Карта ядра · механика

Витринная история метода, и названа она по тому, что в ней делается: энергия взрыва снимается с одного кадра, без решения уравнений газовой динамики. Радиус огненного шара определяется энергией, плотностью воздуха и временем, размерности оставляют единственную комбинацию $E \sim \rho R^5/t^2$, и пятая степень радиуса делает оценку возможной — радиус меряется по фотографии точнее всего остального. Числовой множитель размерности не дают: он приходит из строгого решения и заметно меняет ответ.

Единица закрепляется предметом или процессом, который считают неизменным: платино-иридиевый брусок с двумя рисками, килограммовый прототип в Севре, цезиевый стандарт секунды с 1967 года. Место излома называет соседний блок про СИ: материальные эталоны меняются со временем и под воздействием среды. Ось границ моделей стоит здесь именно за это, а не за физическую идеализацию.

Прикладной финал области: уменьшенная модель самолёта или автомобиля предсказывает поведение полноразмерного объекта, если безразмерные комплексы у них совпали. Сюжет вытянут из последнего абзаца блока про вязкое трение и держит практический смысл всей теории размерностей. Само число Рейнольдса живёт блоком chislo-rejnoldsa в гидродинамике, поэтому отдельного узла под него здесь нет намеренно, а связь между областями держит межобластное ребро. Метод подобия как самостоятельный приём не заведён: под него в ядре пока один абзац.

Первый мост курса в машинное обучение и единственный на всю область: сбор данных, построение модели и предсказание поведения системы описаны как общий для двух профессий цикл. Второй аргумент блока сильнее первого: математические понятия, которые ML получил уже формализованными, пришли из физики, и курс берётся показать их на исходном материале.

Любая физическая величина есть степенной одночлен от базовых размерностей — произведение степеней, без сложения. Доказательство идёт преобразованием масштабов: отношение двух объёмов не меняется при растяжении в $k$ раз, отсюда функциональное уравнение на $\phi(k)$. Единственность степенного решения доказана строго, дифференцированием уравнения и разделением переменных. Следствия про произведение и степень кажутся школьными, но дальше на них стоит вся техника анализа размерностей.

Первая встреча с конвенциональностью единицы. Число 360 досталось от вавилонского года и удобного набора делителей, а радиан определён отношением дуги к радиусу и потому убирает множитель $\pi/180$ из формулы длины дуги. Узел работает образцом того, что удачно выбранная единица упрощает не запись, а рассуждение.

Зачем вообще мерить: без числа нет ни проверки гипотезы, ни сравнения результатов, ни технологии, опирающейся на данные. Вторая половина блока историческая: локти, шаги и пяди, различавшиеся от области к области, и торговля как двигатель стандартизации. Узел работает входом во весь блок единиц и эталонов.

Набор базовых величин вместе с допустимыми преобразованиями их масштабов — рамка, внутри которой работает вся техника размерностей. Понятие вводится абзацем в формулировке пи-теоремы и всплывает второй раз в СГС, где заряд не имеет собственной единицы: это другой класс, а не другая запись тех же формул. Отдельного узла до сих пор не было, и сослаться на понятие было некуда.

Метр как одна десятимиллионная расстояния от экватора до полюса по парижскому меридиану: попытка вывести единицу из природы, а не из королевского локтя. Блок сам называет место, где проект остановился: длины и массы стали десятичными, а время устояло, и часы с десятью делениями остались курьёзом с рисунка.

Зависимость $n$ величин сворачивается в зависимость $n - k$ безразмерных комплексов, где $k$ — число величин с независимыми размерностями. Доказательство поочерёдно меняет масштаб каждой базисной величины и на этом основании выбрасывает её из списка аргументов. Мост в ML заявлен прямо в блоке: сокращение числа признаков без потери информации о системе. Грань строгого вывода отдана отдельному блоку-доказательству, хотя строгость там физическая.

Единицы, собранные из скорости света, постоянной Планка и гравитационной постоянной, без единого человеческого соглашения; авторская формулировка «вершина объективности» сохранена. Блок называет и границу: ниже планковских масштабов классические представления о пространстве и времени теряют смысл.

Входная точка курса: физика описывает объективную реальность через эксперимент и занимается самыми базовыми закономерностями, с которых начинают остальные науки. Блок про устройство курса поставлен гранью интуиции: он показывает, на какие области предмет разложен и почему классика идёт первой. Стержневого тезиса платформы, физики как культуры моделей, в узле нет ни одной строкой.

Несущее утверждение всей темы размерностей: физический закон обязан сохранять вид при любом изменении масштабов единиц внутри выбранного класса. Это не гипотеза о природе, а условие осмысленности записи, и из него одного добываются формула размерностей, разграничение размерно-зависимых величин и пи-теорема. Тут же объявлена цена метода: форма зависимости добывается, числовой множитель — никогда.

Один приём контроля с двумя лицами. Первое: уравнение однородно — все слагаемые обеих частей имеют одну размерность, иначе равенство не значит ничего. Второе: аргумент логарифма, экспоненты или синуса безразмерен. Основание у обеих проверок одно, складывать и сравнивать можно только однородное, и обе ловят ошибку до вычислений. В ядре написана вторая половина: приём контроля, переносимый в любую тему: под логарифмом, экспонентой или синусом обязана стоять безразмерная комбинация; у логарифма это на практике всегда отношение к опорному значению, у синуса бывает и произведение вроде $\omega t$, иначе формула написана неверно. Задача показывает выражение для энтропии, которое выглядит нарушением, и снимает противоречие тем, что энтропия определена с точностью до константы, а разность логарифмов складывается в логарифм отношения. Тип метода стоит по той же логике, по какой в онтологии методом назван контроль предельным случаем.

Величина размерно зависима от набора, если её размерность собирается из размерностей набора в каких-то действительных степенях. Проверка сводится к системе линейных уравнений на показатели, и пример с давлением доводит её до конца, получая $p = 1$, $q = 1/2$, $r = -1/2$. Понятие нужно дальше как условие выбора базиса в Пи-теореме, и потому вопрос про давление живёт здесь, а не у метода.

Родина методов в ядре: приём переносится в любую тему курса и работает там, где решать нечего или нечем. Три примера дают полный цикл, от свободного падения сначала неправильно и потом правильно до силы вязкого трения с выходом на безразмерный комплекс. Границу приём называет сам: забытая определяющая величина ломает ответ, и блок про падение показывает это на пальцах, а блок про вязкое трение предупреждает про выбор базиса.

Заряд не обязан быть самостоятельной величиной. В СГС закон Кулона теряет множитель $1/4\pi\varepsilon_0$, а заряд получает размерность $\text{г}^{1/2}\cdot\text{см}^{3/2}\cdot\text{с}^{-1}$ и выражается через массу, длину и время. Узел показывает, что состав базовых величин есть вопрос выбора, а не природы, и потому стоит рядом с размерной зависимостью.

Решение переопределить СИ принято в 2018 году и вступило в силу 20 мая 2019; с этого момента СИ нематериальна: скорость света и постоянная Планка получили точные значения, и от них считаются метр и килограмм. Секунда осталась единственной величиной, привязанной к наблюдению, и рисунок показывает, что она же корень конструкции: остальные единицы определяются через уже определённые.

Аксиома физики есть повторяющийся опыт плюс экстраполяция: тел, на которые ничто не действует, никто не наблюдал, и всё же закон инерции принят. Принятое кончается там, где опыт перестаёт повторяться (скорость света, квант), и снятие аксиомы рождает раздел физики. Вторая позиция, аксиоматическая механика, где законы Ньютона стоят постулатами и сила первична, поставлена рядом во врезке «Граница строгости» в блоке о сцене, одной на главу; здесь на неё ссылка одной фразой. Мост в машинное обучение живёт в блоке о физике для ML: выделить исходные допущения и записать их моделью.

Система координат, заведённая для второго вектора: концы векторов скорости, отложенных из общего начала, образуют годограф. Он не живёт в комнате, по осям метры в секунду, и он не спидометр. При равномерном движении по окружности радиуса $R$ годограф есть окружность радиуса $v$ с центром в общем начале векторов, обходимая за тот же период, и производная скорости касается годографа так же, как скорость касается траектории: $a = 2\pi v/T = v^2/R$, направление к центру двойным поворотом на $90^\circ$ в одну сторону, и ни модуля, ни направления никто в выкладку не клал. Равномерность названа условием: равенство периодов даром при любом периодическом движении, окружность радиуса $v$ с центром в начале покупается равномерностью. Проверка столбцом: двойное дифференцирование координат даёт $\vec a = -(2\pi/T)^2\vec r$.

Замок главы о кинематике точки: четыре возврата языка поставлены рядом обратным ходом, от поворота к пределу, и отделены от сдачи пятой ступени. Поворот выглядит вектором и вектором не является, складываются только угловые скорости; годограф выдал величину и направление центростремительного ускорения без единой производной; обратный ход открылся классом задач, где язык говорит «нет», и на этом «нет» держится доверие к остальному; предел отношения двух малостей дал скорость в мгновение и сверх того направление касательной. Четыре возврата взяты в неподвижных осях, и пока они шли, глава пользовалась правом дифференцировать вектор по строчкам, купленным четвёртой договорённостью; на пятой ступени это право сдано сознательно, и кривизна одним числом есть сдача ступени, а не возврат записи. Третья договорённость выдана со сроком: тело отсчёта пока любое, дальше выбирать начнут законы, и системы отсчёта разделятся на два сорта.

Первая идеализация курса и образец того, как модель устроена вообще: масса без размера и формы. Цена названа перечнем вопросов, потерявших смысл (куда смотрит, как обтекается), а границу назначает вопрос, а не тело: один самолёт на вопрос о времени прилёта точка, на вопрос о подъёмной силе нет. Проверка подменой: кирпич той же массы обязан дать тот же ответ. Сдача модели: всё движение уместилось в одну вектор-функцию времени, и дальше её дифференцируют.

Угловые скорости складываются по параллелограмму, а конечные повороты нет: кирпич, повёрнутый на $90^\circ$ вокруг продольной и поперечной осей в разном порядке, приводит отмеченную точку в разные места. Поворот выглядит вектором и вектором не оказался; это свойство пространства, с которым приходится мириться, и ориентацию манипулятора нельзя собрать из поворотов сложением векторов. Угловые скорости всё же складываются, потому что разница двух порядков есть величина второго порядка малости по углам.

Приём читается дважды: как предел суммы малых перемещений по наибольшему из промежутков и как площадь под графиком скорости. Обратный ход оказался классом задач, где язык умеет сказать «нет»: он бывает дороже прямого, решения может не быть или их несколько. Условие на скорость названо: ограничена, скачков считанное число, между ними непрерывна; удар о стену единственный выход за гладкость. Формула Ньютона и Лейбница отдаёт постоянную интегрирования, и она совпадает с начальным условием число в число. Дальше приём работает всюду, где величину восстанавливают по скорости её изменения. Не разобран самый контринтуитивный случай: синусоидальное ускорение даёт колебание с линейным дрейфом, направление которого задаёт первый толчок.

Единственный из четырёх пунктов сцены, который проверяется геометрией, без часов, и место, где принятое не принято, а проверено опытом. Параллакс придуман, чтобы мерить расстояние до звезды по основанию в две астрономические единицы, и третий угол треугольника в нём никто не мерил: расстояние вычислено в предположении плоскости. Проверка сидит в другом: при отрицательной кривизне у параллаксов была бы нижняя граница, при положительной параллакс уходил бы в ноль на конечном расстоянии; ни того, ни другого не видно, и это даёт только нижнюю границу на радиус кривизны, а не запрет. Границу поймали приёмом того же сорта: затмение 29 мая 1919 года, звёзды у края закрытого диска сдвинуты наружу на одну и три четверти угловой секунды против ночных снимков, свет прошёл мимо Солнца не по прямой. Договорённость о плоскости держится вдали от больших масс, и у неё теперь есть адрес границы.

Разность двух радиус-векторов, хорда между началом и концом участка, и правило на весь курс: изменение есть конечное минус начальное. Путь здесь только поставлен вопросом и отложен: инструмента для длины кривой в этот момент нет, он появляется с интегралом, и путь получает собственный узел.

Та же точка парой $(r, \varphi)$ вместо проекций на оси: переход в обе стороны выписан и проверен на точке $(3, 4) \leftrightarrow (5; 53^\circ)$, выбор осей делается под симметрию задачи. Пара вектором не является: суммы пар и суммы векторов расходятся уже на точках $(1, 0)$ и $(1, \pi)$. Сферические и цилиндрические координаты стоят в том же разделе одним абзацем, коэффициенты Ламе одной строкой как объявленная граница. Скорость и ускорение в полярных координатах не выведены; они нужны законам Кеплера.

Две рамки сразу: механика даёт словарь для всей физики (работа, энергия, импульс, момент импульса), а кинематика внутри неё отвечает на вопрос «как движется», не трогая вопрос «почему». Блок о механике несёт её определение, наука о движении и равновесии тел, и ряд сужений предмета, каждое из которых названо вслух; отказ от причин заявлен прямо, и это единственная граница, которую тема о себе называет. Выбор между двумя способами строить механику показан вслух во врезке «Граница строгости» в блоке о сцене: аксиоматическое построение задаёт точку парой из радиус-вектора и массы, время числовой осью, движение отображением времени в пространство и ставит законы Ньютона постулатами; курс идёт от опыта и у каждого принятого положения указывает на опыт, который его подсказал.

Сцена всякой кинематической задачи: три измерения, плоская геометрия, одно время на всех и его направление, принятое соглашением. Каждый пункт подан как договорённость с альтернативой, которую всерьёз взяли и довели хотя бы до работающей математики, и у каждого сказано, дошла ли она до работающей физики; названо и последствие: право писать одно $t$, право на Пифагора. Границы названы числом: одно время держится до скоростей, сравнимых со световой; поверхность Земли не пример искривлённого пространства, а двумерная поверхность в плоском трёхмерном, и избыток сферического треугольника равен $S/R^2$. Плоскость единственный пункт из четырёх, который проверяется геометрией, без часов, и у этой проверки свой узел: параллакс и затмение; одно время на всех тоже проверяли, атомные часы на самолёте ловят наносекунды в час, и адрес этой границы живёт у принципа относительности. Врезка «Граница строгости» в конце блока, одна на главу: перечень назван договорённостями, а не аксиомами, строгое построение механики выглядит иначе, и в задачах курса от выбора постройки не меняется ничего.

Интеграл от модуля скорости: те же куски разбиения, что при интегрировании скорости, только складываются длины, а не векторы. Вся разница с перемещением сидит в модуле, отсюда $s \ge |\Delta\vec r|$; маятник за период проходит $4A$ при нулевом перемещении. Площадь под графиком одной проекции скорости равна пути только при движении по прямой без смены знака, и на этом стоит ловушка первой задачи темы. Малый кусок пути $ds = |\vec v|\,dt$ дальше работает длиной дуги в выводе нормального ускорения.

Кривизна как имя величины $d\alpha/ds$, угол поворота касательной на единицу пути: свойство самой линии, не зависящее от того, быстро по ней едут или медленно; радиус кривизны обратная величина, для окружности $R$. К радиусу два маршрута. Физический: прочитать $a_n = v^2/R$ в обратную сторону, $R = v^2/a_n$, где $a_n$ есть проекция ускорения поперёк скорости; на параболе броска в вершине $R = v_x^2/g$, в наклонной точке $v^2/(g\cos\theta)$. Аналитический, рассказанный как вывод: $k = y''/(1 + y'^2)^{3/2}$ для $y(x)$ и $|\vec v \times \vec a|/v^3$ для параметрической записи, и последняя замыкается на $v^2/a_n$; проверка на параболе даёт ту же строку. Формула-рецепт не цель, физический маршрут основной. Оба маршрута отказывают в одних и тех же местах: в точке перегиба окружности нет, в изломе нет базиса; разбор обеих точек живёт во врезке у разложения ускорения.

Стрелка существует до выбора осей, столбик из трёх чисел появляется вместе с осями и зависит от них; длина при повороте осей не меняется и считается через Пифагора дважды. Пока оси неподвижны, столбик дифференцируют по строчкам, и это право дальше работает трижды: производная, интеграл, вторая производная. Полярные, сферические и цилиндрические координаты вместе с коэффициентами Ламе даны в блоке о выборе осей.

Одно условие, постоянство ускорения, и двойное интегрирование: площадь под $a(t)$, прямоугольник, даёт $\vec v = \vec v_0 + \vec a t$; площадь под $v(t)$, прямоугольник с треугольником, даёт $\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 t + \vec a t^2/2$, и квадрат времени виден по треугольнику. Вложили одно число, получили две формулы и две постоянные, которые меряют на старте. Проверки: размерность, предел $a = 0$, обратное дифференцирование. Бросок под углом: горизонтальная строка вырождается, вертикальная работает целиком, время полёта и дальность те самые, что берёт задача о мяче.

Оси садятся на движущуюся точку, тело отсчёта и часы остаются прежними, и $\vec v = v\vec\tau$ выводится, а не постулируется. Цена: $\vec\tau$ меняется со временем и из-под производной не выносится; право дифференцировать по строчкам, отработавшее трижды, отбирается. Производная произведения разваливает ускорение на два слагаемых: одно меняет величину скорости, другое её направление. Перпендикулярность $d\vec\tau$ доказана дважды, равнобедренным треугольником с углами $90^\circ - d\alpha/2$ и дифференцированием $\vec\tau\cdot\vec\tau = 1$; цепочка через $ds$ оставляет в руках $d\alpha/ds$, угол поворота на единицу пути, в котором нет ни времени, ни скорости. Бинормаль: оба слагаемых лежат в одной плоскости, проверка на винтовой линии. В изломе конструкции нет, в точке перегиба нет окружности. Число: поворот радиусом 250 м на 25 м/с даёт 2,5 м/с², с разгоном 2,5 м/с² полное ускорение 3,5 м/с² под 45°.

Система отсчёта — это тело отсчёта плюс часы: тело даёт точку и направления, часы момент, и пока тело не названо, слово «движется» не значит ничего (две машины на шоссе: 100 и 110 км/ч относительно обочины, 10 км/ч друг относительно друга). Оси отдельная договорённость: положение становится столбиком чисел, и столбик наполовину наш, тот же вектор в других осях даёт другие числа. Цена осей, прикрученных к телу отсчёта: всё, что вращается само, описывается снаружи, и точка на ободе катящегося колеса выписывает циклоиду с остриями. Привязываться пока можно к чему угодно; это право отбирает первый закон Ньютона, и инерциальность живёт у узла инерциальной системы. Сложение скоростей здесь не звучит: преобразования Галилея живут в динамике.

Предел отношения перемещения к промежутку времени: обе половины дроби уходят в ноль, а отношение садится на конечное число, и это первый случай, когда язык вернул больше вложенного. Направление приходит даром: деление на положительный скаляр направления не трогает, секущая в пределе даёт касательную, и это её определение; школьное «одна общая точка» разбито контрпримером $y = x^3$. Пока оси неподвижны, вектор дифференцируется по строчкам; в изломе касательной нет, и машина, остановившаяся в углу, показывает точку, где у скорости нет направления. Обозначения: производная модуля радиус-вектора не равна модулю скорости, подмена типовая, лечится конвенцией «символ без стрелки — модуль».

Линия, которую вычерчивает точка, и два требования, предъявленные не линии, а закону движения $\vec r(t)$: непрерывность запрещает прыжки, двойная дифференцируемость нужна, чтобы существовали скорость и ускорение. Цена условия показана на машине, проходящей угол без остановки: скорость меняется скачком, производной в углу нет. Излом как точка без касательной разбирается у скорости, длина дуги у пути.

Скорость изменения угла, тот же предел в третий раз. Период $T = 2\pi/\omega$ и частота возвращают долг годографа; $v = \omega R$ выведено через хорду $2R\sin(\Delta\varphi/2)$, подстановка даёт $a_n = \omega^2 R$; угловое ускорение $\varepsilon = d\omega/dt$ и $a_t = \varepsilon R$ введены ради задачи о движении по окружности. Направление $\vec\omega$ соглашение по правой руке, и запись $\vec v = \vec\omega\times\vec r$ описывает вращение вокруг оси: для произвольного движения радиальная составляющая скорости в ней теряется. В зеркале $\vec\omega$ ведёт себя не как стрелка: псевдовектор. Число: Земля, $\omega = 7{,}3\cdot10^{-5}$ рад/с, на экваторе 465 м/с и треть процента $g$.

Та же операция взятия производной, применённая второй раз, теперь к скорости: среднее ускорение, потом предел, и новой договорённости здесь нет. Вторая производная радиус-вектора считается столбцом, по строчкам, и это третье применение неподвижных осей. Обратный ход от ускорения к скорости тот же интеграл, что от скорости к перемещению; постоянная интегрирования опять начальное условие. Число: разгон до 100 км/ч за 5 с даёт 5,6 м/с².

Основная задача кинематики: найти закон движения $\vec r(t)$. Без второй половины, начальных условий, задача не поставлена, и это выстреливает дважды: постоянная интегрирования при обратном ходе совпадает с начальным условием число в число, а равноускоренное движение отдаёт две постоянные, которые физик меряет на старте. Раздел живёт внутри блока о радиус-векторе, отдельного блока у задачи нет.

Масса системы равна сумме масс частей. Бытовой опыт это подсказывает, но в ядре утверждение получено выводом: импульс записан в двух инерциальных системах, и произвольность их относительной скорости не оставляет других вариантов.

Вирусный ролик с 2009 года: мяч для гольфа на 150 милях в час расплющивается о стальную плиту больше чем вдвое. Оценка по времени контакта даёт настоящему мячу около сантиметра сжатия, четверть диаметра, а съёмка стандартного мяча у USGA показывает деформацию заметно меньше. Скорее всего, в ролике тренировочный мяч из вспененного пластика. Картинке верят после оценки, а не до неё.

Взвешенное по массам среднее положение точек системы, с интегральной формой для непрерывного тела. Однородный стержень служит и проверкой формулы, и показом перехода от суммы к интегралу: сумма площадей столбиков в пределе становится площадью под прямой.

Шаг по времени, на котором силу считают постоянной, превращает дифференциальное уравнение в рецепт пересчёта скорости и положения. Цена допущения посчитана: явная схема при ста шагах на оборот раскручивает круговую орбиту на 22 процента за оборот, а если сначала обновить скорость и только потом положение, орбита замыкается. Так же устроен шаг градиентного спуска, и устойчивость обоих ограничена величиной шага.

Детерминированное уравнение бывает непредсказуемым. Две копии одной системы трёх тел, различающиеся сдвигом, которого не заметит прибор, сначала идут вместе, потом расходятся всё быстрее, и за горизонтом предсказания от начального сходства не остаётся ничего. Уравнение по-прежнему задаёт будущее, узнать его нельзя. Прогноз погоды честен несколько суток по той же причине, и тот же горизонт наследует обученная модель динамики: разворачивать её дальше, чем честна сама система, значит рисовать шум.

Интегрирование уравнения Мещерского без внешних сил даёт $v = v_\text{отн}\cdot\ln(m_0/m)$. Логарифм растёт медленно, поэтому на орбитальные 8 км/с при скорости истечения 2 км/с топливо занимает около 98% стартовой массы. Условия вывода блок называет сам: тяжести и сопротивления воздуха нет, скорость истечения постоянна.

Второй закон в записи через импульс переживает скорости, сравнимые со световой, но формально: запись та же, а импульс перестаёт быть произведением массы на скорость. Третий требует мгновенной передачи взаимодействия: если с Солнцем что-то случится, Земля ещё 8 минут 19 секунд будет притягиваться по-старому, и пары равных противоположных сил в один момент нет. Сохранение импульса при этом выживает, потому что отданный импульс уходит в поле.

Внутренние силы системы гасят друг друга попарно, поэтому суммарный импульс меняют только внешние силы. Отсюда право применять второй закон к телу целиком и к любой мысленно выделенной его части, чем и живёт задача о палочке.

Первый закон работает как постулат существования: есть хотя бы одна система отсчёта, где свободное тело идёт равномерно и прямолинейно, а дальше их бесконечно много. Излом модели назван в самом блоке: Земля вращается, и в задачах, где вращение существенно, поправки приходится возвращать.

Масса введена как коэффициент в опытном равенстве $m_1\Delta v_1 = -m_2\Delta v_2$ и потому измерима: столкнув неизвестное тело с эталоном, отношение масс читают по отношению изменений скоростей. Так снимается круг, в котором сила определяется через массу, а масса через силу.

Замок динамики точки. Три закона собраны из одного предположения, что у изолированной пары количество движения только передаётся, двух свойств сцены и двух определений, массы и силы; сложение сил принято сверх этого счёта. Собравшись, закон выбирает сам: класс систем отсчёта, ось и время для счёта импульса, состояние точки, систему для баланса с переменной массой и точку, которой можно заменить тело. У каждого выбора названы цена и возврат сверх вложенного, а единственное «нет» стоит на трёх телах: будущее задано, а узнать его за горизонтом нельзя.

Готовую формулу гоняют по краям: наклонная плоскость при $\alpha = 90^\circ$ превращается в машину Атвуда, приведённая масса при бесконечно тяжёлом партнёре сводится к массе лёгкого тела, а центр масс стержня при постоянной плотности возвращается в середину. Приём работает в теме четырежды, а как общий приём не сформулирован нигде.

Преобразования Галилея, сложение скоростей и вывод о равноправии всех инерциальных систем. Блок сам помечает место излома: равенство $t' = t$ принято как допущение классической механики, и при скоростях, сравнимых со световой, оно падает первым.

Полная сила на тело есть векторная сумма сил от каждого источника, и вклад каждого таков, каким был бы без соседей. Из определения силы как скорости изменения импульса это не следует и принимается отдельным опытным фактом; без него нельзя записать ни одной суммы сил в системе многих точек. Школьное «силы складываются как векторы» обычно вносят молча, в ядре оно принято явно.

Центр масс движется так, как двигалась бы точка с полной массой системы под действием одних внешних сил. Внутренние взаимодействия и вращение на это не влияют, а без внешних сил центр масс идёт равномерно и прямолинейно. В системе центра масс суммарный импульс равен нулю в каждый момент, и на этом нуле стоят разбор столкновений и теорема Кёнига.

Равенство и противоположность сил пары получены из сохранения импульса двух точек, а не постулированы. Что силы лежат на прямой, соединяющей тела, из вывода не следует: эта половина закона принята отдельным опытным фактом, и без неё не сократятся моменты внутренних сил. Равенство мгновенное, и там, где взаимодействие переносится с конечной скоростью, закон в этой форме не выполняется.

Когда сила живёт доли секунды и меняется со временем, работает интеграл силы по времени, и по видимому изменению импульса судят о силе, которую никто не мерил: теннисный мяч у стены испытывает в среднем около 700 Н, в тысячу двести раз больше своего веса. Отсюда же критерий короткого процесса: силой, ограниченной по величине, за время удара пренебречь можно, реакцией опоры при ударе нельзя никогда.

Тот же второй закон, прочитанный как дифференциальное уравнение второго порядка и замкнутый законом силы. Что нужно знать для предсказания, назначил сам закон: положение и скорость сейчас, шесть чисел состояния, и из них восстанавливаются всё будущее и всё прошлое точки. Тот же выбор переносится на модель, которую учат предсказывать движение по кадрам видео: признаков ей нужно столько, сколько чисел в состоянии.

Баланс импульса для системы «тело плюс выброшенная порция» добавляет к $\vec F = m\vec a$ слагаемое $v_\text{отн}\cdot dm/dt$, реактивную силу. При постоянной массе слагаемое исчезает, и уравнение возвращается ко второму закону.

Сила введена как мера изменения импульса, $\vec F = d\vec p/dt$, и лишь при постоянной массе сворачивается в школьное $\vec F = m\vec a$. Ядро идёт от сохранения импульса к силе, а не наоборот, и этим обходит круговое определение силы через массу.

Вычитание двух уравнений Ньютона сводит движение пары к движению одного тела с массой $\mu = m_1 m_2/(m_1+m_2)$ в поле их взаимодействия. Предельные случаи внутри блока работают проверкой: бесконечно тяжёлый партнёр даёт $\mu \to m_2$, равные массы дают $m/2$.

Третье тело ломает приём, который спас задачу двух: свести систему к одному относительному движению больше нельзя. Аналитического решения нет, а численное упирается в чувствительность к начальным данным.

У изолированной пары тел количество движения только переходит от тела к телу, и сумма импульсов не меняется. В ядре это единственное предположение о взаимодействии: оно стоит раньше второго и третьего законов, и оба получены из него. Векторность показана орудием на гладкой площадке: по горизонтали импульс системы сохраняется, по вертикали его меняет опора. Изолированных систем не бывает, и закон работает там, где импульс внешней силы за время процесса мал против импульсов тел.

Сила вдоль линии, соединяющей точку с неподвижным центром, с модулем, зависящим только от расстояния. Потенциальность доказана одной строкой, $\vec r\cdot d\vec r = r\,dr$ для любого перемещения, и названо, что её ломает: зависимость модуля от направления или от времени.

Замок темы. Импульс пары за время $dt$ равен нулю, работа пары равна силе на относительное перемещение: две строки отличаются одним множителем, и внутренние силы, пропавшие из импульса, в энергии остаются. Работа пары одна у всех наблюдателей и делит силы на классы; удар не трогает энергию движения центра масс и распоряжается энергией относительного движения. Язык вернул потенциальную энергию, силу как минус градиент, закон сохранения с его условием и окружность скоростей.

Работа всех приложенных сил равна приращению $mv^2/2$, постоянство массы названо допущением с последствием. Равенство $\vec v\cdot d\vec v = v\,dv$ прочитано геометрически: работу делает продольная часть приращения скорости. Для системы точек теорема требует работы всех сил, внутренних тоже, и с этого начинается работа пары сил.

Три класса по тому, что делает работа пары: у консервативных она копится функцией взаимного положения, у гироскопических, перпендикулярных скорости, её нет, у пары сил трения скольжения она отрицательна и одна у всех наблюдателей. Работа одной силы трения бывает положительной. Гироскопических примеров два, сила Лоренца и сила Кориолиса. Всё прочее собрано в класс прочих неконсервативных сил: их не перебирают, а смотрят, как их работа входит в закон сохранения.

Класс и критерий разведены: сила зависит только от положения, и её работа по любому замкнутому контуру равна нулю. Квантор показан вихревым полем $k(-y, x, 0)$, которое зависит только от положения, а по окружности даёт $2\pi kR^2$. Разбиение контура на два маршрута доказывает независимость работы от пути.

Картинка «шарик на холмах» верна по длине дуги: там горка даёт точный одномерный потенциал. По горизонтальной координате у тела на горке появляются множитель наклона и член с кривизной профиля; точки поворота у тела и у точки в потенциале общие, законы движения разные, а на горбе тело может оторваться.

Производная работы по времени и она же скалярное произведение силы на скорость, верное для любой силы в каждый момент. В формулу входит скорость точки приложения силы, поэтому трение покоя под катящимся колесом в системе дороги мощности не развивает, хотя импульс передаёт.

Приём назван приёмом: при ударе двух тел переходить в систему центра масс, где импульсы равны $\pm\mu\vec v_\text{отн}$, а энергия $\mu v_\text{отн}^2/2$. Он держит вторую половину темы: упругий удар на прямой решается в две строки, импульсы при нелобовом ударе только поворачиваются, отсюда окружность скоростей, предельный угол и порог реакции.

Удар распоряжается только энергией относительного движения: слипание теряет её целиком, машина и грузовик при сближении 100 км/ч теряют 351 кДж, кто бы из них ни ехал; реакция берёт не больше неё, отсюда порог $Q(1 + m/M)$. Модель подана горкой на столе, реальный пример плазмой, число реакцией Резерфорда 1919 года с кинематическим порогом 1,53 МэВ.

Работа консервативной силы записана убылью функции точки, точка отсчёта сокращается при вычитании, а словесное определение даёт тот же знак, что формулы. Минус объяснён ради закона сохранения, произвол нуля показан спортзалом на пятом этаже, для тяготения ноль унесён на бесконечность. Потенциальная энергия принадлежит паре, и энергия системы есть попарная сумма, каждая пара один раз.

Скалярное произведение силы на перемещение, проинтегрированное вдоль траектории: из трёх компонент силы в работу входит одна, направление теряется, остаётся число. Знак читается через угол, перпендикулярная сила работы не совершает, а на обратном пути работа меняет знак, только если сила зависит от одного положения: трение тормозит в обе стороны.

Силы пары равны и противоположны: в импульсе, где множитель $dt$ у двух тел общий, пара сокращается, в работе множитель у каждого тела свой, и остаётся сила на относительное перемещение. Работа пары одна у всех наблюдателей, движущихся поступательно, а работа одной силы трения зависит от наблюдателя и бывает положительной: коробка на ленте транспортёра получает +2,25 Дж, лента −4,50 Дж, пара −2,25 Дж, ровно прирост внутренней энергии.

Концы скоростей после упругого удара лежат на окружности вокруг конца вектора скорости центра масс; куда на ней попадёт результат, решает прицельное расстояние, а касательная к окружности даёт предельный угол $\arcsin(m/M)$. У лёгкой налетающей частицы предельного угла нет. α-частица на электроне сворачивает не больше чем на 0,008°, и большие углы в опыте Резерфорда давало ядро.

Обращение связи работы и потенциала: частные производные дают минус градиент, три канонических примера проверяют знаки, и хранить для консервативной силы можно одно число вместо трёх. Картинка рельефа дана с оговоркой: она верна по длине дуги, а по горизонтальной координате у тела на горке появляются множитель наклона и член с кривизной. Где тело остановится, решает не сила, а трение.

Без трения шарик проскакивает минимум и возвращается, остановку даёт только трение. Сильное вязкое трение делает скорость пропорциональной силе, и дискретная запись такого движения есть градиентный спуск; инерция с умеренным трением даёт метод тяжёлого шарика, в машинном обучении метод с импульсом. При сухом трении тело встаёт раньше минимума.

Классы ударов по судьбе энергии относительного движения: упругий её сохраняет, неупругий теряет целиком, частично упругий теряет часть; полная энергия сохраняется всегда. Критерий короткого удара сказан целиком, вместе с тем, чем пренебречь нельзя. Счёт уравнений в пространстве, четыре на шесть неизвестных, объясняет, почему исход решают параметры удара, которых законы сохранения не знают.

Кинетическая энергия системы распадается на энергию движения центра масс и энергию движения относительно него; перекрёстное слагаемое, скорость одной системы на импульс в другой, пропадает в системе центра масс, где суммарный импульс нулевой. Границы названы: разложению достаточно поступательного движения систем, для сравнения приращений нужна постоянная переносная скорость. Парадокс автомобиля разобран числами, 200 и 600 кДж при одних 15 г бензина, колесо посчитано пересадкой.

Два закона сохранения дают скорости после лобового удара; промежуточный итог прочитан: относительная скорость меняет знак и сохраняет модуль. В системе центра масс каждое тело разворачивается, и ответ пишется в две строки через скорость центра масс. Число π в числе ударов лёгкого шара между стенкой и тяжёлым упомянуто одной фразой.

Баланс механической энергии первым: полная механическая энергия меняется на работу неконсервативных сил, и сохранение выходит частным случаем, условие которого ставит сам закон. Потерянное уходит во внутреннюю энергию. Общий закон принят как обобщение опыта, и врезка «Граница строгости» называет следующий уровень: сохранение энергии из однородности времени по теореме Нётер.

Два закона сохранения сводят движение к одной переменной: угловая часть кинетической энергии прячется в потенциал, остаётся одномерная задача с радиальной скоростью. Тип траектории читается по знаку полной удельной энергии. Границу блок называет сам: при полёте в атмосфере механическая энергия не сохраняется и уравнение перестаёт работать.

Одномерная кривая потенциала и прямая уровня энергии дают качественную картину движения без решения уравнений. В теме приём применён к орбитам, а работает он одинаково у минимума потенциала в колебаниях и в молекулярных потенциалах.

Корни квадратного уравнения на точки поворота по отдельности не нужны: сумма даёт большую полуось, произведение — малую. Фирменный физтеховский обход лобовой алгебры, который в теме встречается ровно один раз и просится в отдельный маршрут по методам.

Векторное произведение радиус-вектора на импульс: величина, которая помнит не только скорость, но и то, как движение расположено относительно полюса. Блок показывает, что синус угла можно относить к любому из двух сомножителей, и оба разложения дают один результат. Мотивировку узел берёт из вводного блока главы, где момент импульса объявлен управляющей величиной вращения.

Два следствия постоянного момента импульса: орбита плоская, а радиус-вектор заметает равные площади за равные времена. Определение центральной силы повторено здесь заново, хотя сам концепт живёт в области работы и энергии, в блоке centralnye-sily.

Моменты внутренних сил входят парами и гасятся общим плечом, поэтому момент импульса системы меняется только внешними силами. Рассуждение написано для двух точек и одной фразой переносится на любое их число.

Момент силы вводится по образцу момента импульса, а закон его изменения получается дифференцированием L: первое слагаемое зануляется коллинеарностью скорости и импульса. Блок отдельно связывает векторную запись со школьным рычагом, правилом правой руки и плечом силы.

Одна из самых нагруженных фраз главы, спрятанная в блоке про потенциальную энергию: в законе тяготения стоит та же масса, что во втором законе Ньютона, и равенство принято по опыту, а не выведено. Цену нарушения блок называет — ускорение свободного падения зависело бы от состава тела.

Поле вводится ответом на вопрос о передаче взаимодействия: мгновенное дальнодействие противоречит конечной скорости передачи информации. Аргумент, что поле физический объект, опирается на перенос энергии и импульса, и опыт Лебедева взят здесь из оптики. Принцип суперпозиции приходит из соседнего блока про потенциальную энергию. Второй тег стоит не для красоты: узел работает мостом в электромагнетизм, где то же поле считается всерьёз.

Первая скорость выходит из условия круговой орбиты, вторая — из нулевой полной энергии, и отношение $\sqrt2$ между ними держится на любом радиусе. Допущения названы внутри блока: орбита низкая, атмосферы нет, для реального запуска нужен запас.

Дно ямы эффективного потенциала: точки поворота сливаются, радиальная скорость нулевая, расстояние до центра постоянно. На этом единственном случае держатся все прикладные задачи темы, от первой космической скорости до геостационара и двойной звезды.

Главный результат: большая полуось знает только энергию, малая — ещё и момент импульса. Пери- и апоцентр найдены корнями квадратного уравнения, и дальше вся геометрия эллипса собирается из суммы и произведения этих корней.

Потенциальная энергия найдена интегрированием силы, ноль отнесён на бесконечность, знак отрицателен при любом конечном расстоянии. Проверка предельным случаем стоит прямо в блоке: на бесконечности взаимодействия нет, при сближении энергия уходит вниз.

Единственная орбита, на которой аппарат висит над одной точкой Земли, и редкий сюжет темы, который видно из окна. Считается третьим законом Кеплера в две строки; связь и распределение слотов пока за кадром.

Площадь эллипса посчитана дважды: геометрически через полуоси и кинематически через постоянную секториальную скорость. Удельный момент импульса сокращается, остаётся постоянная, зависящая только от массы центрального тела. Число для Солнечной системы проверено прямо в блоке.

Рассуждение Ньютона восстановлено по шагам: центральность силы следует из постоянной секториальной скорости, малые эксцентриситеты оправдывают расчёт для круга, третий закон Кеплера даёт обратные квадраты. Границу блок называет сам: формула написана для точек и работает для протяжённых тел при малых размерах либо сферической симметрии. Опыт Кавендиша идёт рядом с историей закона.

Три закона даны формулировками с датами публикации, а рядом собрана геометрия эллипса: фокусы, полуоси, эксцентриситет и его разложение для почти круговой орбиты. Второй закон к этому месту уже получен из сохранения момента импульса, третий выводится позже, первый принят на веру. Тихо Браге в блоке не назван, хотя без его наблюдений Кеплера не было бы.

Единственная новая договорённость области: расстояния между точками не меняются, какие бы силы ни действовали. Из неё следуют перпендикулярность относительной скорости отрезку между точками и нулевая мощность внутренних сил: у твёрдого тела они выпадают не только из импульса и момента импульса, но и из энергии. Строгое доказательство, что поле скоростей задаёт одна угловая скорость, стоит во врезке. У тела, в отличие от точки, есть ориентация и распределение массы: положение задают шесть чисел, начальных данных двенадцать вместо шести. Границу модели называют три сравнения: время процесса и время пробега звука, деформация и нужная точность, долгое внутреннее трение, из-за которого вращение без опор сходит к оси наибольшего момента. Прочность отвечает на другой вопрос, разорвётся ли тело. Между точкой и телом, твёрдым и деформируемым выбирают по одним признакам: модель объясняет, предсказывает и не тянет лишнего.

Аналог второго закона для угла: $I_z\varepsilon = M_z$, знак задаёт правило правой руки, роль силы играет момент, роль массы момент инерции. Сходство $p = mv$ и $L_z = I_z\omega$ держится только в проекции. Когда $M_z = 0$, сохраняется $L_z$, даже если другие проекции момента сил есть: человек на скамье Жуковского сводит гантели с $0{,}75$ до $0{,}20$ м, момент инерции падает с $3{,}85$ до $1{,}76$ кг·м², угловая скорость растёт с $3{,}14$ до $6{,}87$ рад/с. Энергия растёт с $19{,}0$ до $41{,}6$ Дж, потому что человек с гантелями есть система тел, а не твёрдое тело, и работу совершают мышцы.

Момент инерции вокруг произвольной оси через точку $O$ получается свёрткой тензора с направляющими косинусами. Отложим от $O$ по каждому направлению отрезок $1/\sqrt{I_s}$: концы лягут на эллипсоид, полуоси которого направлены по главным осям, а самая длинная лежит вдоль оси наименьшего момента. Момент импульса смотрит по нормали к нему в той точке, куда указывает угловая скорость, и вдоль луча нормаль идёт только на осях эллипсоида. Поверхность нельзя путать с телом: однородный эллипсоид с теми же главными моментами вращается так же, как исходное тело, но пропорции у него другие. У куба относительно центра эллипсоид вырождается в шар, и любая ось через центр даёт $ma^2/6$.

Быстрое вращение вокруг оси симметрии делает момент импульса почти параллельным оси, $\vec L\approx I_\parallel\vec\omega_\parallel$. Быстроту задают параметры волчка, $(I_\parallel\omega_\parallel)^2\gg I_\perp mga$, а не отношение $\omega_\parallel\gg\omega_\perp$: оно выполнено и у волчка, запущенного без поперечного вращения. Приближение прячет поперечную часть момента импульса, она мала, но есть: после выключения тяжести ось обходит неподвижный $\vec L$ по конусу в $0{,}9^\circ$ с частотой $20$ Гц при $100$ об/с. При $20$ об/с формула отстаёт от точной прецессии на $37$ процентов, а ниже $19{,}3$ об/с при наклоне $60^\circ$ равномерной прецессии нет вовсе. Между приближением и точной теорией выбирают по тем же признакам, что для любой модели: пока поправка меньше измеримого, её отбрасывают.

Собственные направления тензора, в которых центробежные моменты равны нулю: только вдоль них $\vec L\parallel\vec\omega$, и равномерному вращению не нужен момент опор. У симметричной матрицы три вещественных главных момента и три перпендикулярные оси; если два момента равны, главной оказывается любая ось в их плоскости, а у шара и куба относительно центра любая. Главные оси принадлежат точке: вертикаль стержня на шарнире не главная относительно шарнира и главная относительно точки на $2l\cos\beta/3$ ниже него. Свободное тело вращается вокруг неподвижной оси, только если ось главная центральная. Относительно центра масс главные оси совпадают с главными компонентами облака масс, порядок обратный.

Шесть тел одной массы и одного радиуса скатываются по склону: обруч, тонкая сфера, диск, шар, колесо со спицами и брусок без трения. Ускорение $g\sin\theta/(1+\beta)$ и порог трения покоя $\mu_{\min} = \beta\operatorname{tg}\theta/(1+\beta)$ задаёт коэффициент $\beta = I/(mR^2)$, то есть форма, а не масса и не размер. Один опыт закрывает и зависимость момента инерции от распределения массы, и независимость скатывания от массы.

Замок области: четыре тела в одной таблице, и у каждого видно, стоит ли ось, лежит ли на ней момент импульса и кто даёт момент. У гантели на подшипниках и у стержня на шарнире момент дают подшипники и тяжесть, $2{,}0$ и $4{,}25$ Н·м; у тела без опор момента никто не даёт, и неподвижной остаётся лишь ось, на которой лежит $\vec L$; у волчка ось прецессирует. Во всех строках читается один закон, $d\vec L/dt = \vec M$. Договорились о неизменных расстояниях, и язык вернул ориентацию тремя углами, распределение массы десятью числами, момент опор и свободные оси. «Нет» он сказал там же, где у трёх тел: тяжёлое тело с неподвижной точкой решается только в трёх случаях.

Точка касания покоится относительно опоры, поэтому скорость центра и угловая скорость связаны как $v = \omega R$, а после дифференцирования так же связаны ускорения. Условие держится, пока сила трения покоя не превысила $\mu N$. На склоне телу с большим $\beta = I_C/(mR^2)$ нужно больше трения, $\mu \ge \beta\operatorname{tg}\theta/(1+\beta)$: на $30^\circ$ обручу не меньше $0{,}29$, шару хватает $0{,}17$. Если трения не хватает, тело проскальзывает, как катушка с нитью под критическим углом при тяге больше $0{,}395\,mg$ и $\mu = 0{,}3$: центр едет к руке, а обод крутится в обратную сторону. Тогда точка касания движется по опоре: при юзе вперёд, при буксовании назад. Привычное уравнение моментов относительно точки касания законно у однородного круглого тела и неверно у обруча с грузом на ободе, где ошибка достигает $45$ процентов. Ускорение скатывания $g\sin\theta/(1+\beta)$ задаёт распределение массы, а не масса и не радиус: с одной горки первым придёт шар, обод последним.

Мгновенная ось здесь имеет одно значение: прямая, точки которой в данный момент имеют нулевую скорость. Её находят по скоростям двух точек: перпендикуляры к ним, проведённые через сами точки, пересекаются на оси. В плоском движении при $\omega\ne0$ она всегда есть и может лежать вне тела, как у лестницы, скользящей по стене; в пространстве она есть только при $\vec\omega\cdot\vec v_O = 0$, иначе движение винтовое. Годится она для скоростей и не годится для ускорений: у точки касания катящегося колеса ускорение $v_0^2/R$ направлено вверх, а центр кривизны следа верхней точки лежит вдвое дальше мгновенной оси, на расстоянии $4R$ от точки.

Мера инертности вращения: одна и та же масса даёт разный момент инерции в зависимости от того, как далеко она разнесена от оси. Связь $L_z = I_z\omega$ верна для проекции: у гантели из примера $I_z\omega = 0{,}200$ кг·м²/с при модуле момента импульса $0{,}283$, в $1{,}41$ раза больше. Импульс идёт по скорости всегда, потому что масса есть число; мера инерции вращения числом не исчерпывается. Для уравнения на угол хватает одного числа, $I_z$, и стержень, шар и диск посчитаны явно, а меньший момент отвечает массе, собранной ближе к оси.

Если момент импульса лежит не на оси вращения, его поперечная часть поворачивается вместе с телом, и для этого нужен момент внешних сил $\vec\omega\times\vec L$. У гантели под $45^\circ$ к оси его даёт пара подшипников: $2{,}0$ Н·м при реакциях по $10$ Н, вдвое больше веса одной массы, а проекция $L_z$ остаётся постоянной. У стержня на шарнире, который ходит конусом, относительно шарнира тот же момент даёт тяжесть, потому что сила шарнира приложена в полюсе. Ответ зависит от выбора полюса, поэтому полюс называют каждый раз. Один шарнир в полюсе момента не даёт, а два подшипника, разнесённые по оси, дают пару.

Из четырёх слагаемых векторного произведения на ось проецируется одно, и $L_z$ от выбора полюса на оси не зависит. Силы, параллельные оси или пересекающие её, и реакции подшипников в $M_z$ не входят, поэтому для угла хватает одного уравнения без неизвестных реакций. Платой служат две другие проекции: они уходят на опоры. Проекция берётся на неподвижное направление, как у импульса, и если бы ось поворачивалась, одной проекцией было бы не обойтись. Гантель под углом показывает главное: $L_z$ сохраняется, пока сам вектор обходит конус.

Скорость любой точки складывается из скорости выбранного полюса и вращения вокруг него с одной угловой скоростью. Угловая скорость от выбора полюса не зависит, но зависит от системы отсчёта: в системе, которая сама вращается, у того же тела она другая. Независимость от полюса доказана подстановкой без пропусков, а существование одной угловой скорости выведено из неизменных расстояний во врезке модели тела. Полюсом удобно брать центр масс: поступательную часть тогда задаёт теорема о его движении. Осторожно с моментом импульса: относительно мгновенной оси законна только проекция $I_A\omega$, а сам вектор лежит на оси, лишь когда ось главная, и у наклонной гантели это не так.

Момент импульса относительно любой точки распадается на орбитальную часть, как если бы вся масса сидела в центре масс, и собственную часть вращения вокруг центра масс: $\vec L_A = m[\vec r_\text{цм}, \vec v_\text{цм}] + \hat I_\text{цм}\vec\omega$. Перекрёстные интегралы гибнут ровно потому, что отсчёт ведётся от центра масс, и разложение работает аналогом теоремы Кёнига для момента импульса. Катушка, которую тянут выше порога трения, показывает разложение в деле: относительно геометрической точки касания, которая едет вместе с центром, момент импульса нулевой, собственная часть $I_C\omega$ гасит орбитальную, и обод крутится в обратную сторону вдвое быстрее, чем едет центр.

Внешнего момента нет, момент импульса постоянен, ось симметрии описывает вокруг него конус с частотой $|\vec L|/(2\pi I_\perp)$. Из самого тела это видно по уравнениям Эйлера для $I_1 = I_2$: $\omega_3$ постоянна, а поперечная часть угловой скорости вращается по кругу с угловой скоростью $(I_3 - I_1)\omega_3/I_1$. Так движется ось вращения Земли относительно коры: для жёсткой Земли период около $305$ суток, наблюдаемый $433$, и разницу объясняет нежёсткость Земли. Поверх вынужденной прецессии та же свободная видна как нутация, кивание оси.

Свободное тело вращается как угодно, а ось вращения остаётся неподвижной только в одном случае: если на ней лежит момент импульса. Поперечную часть $\vec L$ повернуть некому, поэтому равномерное вращение вокруг неподвижной оси возможно, только если $\vec\omega\parallel\vec L$, то есть вокруг главной центральной оси; иначе ось ходит вокруг неподвижного $\vec L$. У тела с тремя разными главными моментами вокруг крайних осей малое отклонение остаётся малым, вокруг средней растёт как $e^{\lambda t}$, и тело кувыркается: брусок $1:2:3$ переворачивается каждые $3{,}7$–$4{,}1$ оборота, брошенный телефон первый раз через $0{,}3$–$0{,}5$ с. Устойчивость крайних осей принадлежит идеальному телу. С внутренним трением остаётся ось наибольшего момента, потому что при том же $|\vec L|$ энергия $L^2/2I$ там наименьшая.

Весь вектор $\vec L$ связан с угловой скоростью матрицей $\hat I$, и одним числом это не записывается: поперечную часть $\omega(I_{xz};\,I_{yz})$ задают центробежные моменты, то есть то, как разложена масса, и она есть даже при постоянной угловой скорости. Матрицу делает тензором закон преобразования $\hat I' = R\hat I R^{\mathsf T}$ при повороте осей: на диагонали стоят осевые моменты, главными они становятся только в главных осях, а сохраняется при повороте один след. Тензор принадлежит точке, неподвижной точке тела или центру масс. В осях тела он постоянен, и это причина уравнений Эйлера. Гантель под углом к оси есть тот самый случай, ради которого тензор и заводят.

Тело с неподвижной точкой переводится в любое положение одним поворотом вокруг оси через эту точку, поэтому ориентацию задают три числа: двумя углами направление оси в теле, как широту и долготу на глобусе, третьим поворот вокруг этой оси. У свободного тела теорема применяется к полюсу, а перемещение складывается из переноса и поворота. Два конечных поворота снова дают один, но порядок важен: $90^\circ$ вокруг неподвижной оси $x$ и затем $90^\circ$ вокруг $y$ дают $120^\circ$ вокруг одной оси, в обратном порядке $120^\circ$ вокруг другой, а сумма векторов дала бы $127{,}3^\circ$. Для сети, которая предсказывает ориентацию, непрерывная запись поворота требует пяти или шести чисел, а не трёх или четырёх.

Перенос оси прибавляет к моменту инерции $md^2$, если оси параллельны и одна из них проходит через центр масс: перекрёстный член исчезает по определению центра масс. Отсюда ось через центр масс самая лёгкая, а если ни одна из двух осей через центр масс не проходит, переносить надо через него, $I_2 = I_1 + m(d_2^2 - d_1^2)$. Диск с осью на ободе даёт $\tfrac32 mR^2$. Подстановка в $\tfrac12 I\omega^2$ даёт разложение энергии на движение центра масс и вращение вокруг него, то есть теорему Кёнига для вращения вокруг оси.

У движущегося полюса $O$ в уравнении моментов остаётся лишний член, $\dot{\vec L}_O = \vec M_O - [\vec v_O, \vec p]$. Он пропадает, когда полюс неподвижен или его скорость параллельна скорости центра масс, в частности в самом центре масс при любом его движении; тогда движение тела описывает пара $m\vec a_\text{цм} = \vec F$ и $d\vec L_\text{цм}/dt = \vec M_\text{цм}$. Для $I_A\varepsilon = M_A$ относительно материальной точки касания нужно ещё, чтобы её ускорение смотрело на центр масс: у однородного круглого тела так, у обруча с грузом на ободе нет, и наивное уравнение даёт $4{,}9$ рад/с² вместо $8{,}9$. У тел, которые скатываются по склону, точка касания и центр масс дают одно ускорение, $g\sin\theta/(1+\beta)$, а силу трения находит только пара уравнений с полюсом в центре масс. Катушка с нитью на критическом угле $\cos\alpha = r/R$ стоит, а выше порога трения покоя центр едет к руке.

В осях, привинченных к телу и направленных по главным осям, тензор инерции постоянен и диагонален, и уравнение моментов принимает вид $I_1\dot\omega_1 + (I_3 - I_2)\omega_2\omega_3 = M_1$ с двумя аналогичными. Плата за постоянный тензор: нелинейный член $[\vec\omega, \vec L]$. Уравнения описывают только вращение, центр масс движется по своему уравнению. Свободное тело решается до конца всегда, а тяжёлое тело с неподвижной точкой при любых начальных данных только в трёх случаях: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской (1888); других таких случаев нет, что строго доказал Ляпунов в 1894 году. Во всех остальных уравнения в общем виде не решаются: как у трёх тел, движение задано начальными условиями, а считают его шагами. Быстрый волчок есть приближение к случаю Лагранжа.

Приёмов шесть, и каждый проверяется числом: прямое интегрирование (стержень вокруг середины), перенос оси (тот же стержень вокруг конца), аддитивность относительно одной оси, слои и кольца (шар и диск), полярный момент относительно точки, который отдаёт тонкую сферу в три строки, и правило перпендикулярных осей для плоской фигуры, откуда пластина $ma^2/6$. У правила два условия: фигура плоская, а три оси проходят через одну точку. Равенство трёх моментов у сферы требует однородности: у пояса по экватору моменты разные.

Момент внешней силы поворачивает вектор момента импульса, почти не меняя его модуль, и ось уходит вбок вместо того, чтобы падать. Вывод идёт через конус: конец $\vec L$ бежит по горизонтальной окружности радиуса $L\sin\theta$, отсюда $\vec M = \vec\Omega\times\vec L$ и $\Omega = mga/(I_\parallel\omega_\parallel)$. Наклон сокращается, потому что $a$ отложено вдоль оси от опоры до центра масс, и плечо $a\sin\theta$ несёт тот же синус, что и радиус окружности. Задача про пропеллер читает ту же формулу в обратную сторону: принудительный поворот оси требует момента, и он приходит на вал. Ось Земли так же обходит конус под моментом Солнца и Луны на экваториальное утолщение, и оборот занимает около $26$ тысяч лет.

Два маятника отпускают одновременно, за опыт меняют одну величину, журнал копит строки: масса не входит, длина вчетверо даёт период вдвое, лунная тяжесть замедляет качание в $2{,}46$ раза. Опыты идут при амплитуде $14°$, где поправка к периоду меньше половины процента. Отдельный опыт интегрирует уравнение без приближения малых углов: при $70°$ период на десять процентов длиннее, чем при $14°$. Затухание в модели выключено.

Найти равновесие, где сила равна нулю, сместить систему на малую величину и оставить в силе линейный член, $F \approx -\kappa x$ с $\kappa = -\dfrac{dF}{dx}\Big|_{x_0}$; мера инерции $\alpha$ стоит при ускорении, и $\omega^2 = \kappa/\alpha$. Формула работает при $\kappa/\alpha > 0$: при $\kappa < 0$ отклонение растёт экспонентой, при $\kappa = 0$ метод частоты не даёт, хотя колебания бывают. Метод работает и с трением, когда энергия не сохраняется, но требует выписать все силы. Для тела на оси место второго закона занимает уравнение моментов.

Декремент меряют по двум соседним амплитудам, $d = \ln(x_n/x_{n+1})$, и добротность определена через него, $Q = \pi/d = \pi N$, где $N$ число колебаний, за которые амплитуда падает в $e$ раз; рядом $Q \approx \omega_0/2\gamma$. Энергетическое $Q \approx 2\pi E/\Delta E$ есть отношение энергии к средней потере за радиан фазы, а не за период, и совпадает с $\pi/d$ только при слабом затухании. Добротность меряет затухание часами самой системы: осциллятор, который по секундомеру гаснет быстрее, по счёту своих колебаний может жить дольше. На интервале, малом против $N$ периодов, трением можно пренебречь и считать колебания свободными; десятиметровому маятнику Фуко, который должен качаться три часа, нужна добротность больше $5000$. Второй смысл добротности, высоту и ширину резонансной кривой, даёт отклик на внешнюю периодическую силу.

Когда оба конца пружины держат тела, центр масс движется равномерно, а растяжение пружины подчиняется уравнению груза у стенки, где инерцию задаёт приведённая масса $\mu = m_1m_2/(m_1 + m_2)$, а жёсткость прежняя. Тележки $1$ и $3$ кг на пружине $20$ Н/м качаются с периодом $1{,}22$ с, быстрее, чем каждая поодиночке у стенки, $1{,}40$ и $2{,}43$ с: приведённая масса меньше меньшей из масс. Амплитуды тележек около центра масс обратно пропорциональны массам. Пределы проверяют ответ: бесконечно тяжёлая вторая тележка становится стенкой, а при равных массах середина пружины стоит, и каждая тележка качается на своей половине вдвое большей жёсткости.

Полная энергия $E = \tfrac12\alpha\dot x^2 + U(x)$ сохраняется; около минимума потенциал раскладывается до квадратичного члена с $\kappa = \dfrac{d^2U}{dx^2}\Big|_{x_0}$, и производная энергии по времени даёт то же уравнение, что динамический метод. Силу методу даёт обратный ход: записав энергию как «квадрат скорости с коэффициентом плюс квадрат смещения с коэффициентом», частоту читают, не выписывая сил, а силы реакции, которые работы не совершают, в энергию не входят. С трением энергия не сохраняется, и частоты метод не даёт.

Движение целиком одной картинкой на плоскости координаты и скорости: эллипс на каждое значение энергии, обход по часовой стрелке, замкнутость как признак периодичности. Замкнутость даёт сохранение энергии, форму эллипса квадратичная потенциальная энергия: у маятника на большой амплитуде траектории замкнуты, но не эллипсы, а сепаратриса отделяет качание от вращения. В осях $\sqrt\kappa\,x$ и $\sqrt\alpha\,\dot x$ эллипс становится окружностью радиуса $\sqrt{2E}$. Трение размыкает эллипс в спираль, сходящуюся к равновесию. Живая кривая в XY-режиме осциллографа входит в стандартный демонстрационный набор и записана пробелом у режимов затухания.

Твёрдое тело на неподвижной оси: уравнение моментов $I_A\ddot\varphi = -mga\sin\varphi$ даёт $\omega^2 = mga/I_A$, и момент инерции относительно оси задаёт инерцию, а $mga$ жёсткость. Масса сокращается, как у груза на нити. Два предельных случая работают проверкой: точечная масса возвращает математический маятник, подвес за центр масс даёт безразличное равновесие. Период наименьший, когда ось удалена от центра масс на радиус инерции, а ближе к центру масс снова растёт: у метрового стержня $1{,}52$ с в $0{,}289$ м от середины против $1{,}64$ с за конец. Пока груз мал против длины подвеса, хватает точки на нити: шар радиусом $3$ см в метре от оси удлиняет период на $0{,}02$ процента.

Груз на пружине служит в ядре канонической реализацией модели: отсюда берутся уравнение, решение, смысл амплитуды, фазы и циклической частоты, период $2\pi\sqrt{m/k}$ и колебание как тень равномерного вращения. Пропорциональность силы смещению делает колебания гармоническими, и период от амплитуды не зависит: оттянутый дальше груз проходит больший путь, но и сила на нём во столько же раз больше. Модель кончается в двух местах. Где у силы нет линейного члена или амплитуда велика, период зависит от амплитуды. Где трение успевает сказаться, модель без трения держится лишь на интервале, малом против $N = Q/\pi$ периодов.

Замок области: шесть систем в одной таблице, груз на пружине, груз на нити, тот же маятник на Луне, стержень на оси, две тележки и контур. Законы за строками разные, а период каждой складывается из двух её чисел, $2\pi\sqrt{\alpha/\kappa}$; где у задачи есть потенциал, жёсткость равна его кривизне у дна. Затухание у всех мерят одним числом, числом колебаний системы. Договорились о малом отклонении от устойчивого равновесия и о трении, линейном по скорости, и язык вернул одно уравнение для всего, что колеблется около минимума с кривизной, и частоту из двух чисел системы. «Нет» он сказал на большой амплитуде и там, где у минимума нет положительной кривизны: там отказывает приближение, а точное уравнение остаётся верным и у маятника решается.

Колебания идут около устойчивого равновесия, где у потенциальной энергии минимум. Около максимума малое отклонение растёт экспонентой: метровый маятник на стержне, отпущенный из покоя у верхней точки, уходит от неё в $e$ раз за $0{,}53$ с. При безразличном равновесии колебаться не с чего. При малом отклонении разложение потенциала начинается с квадратичного члена, и системы с разными законами получают одно уравнение с частотой $\omega^2 = \dfrac{d^2U}{dx^2}\Big|_{x_0}\Big/\alpha$: кривизна потенциала, делённая на меру инерции из кинетической энергии. Масса из частоты маятника уходит, потому что кривизна $mgl$ и инерция $ml^2$ растут с ней вместе. Рецепт молчит, где на дне нет положительной кривизны, как у ямы $x^4$ и у жёлоба, и не годится для свободного вращения, где потенциала с минимумом нет и устойчивость решает уравнение движения. В однородной планете потенциал есть точная парабола, и там рецепт верен при любой амплитуде.

Контур попал в механическую главу как доказательство того, что осциллятор не обязан быть железным. Закон у него электрический, правило для напряжений вместе с законом индукции, а уравнение то же, что у груза на пружине. Заряд к нулю возвращает конденсатор, и $1/C$ играет роль жёсткости. Инерцию даёт катушка: ЭДС самоиндукции не даёт току ни вырасти, ни пропасть мгновенно, и заряд проскакивает ноль, как груз проскакивает равновесие. Тег механики стоит вместе с электромагнетизмом потому, что узел работает мостом между ними.

Динамическим методом блок даёт два маршрута, проекцию второго закона на касательную и уравнение моментов на закреплённой оси, а энергетический метод приводит к той же частоте. Замена синуса углом есть единственное приближение с последствием, и цену его глава называет числом: при $30°$ синус меньше угла на $4{,}5$ процента, а период длиннее гармонического на $1{,}7$; на процент период вырастает при $23°$, на десять при $69°$. Точное уравнение решается, период даёт эллиптический интеграл, и гармоническую модель выбирают против точной по точности, которая нужна ответу.

Около устойчивого равновесия колебания идут при любой возвращающей силе, а гармоническими становятся, только если сила пропорциональна смещению. Пружина с силой, растущей как квадрат растяжения, жёлоб с изломом на дне и яма $U = cx^4$ колеблются без одной частоты, и так при сколь угодно малой амплитуде: у пружины период падает с амплитудой как $1/\sqrt A$, у ямы $x^4$ как $1/A$, у жёлоба растёт как $\sqrt A$. Все три закона даёт одна оценка, время прохода порядка $\sqrt{A/a(A)}$ по ускорению на краю. У маятника на большой амплитуде период растёт: на процент при $23°$, на десять при $69°$ и без предела, когда амплитуда подходит к $180°$, где сепаратриса отделяет качание от вращения.

Постоянная сила сдвигает равновесие туда, где сумма сил равна нулю, и меняет частоту только через наклон силы в новой точке, $\kappa = -\dfrac{dF}{dx}\Big|_{x^*}$. У пружины наклон всюду один, и вес только сдвигает равновесие: груз $0{,}1$ кг на пружине $10$ Н/м опускается на $9{,}8$ см на Земле и на $1{,}6$ см на Луне и в обоих местах качается с периодом $0{,}63$ с. Пружина с силой, растущей как квадрат растяжения, линейного члена не имеет, а под весом получает жёсткость $2\sqrt{mgk_2}$: постоянная сила создала жёсткость, которой не было, и на Луне эта жёсткость меньше. У маятника тяжесть сама возвращает груз, его жёсткость $mgl$ пропорциональна $g$, и на Луне метровый маятник качается с периодом $4{,}94$ с против $2{,}01$ с на Земле.

Эффективная длина $l_A = I_A/(ma)$, в учебниках чаще приведённая, есть длина нити, на которой груз качается в такт с телом. Центр качания лежит на продолжении отрезка от оси к центру масс на эффективной длине, и тело, подвешенное за него, качается с тем же периодом. Взаимность доказана двойным переносом оси, а теорема Виета даёт её короче: расстояния $a$ и $b$ от центра масс до точки подвеса и центра качания суть корни одного квадратного уравнения, $a + b = l_A$ и $ab = I_C/m$. Равные периоды даёт и симметричная пара опор, $b = a$, и на ней измерение $g$ ломается: у метрового стержня с опорами в $0{,}40$ м от середины расстояние между ними $0{,}8$ м при эффективной длине $0{,}608$ м, и $g$ выходит завышенным на $31{,}5$ процента. Поэтому оборотный маятник делают несимметричным, и тогда ни центра масс, ни момента инерции знать не нужно.

Затухающий косинус с частотой $\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ и критическое решение $(A_1t + A_2)e^{-\gamma t}$ проверяются подстановкой, без комплексных чисел. Замена $x = e^{-\gamma t}y$ убирает трение, и режим решает знак коэффициента при $y$, тот же, что отделял колебания около равновесия от ухода от него: при слабом трении затухающие колебания, при сильном апериодический режим, на границе критический. Частота затухающих колебаний меньше собственной, а огибающая падает в $e$ раз за время $1/\gamma$ и от жёсткости не зависит. Из покоя критический режим возвращает систему быстрее любого апериодического и на долгом хвосте быстрее колебательного, хотя в коридор пять процентов колебательный режим с $\gamma/\omega_0 = 0{,}7$ входит раньше, перелетев равновесие на $4{,}6$ процента. На критическое трение $2\sqrt{mk}$ настраивают стрелку прибора и регулятор сустава робота, а в машинном обучении метод с импульсом: трение, критическое для пологой стенки оврага, сокращает число шагов в корень из отношения жёсткостей стенок.

Вязкое трение входит первым членом разложения силы по скорости, $-\beta\dot x$, так же, как возвращающая сила входила первым членом по смещению. У тела, колеблющегося в жидкости или газе, сила линейна по скорости, пока амплитуда мала против размера тела. Сухое трение меняет знак вместе со скоростью, линейного члена у него нет, и модель выбирают по опыту: при вязком трении за период амплитуда уменьшается в одно и то же число раз, при сухом на одну и ту же величину, $4\mu_\text{тр}g/\omega_0^2$, и тело встаёт за конечное число колебаний. Уравнение решают динамическим методом: энергия не сохраняется и входит только мерой потерь, $dE/dt = -\beta\dot x^2$. Подстановка экспоненты с действительным показателем сводит задачу к квадратному уравнению, и знак $\gamma^2 - \omega_0^2$ делит решения на случаи.

Скорость $c = \sqrt{E/\rho}$ выводится двумя путями: из импульса куска стержня, который успел прийти в движение, и из волнового уравнения цепочки грузов на пружинках; у стали 5,1 км/с, метр звук проходит за 0,2 мс. Под постоянной силой торец стержня сразу едет с постоянной скоростью $F/\rho c S$ и до прихода эха не разгоняется, а потом едет ступенями; напряжение на фронте $\rho c v$ собрано из чисел вещества. Тонкому стержню хватает модуля Юнга, в толще тела продольный звук быстрее, у стали около 5,9 км/с. Та же выкладка с модулем всестороннего сжатия описывает гидроудар.

Второй закон для груза цепочки, $m\,d^2u_n/dt^2 = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1})$, в пределе частых грузов переходит в уравнение сплошного стержня, $\partial^2 u/\partial t^2 = (E/\rho)\,\partial^2 u/\partial x^2$; то же даёт второй закон для отрезка $dx$ с напряжением $E\,\partial u/\partial x$. Любая форма $\psi(x - ct)$ решает его и едет вдоль стержня, не меняясь. Цепочка честна для деформаций, длинных против шага: короткие волны она пропускает медленнее, и за фронтом идёт рябь. Гармонические и стоячие волны, их энергия и эффект Доплера в ядре ещё не разобраны.

Энергию растянутого стержня находят энергетическим методом, интегралом работы внешней силы, и на единицу объёма она равна $w = E\varepsilon^2/2 = \sigma\varepsilon/2$, в паскалях. Сталь у края упругой области, при $\varepsilon = 10^{-3}$, запасает $10^5$ Дж/м³, в две тысячи раз меньше напряжения в тех же единицах. При разгрузке энергия возвращается целиком, только пока деформация упругая: проволока, растянутая до процента, возвращает $6{,}7$ процента работы, остальное остаётся в стали теплом.

Замок области: четыре состояния одного кубика в одной таблице, упругий, жидкость в покое, жидкость без трения и вязкая. Различает их отклик на сдвиг: упругий кубик держит касательное напряжение углом, $G\gamma$, у жидкости в покое и без трения его нет, у вязкой оно отвечает на скорость сдвига, $\eta\,\partial v/\partial y$. Модули и вязкость принадлежат веществу, деталь вносит только форму. Договорились о кубике среды и о линейных откликах, и язык вернул звук и гидроудар одной выкладкой и уравнение течения с точными решениями. «Нет» он сказал за пределом пропорциональности и в турбулентности, где уравнение верно, но решать его шагами помогает плохо; у разреженного газа кончается сама договорённость о кубике.

Поперечная деформация в паре с продольной, измеренная при свободных боковых гранях; вместе с модулем Юнга она исчерпывает упругость изотропного тела. Оба предела выведены из положительности энергии деформации: $\mu < 1/2$ из всестороннего сжатия, $\mu > -1$ из сдвига. У большинства тел коэффициент положителен, у стали около $0{,}3$, у резины почти $1/2$. Отрицательный встречается редко: у материалов с вогнутыми ячейками, у α-кристобалита и у металлических кристаллов, растянутых вдоль некоторых направлений.

Отклик среды пишут для кубика, а не для детали: силу делят на площадь, удлинение на длину, и характеристика детали превращается в характеристику вещества. Так из жёсткости стержня выходит модуль Юнга, из силы на доску вязкость, из сил на грани покоящегося кубика градиент давления. Обратным ходом из элементов собирают ответ для детали: цепочка грузов на пружинках даёт волну в стержне и ступени, которыми едет его торец.

Кубик под тремя парами напряжений: продольный вклад по Гуку, два поперечных через коэффициент Пуассона, и вклады складываются, потому что деформации малы. Энергия от пути нагрузки не зависит, потому что одно и то же $\mu$ связывает оси в обе стороны. Будь перекрёстные коэффициенты разными, круг нагрузки возвращал бы кубик с ненулевой работой, 100 Дж/м³ за круг при коэффициентах $0{,}3$ и $0{,}2$, модуле $10^9$ Па и напряжениях $10^6$ Па. Равенство следует из существования энергии, одной линейности для него мало. Независимых упругих постоянных у кристалла не больше двадцати одной, у изотропного тела две.

Касательное напряжение $\tau = F/S$ перекашивает кубик на угол $\gamma$, и упругое тело держит перекос, $\tau = G\gamma$; касательные силы нужны на всех четырёх гранях, иначе кубик повернулся бы. Сдвиг сводится к растяжению и сжатию по диагоналям, отсюда $G = E/2(1+\mu)$, у стали около 77 ГПа, и нижний предел $\mu > -1$. Модуль кручения цилиндра $f = \pi G r^4/2l$ от угла не зависит, у стальной проволоки радиусом 1 мм и длиной 1 м он около $0{,}12$ Н·м/рад. Жидкость приходит к $\mu = 1/2$ с другой стороны, от нулевого модуля сдвига, и этим отличается от упругого тела.

Общая крыша деформаций и гидродинамики: вещество описывают величинами в точке, для кубика, малого против задачи и большого против молекул. В кубике стали с ребром 1 мкм около $10^{11}$ атомов, а для метрового стержня он всё ещё точка. У газа масштаб задачи сравнивают ещё и с длиной свободного пробега, около 70 нм при обычных условиях и 7 мм при давлении 1 Па. Пока ответы частиц и среды совпадают, бритва Оккама отрезает молекулы, и остаются несколько чисел вещества.

Кривая растяжения с четырьмя пределами: пропорциональности, упругости, текучести и прочности. Внутри металла упругость читается пружинками между слоями атомов, пластичность сдвигом слоёв, который после разгрузки не возвращается. У мягкой стали текучесть начинается около $2{,}5\cdot10^8$ Па, разрыв около $4\cdot10^8$ Па, а упругий участок кончается на деформации порядка $10^{-3}$. Узел работает изломом для области: формулы упругости живут на линейном участке, и бритва Оккама держит упругую модель, пока деформация мала против этого порога.

Модуль $K = E/3(1-2\mu)$, закон $\Delta V/V = -P/K$ и предел $\mu < 1/2$ из положительности энергии $P^2/2K$. Значение $1/2$ отвечает несжимаемой среде: у упругого тела к нему ведёт бесконечный $K$, у жидкости нулевой модуль сдвига. Вода с $K \approx 2{,}2\cdot10^9$ Па сжимается атмосферой на $0{,}005$ процента. Задача о замерзающей воде даёт в линейной модели $1{,}9$ ГПа при деформации 8 процентов, далеко за линейным участком, и настоящий потолок ниже, около двух тысяч атмосфер.

Жёсткость описывает деталь, модуль Юнга вещество. Два стержня в ряд вдвое мягче одного, два рядом вдвое жёстче, отсюда $k = ES/L$, и закон $F = k\,\Delta L$ становится локальным, $\sigma = E\varepsilon$. Метровый стальной стержень сечением 1 см² имеет жёсткость $2\cdot10^7$ Н/м. Внутри решётки модуль собран из пружинок между атомами, $E = k_\text{ат}/a$, и модулю стали при шаге $0{,}25$ нм отвечает пружинка около 50 Н/м. Закон есть первый член разложения, верный примерно до деформации $10^{-3}$; что у изотропного тела упругих постоянных две, принято без доказательства, у кристалла их до двадцати одной, и модуль зависит от направления.

Отношение инерционного члена уравнения для кубика к вязкому, $\rho v L/\eta$. Для трубы его считают по диаметру и средней скорости; ниже примерно двух тысяч возмущения в длинной трубе гаснут, и порог этот нижний: при плавном входе ламинарное течение держали и при числах в десятки раз больше. Водопровод с числом около $10^4$ турбулентен. У обтекания тел пороги свои: за цилиндром около пятидесяти след начинает срывать вихри, и дорожка Кармана остаётся ламинарной. Закон Бернулли от трубного порога не зависит, ему нужны только малые потери на участке.

Профиль скорости демка считает по сорока слоям, а формулы рисует рядом пунктиром. Между пластинами профиль прямой, и мёд тянут в десять тысяч раз сильнее воды. На разгоне слой воды толщиной 1 см подходит к прямой за 42 с, мёд за 0,006 с: силу задаёт $\eta$, время $\nu$. В трубе 2 см при перепаде 4 Па/м расход 0,94 л/мин, а вдвое шире труба уходит за порог ламинарности.

Жидкость без трения и теплопередачи. Отбросить их можно, когда они не успевают сказаться: тепло между слоями идёт медленнее, чем жидкость перетекает, а трение не успевает затормозить поток на участке задачи. Надуваемый шарик модель держит, метеорит в атмосфере нет. Модель объясняет разгон в сужении и струю из отверстия и платит тем, что давление в прямой трубе постоянного сечения у неё стоит, хотя оно падает. В том же блоке линии тока, стационарность и два режима течения; ламинарное течение бывает и нестационарным, как дорожка Кармана.

Струя бьёт с той же скоростью, с какой тело падает с высоты столба, $\sqrt{2gh}$, и плотность в ответ не входит: вода и ртуть при одинаковом уровне текут одинаково быстро. Ответ требует отверстия, много меньшего сечения сосуда; без этого пренебрежения скорость при $s/S = 0{,}3$ больше на 5 процентов. Трение на коротком пути к отверстию не успевает отнять заметную долю энергии и при числе Рейнольдса около $5\cdot10^4$. Задача о реактивной силе достраивает картину импульсом: сила вдвое больше гидростатического давления на глубине отверстия, умноженного на его площадь, а у острого края струя сжимается примерно до $0{,}6\,s$, и сила меньше.

Плотность потока вводится раз и навсегда: сколько чего проходит через единичную площадку за единицу времени, и так же записывают поток заряда или теплоты. Сохранение массы в стационарном течении даёт $\rho_1 v_1 S_1 = \rho_2 v_2 S_2$ для средних по сечению скоростей, а у несжимаемой жидкости $v_1 S_1 = v_2 S_2$: в трубе 2 см при 10 л/мин вода идёт со скоростью 0,53 м/с, в горле 1 см вчетверо быстрее. Расход тут же привязан к бытовому счётчику воды.

Несжимаемость есть свойство течения, а не вещества, и условий у неё два. Скорость мала против скорости звука: плотность меняется тогда на величину порядка $(v/c)^2/2$, у воздуха на процент при 50 м/с. Течение меняется медленнее, чем звук пробегает трубу туда и обратно, за $2l/c$. Где второе нарушено, приходит гидроудар со скачком $\rho c v$: у воды водопроводной трубы при 0,53 м/с это 7,9 бар против $\rho v^2/2 = 140$ Па, хотя сжимается она на $3{,}6\cdot10^{-4}$. Где модели совпадают, бритва Оккама оставляет несжимаемую, а у мгновенно закрытого крана она платит бесконечным давлением.

Выталкивающая сила есть сумма сил давления по поверхности тела, и подмена тела жидкостью той же формы даёт её без интеграла: вес вытесненной жидкости, для любой формы и любого поля. Подмене нужны два условия: жидкость вокруг покоится или движется как целое, без сдвига, и давит на тело со всех сторон. Кубик со стороной 10 см, прижатый ко дну метрового сосуда без зазора, вместо 9,8 Н вверх получает 1100 Н вниз. В сосуде с ускорением сила равна $\rho V(\vec a - \vec g)$ и при разгоне на 2 м/с² наклонена вперёд на 11,5°, а за быстро всплывающим телом остаётся след, и подмена не работает.

Свободная поверхность перпендикулярна градиенту давления, потому что вдоль неё давление не меняется. В покое градиент равен $\rho\vec g$, и поверхность горизонтальна; в сосуде с ускорением второй закон для кубика даёт $\nabla P = \rho(\vec g - \vec a)$, и вода в баке тормозящего вагона встаёт под углом 11,5° при 2 м/с². Во вращающемся сосуде перепад давления даёт кубику ускорение $\omega^2 r$ к оси, и поверхность поднимается параболой: чай в чашке радиусом 4 см при двух оборотах в секунду у стенки стоит на 1,3 см выше. Правило, по которому поверхность совпадает с поверхностью постоянной потенциальной энергии, есть правило покоя.

Профиль выводится балансом сил на соосном цилиндре: сила перепада давления растёт с радиусом как площадь торца, вязкая как боковая поверхность на скорость сдвига, и профиль выходит параболой. Расход растёт как четвёртая степень радиуса, и тут ловушка: труба вдвое шире по формуле пропустила бы в 16 раз больше, но число Рейнольдса выросло бы в 8 раз, с 1000 до 8000, и течение в длинной трубе стало бы турбулентным. В трубе 2 см перепад 4 Па/м прогоняет 0,94 л/мин. Перепад нужен постоянно, потому что трение непрерывно превращает работу сил давления в тепло, в отличие от картины Бернулли, где сумма держится вдоль трубки тока.

Второй закон для кубика жидкости по членам: масса единицы объёма на ускорение равна перепаду давления, весу и вязкой силе. Для течения слоями это $\rho\,\partial v/\partial t = -\partial P/\partial x + \eta\,\partial^2 v/\partial y^2$, и вязкий член читается так: сила тянет слой к средней скорости соседей. Установившиеся решения дают течения Куэтта и Пуазёйля, а время установления порядка $h^2/\nu$, 100 с у слоя воды толщиной 1 см. В общей записи к ускорению добавляется член переноса $(\vec v\cdot\nabla)\vec v$, разгонявший листик в сужении, и рядом стоит неразрывность для кубика. Из опыта взяты $\eta$ и сам линейный закон вязкости; есть ли у трёхмерного уравнения всегда гладкое решение, остаётся открытым вопросом.

У вопроса два смысла. Трубу целиком можно считать без потерь, пока работа трения мала против кинетической энергии, по оценке $l \ll \mathrm{Re}\,d/16$ с точностью до порядка; баланс по закону Пуазёйля даёт $\mathrm{Re}\,d/64$, у трубы 1 см при $\mathrm{Re} = 1000$ около 16 см. Невязкое ядро у оси идёт по Бернулли дальше, до конца входного участка, около $0{,}06\,\mathrm{Re}\,d$, 60 см, пока слой у стенки не заполнит трубу; совпадение множителей $1/16$ и $0{,}06$ случайно. Игла шприца стоит на границе, и обе формулы дают ей только оценки, струю 8–11 м/с вместо 14. Простую модель держат на коротком участке трубы, и одного числа Рейнольдса для выбора мало: решает длина против $\mathrm{Re}\,d$.

Вязкость определена опытом с доской на тонком слое и переведена в локальную форму, закон Ньютона для вязкого трения $\tau = \eta\,\partial v/\partial y$, тем же приёмом, каким $\sigma = E\varepsilon$ вышло из жёсткости. Число $\eta$ принадлежит жидкости, а площадь, слой и скорость опыту; модуль сдвига у кубика жидкости нулевой, и на сдвиг он отвечает скоростью роста угла. Под доской профиль прямой, потому что слой без ускорения при постоянном давлении получает равные силы сверху и снизу; прилипание задаёт только значения скорости у стенок. Механизм у жидкости и газа разный: с ростом температуры вязкость жидкости падает, а газа растёт. Кровь и растворы полимеров закону не подчиняются.

Закон сохранения энергии для трубки тока, с работой сил давления: в стационарном течении несжимаемой жидкости без трения $P + \rho v^2/2 + \rho g y$ постоянно вдоль линии тока. Условия названы прямо в выводе: стационарность, несжимаемость и малое трение на участке. Порог числа Рейнольдса в них не входит, и струя из отверстия подчиняется закону при числе около $5\cdot10^4$. Тот же ответ даёт второй закон для элемента на оси: перепад давления задаёт ускорение, а не направление скорости, и за горлом вода тормозится, идя к большему давлению. В горле трубы Вентури давление ниже на 2111 Па; подъёмную силу крыла закон сам по себе не объясняет.

Жидкость в покое не держит сдвиг: модуль сдвига у неё равен нулю, и касательных напряжений нет ни на одной площадке, иначе она потекла бы. Обратное неверно: идеальная жидкость течёт и без касательных напряжений, так что определяющим свойством покоя их отсутствие не служит. Равновесие призмы даёт давление, одно для всех площадок в точке, равновесие кубика даёт градиент давления, равный внешней силе на единицу объёма, а тяжесть при постоянной плотности даёт $\rho g h$, 98 кПа на глубине 10 м. Отсюда литр воды в высокой трубке нагружает дно бочки на 24 кН, в 2460 раз больше своего веса.

Сквозной приём механики: работает он в четырёх темах сразу и ни в одной не назван по имени. Синус заменяется углом у математического маятника, истинная кривая силы прямой у закона Гука, эллипс окружностью при малом эксцентриситете, произвольное смещение малым у динамического метода. Отсюда же растёт колебательная универсальность: в устойчивом равновесии сила равна нулю, и если у потенциала в минимуме есть кривизна, первым в разложении остаётся линейный член, а система становится осциллятором. Отброшенный член оценивается: у маятника его доля в энергии равна $\varphi^2/12$, и ошибка периода того же порядка, $1{,}7$ процента при амплитуде $30°$. Где линейного члена нет, как у жёлоба и ямы $x^4$, линеаризовать нечего.

Физика как культура моделей: у каждой идеализации есть область работы и место излома, за которым стоит следующая модель. Ось собирает узлы-модели и рёбра «граница-модели» в отдельный маршрут по ядру.

Система около устойчивого равновесия при малом отклонении ведёт себя как гармонический осциллятор, если у потенциала в минимуме есть кривизна, $\dfrac{d^2U}{dx^2}\Big|_{x_0} > 0$: в равновесии сила равна нулю, разложение начинается с линейного члена, и маятник, груз на пружине, тело на оси и электрический контур становятся одним объектом с разными обозначениями, с частотой из кривизны и инерции. Где кривизны на дне нет, как у ямы $x^4$, или на дне излом, как у жёлоба, колебания есть, а гармонических нет.

Сквозной водораздел: сохраняется механическая энергия или уходит в тепло. Держит вместе потенциальные силы, столкновения, трение, затухание, вязкость и выводит к необратимости и второму началу.

Места, где аппарат физики буквально совпадает с аппаратом ML: обезразмеривание признаков, градиент и спуск, энтропия, распределение Больцмана и softmax, диффузия и шум стохастического спуска, собственные значения и нормальные моды, уравнение движения среды в функции потерь сети.

Единица шаг за шагом уходит от человека. Градус — соглашение вавилонского происхождения; метр — доля земного меридиана, то есть привязка к одной планете; потом материальный эталон в Севре, один предмет на весь мир; потом фиксированная мировая константа, не зависящая ни от предмета, ни от планеты; в пределе — планковские единицы, где от человека не остаётся ничего. Каждый шаг убирает произвол предыдущего и платит за это удалением от привычного масштаба: планковская длина не годится, чтобы мерить стол.

Однородность времени даёт сохранение энергии, однородность пространства — импульса, изотропия — момента импульса. Ось связывает законы сохранения, разбросанные по темам, в одно утверждение; её строгое углубление — идеи доказательства теоремы Нётер, в курс не входящие. Ось собирает и сами законы сохранения, но не всякий из них нётеровский: сохранение массы в механике сплошной среды вводится отдельным постулатом, а не выводится из симметрии, и узел неразрывности стоит здесь именно на этом основании.

Сквозная сделка: описание сужают договорённостью о немногом, а математическая запись возвращает больше вложенного. Предел отношения двух исчезающих величин даёт скорость в мгновение и сверх того направление касательной, которого не спрашивали. Площадь под графиком скорости совпадает с перемещением, и тем же ходом открывается класс задач, где язык умеет сказать «нет»: доверие ко всему остальному держится на том, что отказ вообще бывает. Геометрия годографа выдаёт величину и направление центростремительного ускорения, ни разу не взяв производной. Конечный поворот выглядит вектором и вектором не оказывается, складываются только угловые скорости. Возврат всякий раз идёт в осях, прикрученных к телу отсчёта; когда оси садятся на движущуюся точку, право дифференцировать вектор по строчкам сдают обратно, и это уже не возврат, а плата. Та же сделка повторяется в динамике: за постулатами о силах запись отдаёт сохраняющиеся комбинации, которых в постулаты не клали.