot\vec r_i)^2$ не меньше нуля. Обратное тоже верно: если масса положительна, а ковариация, восстановленная по десяти числам, неотрицательна, найдётся распределение массы с такими числами. Через главные моменты это неравенство треугольника. Если $I_3$ наибольший из них, то

где $c_{\min}$ наименьшее собственное значение $C$. Равенство бывает у плоской пластинки, у которой вдоль нормали разброса нет, и тогда это правило перпендикулярных осей (Сложим моменты инерции по трём осям). Проверяли метод на ноге четвероногого робота MIT Cheetah 3. Глава считала тензор по телу, а робот ищет тело по тензору, и годится ему только матрица с неотрицательной ковариацией массы.

Как распределены скорости точек твёрдого тела, которое ничем не закреплено, например колеса, катящегося по дороге? Из жёсткости тела следует, что относительная скорость любых двух его точек перпендикулярна отрезку между ними (Договоримся о неизменных расстояниях). Скорость любой точки $B$ складывается из скорости выбранной точки $O$ и вращения вокруг неё с угловой скоростью $\vec\omega$, одной на всё тело (Сменим полюс):

Есть ли среди точек тела такая, чья скорость сейчас равна нулю? Начнём с плоского движения: точки тела движутся в параллельных плоскостях, $\vec\omega$ перпендикулярна этим плоскостям, а $\vec v_O$ лежит в одной из них, так что $\vec\omega\perp\vec v_O$. Если $\omega = 0$, скорости всех точек одинаковы, движение в этот момент поступательное, и точки с нулевой скоростью нет, если тело не стоит целиком. Если $\omega\ne0$, такая точка есть, и её положение относительно $O$ равно

Проверим подстановкой: $\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec v_O) = \vec\omega\,(\vec\omega\cdot\vec v_O) - \vec v_O\,\omega^2 = -\vec v_O\,\omega^2$, потому что $\vec\omega\perp\vec v_O$, и $\vec v_P = \vec v_O - \vec v_O = 0$. Нулевая скорость и у всех точек прямой, проходящей через $P$ вдоль $\vec\omega$, и больше ни у каких: разность скоростей двух точек тела равна $\vec\omega\times\vec r$, где $\vec r$ отрезок между ними, и обращается в ноль, только если этот отрезок параллелен $\vec\omega$. Эту прямую называют мгновенной осью вращения. В главе у этих слов одно значение: прямая, точки которой в данный момент имеют нулевую скорость.

Мгновенная ось не обязана проходить через тело. Её точки принадлежат плоскости, жёстко связанной с телом, и могут лежать вне его. У лестницы, которая скользит одним концом по стене, а другим по полу, мгновенная ось проходит через точку пересечения перпендикуляров к скоростям концов, и эта точка лежит в стороне от лестницы.

Относительно мгновенной оси скорость каждой точки устроена так, будто тело вращается вокруг неподвижной оси:

Здесь $\vec r_{PB}$ проведён к точке $B$ из точки оси, лежащей в той же плоскости. Скорость перпендикулярна этому отрезку и пропорциональна его длине, но только в данный момент. Поэтому ось находят по скоростям двух точек: перпендикуляры к скоростям, проведённые через сами точки, пересекаются на мгновенной оси (рис. 14). У катящегося тела через мгновение нулевую скорость имеют уже другие его точки, а точка, которая была на оси, получает скорость, потому что её ускорение не равно нулю. У колеса скорость точки касания нулевая, а ускорение равно $v_0^2/R$ и направлено вверх, к центру (Покатим колесо). Поэтому мгновенная ось годится для скоростей и не годится для ускорений. Можно ли брать её полюсом в уравнении моментов, разобрано отдельно, и ответ там не всегда положительный (Запишем уравнение моментов для движущегося полюса).

Выйдем в пространство

В пространстве $\vec v_O$ не обязана быть перпендикулярной $\vec\omega$. Умножим формулу скоростей скалярно на $\vec\omega$: слагаемое $\vec\omega\times\vec r_{OB}$ перпендикулярно $\vec\omega$ и пропадает, так что проекция скорости на направление $\vec\omega$ у всех точек тела одна и та же, $(\vec\omega\cdot\vec v_O)/\omega$. Если она не равна нулю, ни одна точка тела не имеет нулевой скорости, и мгновенной оси нет. Точки прямой, найденной по той же формуле для $\vec r_{OP}$, движутся вдоль $\vec\omega$, а всё тело в этот момент поворачивается вокруг этой прямой и одновременно скользит вдоль неё, как гайка, которую навинчивают на винт. Так движется вращающаяся пуля. Мгновенная ось вращения существует только при $\vec\omega\cdot\vec v_O = 0$, и плоское движение есть как раз такой случай.