Работа и энергия. Столкновения

Третья неделя кончилась тем, что внутренние силы исчезли из уравнения для импульса. Силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, по третьему закону равны и противоположны, и в сумме импульсов они сокращаются парами (Соберём много точек и посчитаем импульс системы). Импульс системы меняют только внешние силы, и центр масс идёт так, как будто внутренних сил нет вовсе (Докажем, что центр масс движется как точка). Можно ли посмотреть на тот же второй закон с другой стороны и увидеть в нём то, чего импульс не показывает?

Сменим множитель

Второй закон связывает силу с изменением импульса за время: за промежуток $dt$ сила меняет импульс точки на $\vec F\,dt$ (Дадим имя тому, что меняет импульс: второй закон). Промежуток времени здесь множитель, и его можно заменить. Сила меняет скорость, скорость уносит точку, и за тот же промежуток точка смещается на $d\vec r$. Умножим закон скалярно на это перемещение. Получится одно число вместо трёх компонент вектора: работа силы (Умножим силу на перемещение) и кинетическая энергия, которую она меняет (Докажем теорему о кинетической энергии). Направление при этом теряется, зато считать приходится одну величину вместо трёх.

В импульсе внутренние силы сократились, потому что по третьему закону действуют парами. Сократятся ли они в работе, выясним, как только дойдём до системы тел (Найдём работу внутренних сил).

Из этого умножения первая половина главы выводит теорему о кинетической энергии для тела и для системы тел, а за ней потенциальную энергию и закон сохранения механической энергии (Выясним, когда механическая энергия сохраняется). По дороге выяснится, почему шарик останавливается в ямке только при трении, и отсюда вырастет градиентный спуск, основной метод оптимизации в машинном обучении (Спустимся в минимум с трением). Вторая половина главы разбирает, что законы сохранения говорят об ударе двух тел и чего не говорят (Различим удары по судьбе энергии).

Что значит умножить силу на перемещение, если обе величины векторы? Пусть на материальную точку действует сила $\vec F$, и точка смещается на малый отрезок $d\vec s$, приращение своего радиус-вектора. Элементарной работой силы называется их скалярное произведение:

где $\alpha$ угол между силой и перемещением. Скалярное произведение сворачивает два вектора в одно число: из трёх компонент силы в работу входит только та, что направлена вдоль перемещения. Отсюда знак. Сила, толкающая по ходу движения ($\alpha < 90^\circ$), совершает положительную работу, тормозящая ($\alpha > 90^\circ$) отрицательную. Сила, перпендикулярная перемещению, работы не совершает вовсе: так устроены реакция гладкого стола под скользящей шайбой и натяжение нити, на которой груз ходит по окружности вокруг неподвижной точки.

Если траектория кривая, её разбивают на малые отрезки $d\vec s$, на каждом считают элементарную работу и складывают (рис. 1). Если на отрезке с номером $i$ сила равна $\vec F_i$, а сам отрезок равен $\Delta\vec s_i$, работа вдоль кривой приближённо равна сумме

В пределе, когда отрезки становятся всё мельче, сумма становится интегралом вдоль кривой $\Gamma$, по которой точка идёт из положения 1 в положение 2:

Пройдём ту же кривую обратно, из 2 в 1. Каждый отрезок $d\vec s$ сменит направление, и если сила в каждой точке та же, что при проходе туда, каждое слагаемое сменит знак:

Условие здесь существенно: сила должна зависеть только от положения точки. Сила трения этому условию не подчиняется. Она направлена против скорости, поэтому на обратном пути разворачивается вместе с движением и снова тормозит, и работа трения отрицательна в обе стороны.

Работа измеряется в джоулях: $1$ Дж есть работа силы в $1$ Н на перемещении в $1$ м вдоль её направления. Медленно поднимая чемодан массой $20$ кг на $1{,}5$ м, человек совершает около $290$ Дж, а сила тяжести столько же со знаком минус.

Одну и ту же работу можно совершить за секунду или за час. В определение работы время не входит, и чтобы различить эти случаи, нужна вторая величина. Мощность $P$ есть работа, совершаемая за единицу времени:

Подставим элементарную работу $dA = \vec F\cdot d\vec s$ и заметим, что перемещение за время $dt$ равно $d\vec s = \vec v\,dt$:

Никаких условий на силу здесь нет: формула верна для любой силы в каждый момент. Условие стоит на скорости: в формулу входит скорость той точки, к которой сила приложена. У колеса, катящегося без проскальзывания, точка касания с дорогой в системе дороги неподвижна. Сила трения покоя, которая разгоняет машину, в этой системе мощности не развивает и работы не совершает, хотя импульс машине передаёт. Откуда тогда берётся энергия разгона, разобрано в Разделим энергию системы на две части.

Мощность измеряется в ваттах, джоулях в секунду. Человек массой $70$ кг взбегает по лестнице на $3$ м за $3$ с. Сила тяжести совершает над ним $-2{,}1$ кДж, и чтобы подняться, ему нужна мощность около $690$ Вт, почти лошадиная сила ($736$ Вт).

Как работа силы связана с движением тела? Ответ даёт второй закон Ньютона (Дадим имя тому, что меняет импульс: второй закон): сила равна скорости изменения импульса,

где $\vec{p} = m\vec{v}$ импульс материальной точки массы $m$, движущейся со скоростью $\vec{v}$. Умножим обе части скалярно на перемещение $d\vec{s}$:

Слева стоит элементарная работа $dA$. Справа подставим импульс. Массу будем считать постоянной, и это допущение: для тела переменной массы, например ракеты, вывод в таком виде не работает. Тогда $d\vec p/dt = m\,d\vec v/dt$, а перемещение за время $dt$ равно $d\vec s = \vec v\,dt$:

Скалярное произведение $\vec v\cdot d\vec v$ равно $v\,dv$, где $v$ модуль скорости. Чтобы это увидеть, продифференцируем скалярный квадрат скорости $v^2 = \vec v\cdot\vec v$:

Равенство читается и геометрически (рис. 2). Приращение скорости $d\vec v$ раскладывается на часть вдоль скорости и часть поперёк неё. Поперечная часть поворачивает скорость, не меняя её модуля, и в скалярное произведение не входит; работу делает только продольная. Точка, которая идёт по окружности с постоянной по модулю скоростью, получает приращения скорости, перпендикулярные ей, и работа над ней равна нулю.

Проинтегрируем от скорости $v_1$ до скорости $v_2$:

Это теорема о кинетической энергии: работа всех сил, приложенных к точке, равна изменению её кинетической энергии $K = mv^2/2$,

Размерности сходятся: $[K] = \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = \text{Н} \cdot \text{м} = \text{Дж}$. Автомобиль массой $1000$ кг, разогнавшийся с места до $20$ м/с, получил $200$ кДж кинетической энергии; разгон с места до $40$ м/с стоил бы вчетверо больше, $800$ кДж.

Сложим по точкам системы

Для системы точек теорема записывается для каждой точки отдельно, и в работу над точкой $i$ входят все силы, которые на неё действуют: внешние и те, с которыми на неё действуют другие точки системы. Сложив по всем точкам, получим, что изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, внешних и внутренних:

В импульсе системы внутренние силы сокращались парами, и сумма импульсов подчинялась одним внешним силам (Соберём много точек и посчитаем импульс системы). Сократятся ли они здесь, разобрано в Найдём работу внутренних сил.

Внутренние силы выпали из импульса системы парами. Выпадут ли они из её кинетической энергии? Возьмём два тела, 1 и 2. Обозначим $\vec F_{12}$ силу, с которой тело 2 действует на тело 1, и $\vec F_{21}$ силу, с которой тело 1 действует на тело 2. По третьему закону $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$ (Выведем третий закон вместо того, чтобы принять его).

За время $dt$ пара сил меняет импульсы двух тел на

Сокращает пару третий закон, а общий множитель $dt$ даёт ему сработать: промежуток времени у двух тел один. За то же время тела смещаются на $d\vec r_1$ и $d\vec r_2$, и работа пары равна

Множитель у каждой силы теперь свой, перемещение своего тела, и пара не сокращается (рис. 3). Остаётся сила, умноженная на относительное перемещение, то есть на то, насколько тела сдвинулись друг относительно друга. Работа пары равна нулю, только если тела друг относительно друга вдоль силы не сдвигаются.

Положим коробку на ленту

Лента транспортёра идёт со скоростью $u = 1{,}5$ м/с, её тянет мотор. На ленту кладут коробку массой $m = 2$ кг без начальной скорости; коэффициент трения $\mu = 0{,}4$. Сила трения $\mu m g$ тянет коробку вперёд, а ленту с той же силой назад, и коробка разгоняется, пока не поедет вместе с лентой. Разгон длится $t = u/(\mu g) \approx 0{,}38$ с. За это время лента проходит $u t = u^2/(\mu g) \approx 0{,}57$ м, а коробка, набиравшая скорость равномерно от нуля, вдвое меньше, $u^2/(2\mu g) \approx 0{,}29$ м.

Работа силы трения над коробкой положительна и равна приросту её кинетической энергии: $\mu m g \cdot u^2/(2\mu g) = m u^2/2 = +2{,}25$ Дж. Работа силы трения над лентой отрицательна и вдвое больше по модулю: $-\mu m g \cdot u^2/(\mu g) = -m u^2 = -4{,}50$ Дж. Работа пары $-2{,}25$ Дж, сила трения на относительный сдвиг $0{,}29$ м (рис. 4). Эти $2{,}25$ Дж ушли во внутреннюю энергию: коробка и лента нагрелись. Мотору, чтобы лента не сбавила ход, пришлось совершить $4{,}5$ Дж, и они поделились пополам: половина стала кинетической энергией коробки, половина ушла во внутреннюю энергию. Ни $\mu$, ни $g$ в ответ не вошли, от них зависят только время и длина проскальзывания.

Работа одной силы трения, как здесь над коробкой, бывает положительной. Отрицательна всегда работа пары сил трения скольжения: относительный сдвиг идёт против силы (Различим силы по работе пары).

Пересядем на ленту

Посмотрим на то же из системы отсчёта ленты. Там коробку бросили на неподвижную ленту со скоростью $1{,}5$ м/с назад, и трение её остановило: над коробкой $-2{,}25$ Дж. Лента в этой системе стоит, и сила трения над ней работы не совершает. Работы над каждым телом стали другими, работа пары осталась той же, $-2{,}25$ Дж. Наблюдателя с любой скоростью можно подставить в демке (Пара сил трения в двух системах отсчёта).

Так будет у любого наблюдателя, который движется относительно первого поступательно: разность $\vec r_1 - \vec r_2$ у всех таких наблюдателей одна, потому что сдвиг начала отсчёта входит в оба радиус-вектора одинаково. Кинетическая энергия системы и работа внешних сил зависят от наблюдателя, работа внутренних сил, сумма работ всех пар, не зависит. В теореме о кинетической энергии для системы (Докажем теорему о кинетической энергии)

вся зависимость от наблюдателя собрана в $\Delta K$ и $A^{\text{внеш}}$. Как именно кинетическая энергия меняется от наблюдателя к наблюдателю, скажет Разделим энергию системы на две части.

Импульс внутренние силы передают всегда, а кинетическую энергию системы меняют, только если тела сдвигаются друг относительно друга. У твёрдого тела расстояния между точками постоянны, силы между точками направлены вдоль соединяющих их прямых, и работа внутренних сил равна нулю; к этому вернётся шестая неделя. Какой окажется работа пары, решает то, как сила зависит от взаимного положения тел, и по этому признаку силы делятся на классы (Введём потенциальную энергию, Различим силы по работе пары).

Как кинетическая энергия системы зависит от того, кто на неё смотрит? Импульс при смене наблюдателя меняется просто: он сдвигается на массу системы, умноженную на скорость одного наблюдателя относительно другого (Пересядем к другому наблюдателю: принцип относительности). С энергией так не выйдет, она квадратична по скорости.

Возьмём систему из $N$ материальных точек и две системы отсчёта: исходную $K$ и систему $K'$, которая движется относительно неё поступательно со скоростью $\vec V$. По правилу сложения скоростей скорость $i$-й точки в системе $K$ равна её скорости $\vec{v'}_i$ в системе $K'$ плюс скорость $\vec V$:

Кинетическая энергия системы в $K$ есть сумма кинетических энергий точек:

Раскроем скобки:

где $M$ полная масса системы, $K'$ её кинетическая энергия в системе $K'$, а $\vec P'$ её суммарный импульс там же. Первое слагаемое есть энергия движения относительно $K'$, второе энергия движения системы как целого со скоростью $\vec V$, третье перекрёстное: скорость одной системы, умноженная скалярно на импульс в другой.

Перекрёстное слагаемое пропадает, если $K'$ есть система центра масс: суммарный импульс в ней равен нулю в каждый момент (Докажем, что центр масс движется как точка). Тогда $\vec V$ есть скорость центра масс $\vec V_C$, и кинетическая энергия распадается на две части (рис. 5):

Это теорема Кёнига. Первая часть есть энергия движения центра масс, как если бы вся масса сидела в нём; вторая, $K_{\text{отн}}$, есть кинетическая энергия движения точек относительно центра масс.

Проверим границы

Разложение $K = K' + MV^2/2 + \vec V\cdot\vec P'$ мгновенное и требует от систем отсчёта одного: $K'$ движется относительно $K$ поступательно, без вращения. Поэтому теорема Кёнига верна при любом движении центра масс, в том числе ускоренном. Простое правило для приращений энергии в двух системах за конечное время получается, если скорость $\vec V$ постоянна: тогда $\Delta K = \Delta K' + \vec V\cdot\Delta\vec P'$, и разницу между приращениями даёт изменение импульса.

Предельный случай для проверки: если система движется как одно целое, все $\vec{v'}_i = 0$, то $K_{\text{отн}} = 0$ и остаётся привычное $K = MV_C^2/2$.

Разгоним автомобиль в двух системах

Автомобиль массой $1000$ кг разгоняется на дороге с места до $20$ м/с и получает $200$ кДж (Докажем теорему о кинетической энергии). Посмотрим на тот же разгон из системы, которая едет относительно дороги назад со скоростью $20$ м/с. В ней автомобиль разгоняется с $20$ до $40$ м/с и получает $\tfrac12\cdot 1000\cdot(40^2 - 20^2) = 600$ кДж, втрое больше. Бензина же в обеих системах сгорело одинаково: при кпд $0{,}3$ и теплоте сгорания $44$ МДж/кг на $200$ кДж уходит около $15$ г. Откуда в движущейся системе лишние $400$ кДж?

Разгоняет автомобиль сила трения покоя дороги на колёса. В системе дороги точка касания колеса стоит, и эта сила работы не совершает (Поделим работу на время); вся энергия разгона приходит от внутренних сил двигателя, $200$ кДж. В движущейся системе дорога вместе с Землёй едет вперёд со скоростью $20$ м/с, точка касания едет с ней, и та же сила трения совершает над автомобилем $400$ кДж (рис. 6). Земля получает от автомобиля такой же по модулю импульс назад, $20\,000$ кг·м/с, и её энергия в этой системе убывает на те же $400$ кДж: здесь и работает перекрёстное слагаемое $\vec V\cdot\Delta\vec P'$. Пара сил трения покоя работы не совершает ни в одной системе, тела друг относительно друга не скользят, а работа двигателя в обеих системах одна, $200$ кДж (Найдём работу внутренних сил). Бензин платит за неё, и потому его расход от наблюдателя не зависит. Обоих наблюдателей и пересадку с одного на другого прямо на ходу показывает демка (Машина разгоняется: чья это работа).

Посчитаем колесо, пересев на него

Колесо велосипеда катится без проскальзывания со скоростью $v$. Каждая точка обода описывает сложную кривую, и складывать их энергии по траекториям трудно. Пересядем в систему центра колеса (рис. 7). В ней обод вращается, и так как точка касания относительно дороги стоит, скорость обода относительно центра равна $v$. Если масса колеса $m$ сосредоточена в ободе, то $K_{\text{отн}} = mv^2/2$, и по теореме Кёнига

Обод массой $1$ кг на скорости $5$ м/с несёт $25$ Дж, вдвое больше, чем если бы колесо скользило, не вращаясь. Где кончается приближение обода и как считать колесо со спицами, скажет шестая неделя. Во второй половине главы теорема Кёнига понадобится ещё раз: удар двух тел может тронуть только $K_{\text{отн}}$ (Посмотрим на удар из системы центра масс).

Для каких сил работу можно записать заранее, как функцию начального и конечного положения, а не считать заново вдоль каждой траектории? Школьные $mgh$ для силы тяжести и $kx^2/2$ для пружины говорят, что такие силы есть. Найдём, что их отличает.

Начнём с класса. Рассматриваются силы, которые зависят только от положения тела, а от его скорости и от времени не зависят. Такая сила задаётся полем, вектором $\vec F(\vec r)$ в каждой точке пространства. Этого ещё мало. Сила называется консервативной, если её работа по любому замкнутому контуру равна нулю:

Слово «любому» здесь работает. Возьмём поле $\vec F = k(-y,\,x,\,0)$ (рис. 8): оно зависит только от положения, а на окружности радиуса $R$ вокруг оси $z$ сила всюду направлена по касательной, и работа за оборот равна $2\pi k R^2$, не ноль. На других контурах, например на отрезке, пройденном туда и обратно, работа того же поля нулевая, так что одного контура для проверки мало. Зависимость от положения задаёт класс, а равенство нулю по любому контуру есть отдельный критерий.

Из критерия следует, что работа консервативной силы между двумя точками не зависит от пути. Разобьём замкнутый контур на путь I из точки 1 в точку 2 и путь II из точки 2 обратно в точку 1 (рис. 9):

Сила зависит только от положения, поэтому при смене направления обхода работа меняет знак (Умножим силу на перемещение):

Отсюда

и так для любой пары путей: работа консервативной силы определяется только начальным и конечным положением. Когда груз поднимают на пятый этаж, сила тяжести совершает над ним одну и ту же работу, несут его по лестнице или везут в лифте.

Для пары тел консервативная сила зависит от их взаимного положения, и тогда работа пары, сила на относительное перемещение (Найдём работу внутренних сил), тоже копится функцией взаимного положения. Эта функция и есть потенциальная энергия (Введём потенциальную энергию).

Работа консервативной силы зависит только от начального и конечного положения (Выделим силы, работа которых не зависит от пути). Значит, её можно записать разностью значений одной функции положения. Найдём эту функцию.

Выберем точку отсчёта $0$. Потенциальной энергией $U$ в точке называется работа консервативной силы на пути из этой точки в точку отсчёта: $U_1 = A_{10}$, $U_2 = A_{20}$, а в самой точке отсчёта $U_0 = 0$. Путь можно брать любой, работа от него не зависит. Та же величина есть работа, которую нужно совершить против силы, чтобы медленно перенести тело из точки отсчёта в данную точку.

Пройдём замкнутый контур: из точки 1 в точку 2, оттуда в точку отсчёта и обратно в точку 1 (рис. 10). Работа консервативной силы по нему равна нулю:

Участок $2 \to 0$ есть определение $U_2$, а участок $0 \to 1$ пройден против определяющего для точки 1 направления, поэтому $A_{01} = -A_{10} = -U_1$. Подставив, получаем

Работа консервативной силы равна не изменению потенциальной энергии, а её убыли, изменению со знаком минус. Знак выбран ради закона сохранения: по теореме о кинетической энергии работа равна $\Delta K$, и из $\Delta K = -\Delta U$ следует, что сумма $K + U$ не меняется (Выясним, когда механическая энергия сохраняется). С плюсом в определении сохранялась бы разность $K - U$.

Точка отсчёта выбрана произвольно, и если перенести её в другое место, все значения $U$ сдвинутся на одну и ту же постоянную. Разности от этого не меняются, а физический смысл имеют только они. Поэтому всё равно, где стоит спортзал, в подвале или на пятом этаже: поднимая штангу с пола на вытянутые руки, человек совершает одну и ту же работу, хотя $mgh$, отсчитанное от земли, у штанги на пятом этаже больше.

Запишем энергию пары

Для пары тел консервативная сила взаимодействия зависит от их взаимного положения, и её работа, сила на относительное перемещение (Найдём работу внутренних сил), есть убыль функции этого положения:

где $U_{12}$ зависит только от $\vec r_1 - \vec r_2$. Потенциальная энергия принадлежит паре, а не одному телу: это энергия взаимодействия. Когда говорят о потенциальной энергии камня $mgh$, имеют в виду энергию пары «камень и Земля», и приписывают её камню потому, что Земля при его падении почти не сдвигается. Энергия системы многих тел складывается по парам, и каждая пара входит в сумму один раз:

Сумма по всем $i$ и $k$ без условия $i<k$ посчитала бы каждую пару дважды.

Любое ли поле, где сила направлена к одному центру, консервативно? Центральной называется сила, которая направлена вдоль прямой, соединяющей точку с неподвижным центром, и модуль которой зависит только от расстояния до него:

где $\vec r$ радиус-вектор точки, проведённый из центра, $r$ его длина, а $f(r)$ функция одного расстояния: при $f > 0$ сила отталкивает от центра, при $f < 0$ притягивает. Пример даёт тяготение точечной массы $M$, действующее на массу $m$:

где $G$ гравитационная постоянная. Деление на $r^3$ при векторе $\vec r$ в числителе есть та же обратная пропорциональность квадрату расстояния, записанная через вектор: $f(r) = -GmM/r^2$, и минус означает притяжение.

Посчитаем элементарную работу при произвольном перемещении $d\vec r$. Скалярное произведение $\vec r\cdot d\vec r$ равно $r\,dr$ для любого перемещения, не только вдоль радиуса: продифференцируем $r^2 = \vec r\cdot\vec r$ и получим $2r\,dr = 2\,\vec r\cdot d\vec r$. Поэтому

Работу совершает только изменение расстояния до центра. Проведём вокруг центра концентрические сферы (рис. 11). Вдоль сферы $dr = 0$ и работы нет, а между двумя сферами работа одна и та же, каким бы путём точка ни переходила. При переходе с расстояния $r_1$ на расстояние $r_2$

и эта работа зависит только от $r_1$ и $r_2$. Значит, центральное поле консервативно. Его потенциальная энергия зависит от одного расстояния, $U(r) = -\int f(r)\,dr$ (Введём потенциальную энергию), и

Для тяготения $U = -GmM/r$, если положить ноль на бесконечности. Унести килограмм с поверхности Земли на бесконечность стоит не меньше $GmM/R \approx 62{,}6$ МДж. Консервативность держится на двух условиях определения. Если модуль силы зависит ещё от направления или от времени, работа между двумя сферами начинает зависеть от пути, и потенциальной энергии у поля нет.

Работа внутренних сил системы складывается из работ пар, и каждая пара работает на относительном перемещении своих тел (Найдём работу внутренних сил). По тому, что делает эта работа, выделяют три класса сил.

Консервативные силы. Работа консервативной силы копится функцией положения, для пары функцией взаимного положения тел, и по любому замкнутому контуру равна нулю (Выделим силы, работа которых не зависит от пути). Её можно записать убылью потенциальной энергии (Введём потенциальную энергию). Таковы тяготение, сила упругости пружины, электростатическое притяжение и отталкивание зарядов.

Гироскопические силы. Гироскопическая сила зависит от скорости тела и в каждый момент перпендикулярна ей, поэтому её мощность $\vec F\cdot\vec v$ равна нулю, и работы она не совершает ни на каком пути. Она поворачивает скорость, не меняя её модуля. Так устроены сила Лоренца, с которой магнитное поле действует на движущийся заряд, и сила Кориолиса во вращающейся системе отсчёта.

Диссипативные силы. Силы, у которых работа пары отрицательна, прежде всего трение. Работа одной силы трения зависит от наблюдателя и бывает положительной: трение ленты транспортёра разгоняет положенную на неё коробку. Отрицательна работа пары сил трения скольжения. У двух трущихся тел относительный сдвиг идёт против силы, и эта работа, одна у всех наблюдателей, уходит во внутреннюю энергию: тела нагреваются. Сухое трение скольжения от скорости почти не зависит, вязкое трение в жидкости или газе растёт вместе со скоростью. Пара сил трения покоя работы не совершает вовсе, тела друг относительно друга не сдвигаются, хотя импульс она передаёт.

Силы, не вошедшие в эти три класса, для удобства сложим в класс прочих неконсервативных сил; туда попадут, например, силы давления газов в двигателе и силы мышц. Перебирать их по одной не придётся, потому что в баланс механической энергии их работа войдёт одним слагаемым вместе с работой трения (Выясним, когда механическая энергия сохраняется).

Что происходит с суммой кинетической и потенциальной энергий системы, когда в ней работают силы всех классов? Начнём с теоремы о кинетической энергии для системы: её кинетическая энергия меняется на работу всех сил, внешних и внутренних (Докажем теорему о кинетической энергии, Найдём работу внутренних сил). Разделим эту работу на работу консервативных сил, внешних полей и внутренних пар, и на всё остальное:

Работа консервативных сил есть убыль потенциальной энергии (Введём потенциальную энергию), куда входят энергия во внешних полях и энергия взаимодействия всех пар:

Перенесём потенциальную энергию налево. Полная механическая энергия $E = K + U$ меняется ровно на работу неконсервативных сил:

Это баланс механической энергии, и он верен всегда. Гироскопические силы в $A_{\text{неконс}}$ ничего не вносят, их работа ноль; пары сил трения скольжения вносят отрицательную работу (Различим силы по работе пары); внутренние силы двигателя или мышц вносят положительную; внешние неконсервативные силы, например рука, толкающая тележку, могут внести любую.

Если работу могут совершать только консервативные и гироскопические силы, правая часть равна нулю, и механическая энергия сохраняется:

Условие здесь ставит сам закон, а сужаем задачу до такой системы мы, когда пренебрегаем трением и сопротивлением воздуха (Различим силы по работе пары). Если в системе есть трущиеся тела и других неконсервативных сил нет, работа пар сил трения скольжения отрицательна, и механическая энергия убывает:

Проследим, куда уходит энергия

Механическая энергия, потерянная на трение, не пропадает. Потрите ладони, и они нагреются: работа пары сил трения ушла во внутреннюю энергию, в движение атомов, из которых ладони состоят. При разгоне коробки на ленте транспортёра так ушли во внутреннюю энергию $2{,}25$ Дж (Найдём работу внутренних сил). Удар двух тел может отдать во внутреннюю энергию часть кинетической, и во второй половине главы видно, какую именно (Различим удары по судьбе энергии).

Отсюда общий закон сохранения энергии: энергия ниоткуда не берётся и никуда не пропадает, она только переходит из одних форм в другие, из механической во внутреннюю, электрическую, химическую и обратно. Механический закон следует из законов Ньютона, а общий строго не выводится: это обобщение опыта. Каждый раз, когда механическая энергия куда-то уходила, её след находили в других формах целиком, и каждую новую форму энергии вводили так, чтобы баланс сходился. Весь путь энергии от падающего груза до лампочки виден в демке (Груз, генератор и лампочка).

Потенциальная энергия задана одной функцией положения, а сила тремя. Если $U$ известна в каждой точке, можно ли вернуть из неё силу? Если можно, то для консервативной силы достаточно хранить одно число в каждой точке вместо трёх, втрое меньше памяти.

Работа консервативной силы на малом перемещении равна убыли потенциальной энергии (Введём потенциальную энергию). Если тело смещается на $dx$, $dy$, $dz$, то

где $F_x$, $F_y$, $F_z$ проекции силы на оси. Сместим тело только вдоль оси $x$, оставив $y$ и $z$ прежними:

Разделим на $dx$. Производная, взятая по одной переменной при остальных постоянных, называется частной и обозначается $\partial$:

То же для осей $y$ и $z$. Три частные производные складываются в вектор, градиент функции $U$, и сила равна минус градиенту потенциальной энергии:

Градиент в каждой точке направлен туда, где $U$ растёт быстрее всего, и по модулю равен скорости этого роста. Сила направлена противоположно, в сторону наибыстрейшей убыли потенциальной энергии (рис. 12). Проверим на трёх известных силах:

• Сила тяжести. $U = mgz$, где $z$ высота. Единственная ненулевая производная даёт $F_z = -mg$: сила направлена вниз.
• Сила упругости пружины. $U = kx^2/2$, где $x$ смещение из положения равновесия. Отсюда $F_x = -kx$: сила возвращает к равновесию.
• Тяготение двух тел. $U = -Gm_1 m_2/r$. Производная по расстоянию даёт $\vec F = -\dfrac{G m_1 m_2}{r^2}\,\dfrac{\vec r}{r}$: сила направлена к центру, это притяжение.

Сила показывает, куда тело тянет, но не решает, где оно остановится. Шарик, отпущенный на склоне ямки, без трения проскакивает дно и возвращается; остановится ли он в минимуме, решает трение (Спустимся в минимум с трением).

Проверим картинку с холмами

Потенциальную энергию одной переменной удобно рисовать рельефом: график $U(x)$ читается как горка, по которой катается шарик. Картинка верна, если брать координатой длину дуги вдоль горки. Тело, скользящее без трения по горке, движется ровно так, как точка в одномерном потенциале $mg\,h(s)$, где $h(s)$ высота горки на расстоянии $s$ вдоль неё: реакция опоры перпендикулярна движению и в уравнение вдоль горки не входит (рис. 13).

По горизонтальной координате картинка только приближённая. Пусть профиль горки задан как $y = V(x)$. Точка в потенциале $mgV(x)$ движется по закону $d^2x/dt^2 = -g\,dV/dx$, а тело на горке по закону

У тела на горке есть множитель наклона в знаменателе, заметный уже на прямом склоне, и член с кривизной профиля $d^2V/dx^2$ на изгибах. Потенциальная энергия у обоих одна и та же, $mgV(x)$, а в точке поворота вся энергия потенциальная, поэтому при одной и той же энергии точки поворота совпадают, а законы движения и периоды разные. Совпадают они при малых уклонах, $(dV/dx)^2 \ll 1$, и когда скорость на изгибах мала, $v^2 |d^2V/dx^2| \ll g$. Скорость в каждой точке у обоих одна, её задаёт энергия. Но у тела на горке она направлена вдоль склона, и по горизонтали тело движется со скоростью $v\cos\alpha$, где $\alpha$ наклон горки в этой точке, поэтому оно отстаёт от точки в потенциале, и период у него длиннее. По рельефу верно читается, где тело повернёт и где может стоять, но не когда оно туда придёт. На горбе горки тело может ещё и оторваться, а точка в потенциале этого не умеет. Оба движения рядом показывает демка (Горка против потенциала).

Шарик отпустили на склоне ямки. Где он остановится? Сила направлена вниз по склону, против градиента потенциальной энергии (Найдём силу по потенциальной энергии), но у шарика есть инерция. Без трения механическая энергия сохраняется (Выясним, когда механическая энергия сохраняется): дойдя до дна, шарик сохраняет скорость, проскакивает минимум, поднимается на другой склон до той же высоты и возвращается. Остановиться в минимуме он не может никогда.

Остановку даёт трение. Пусть на шарик массы $m$ действует ещё вязкое трение $-\gamma\,dx/dt$, сила, пропорциональная скорости и направленная против неё (Различим силы по работе пары):

Механическая энергия теперь убывает со скоростью $dE/dt = -\gamma\,(dx/dt)^2$, пока шарик движется, и в конце концов он замирает там, где сила равна нулю, а энергии, чтобы выбраться, уже нет: в минимуме, причём в том, до которого докатился, а не обязательно в самом глубоком (рис. 14).

Отбросим инерцию

При сильном трении инерционный член $m\,d^2x/dt^2$ мал по сравнению с остальными, и уравнение становится проще, скорость пропорциональна силе:

Если продвигаться по этому правилу шагами длительности $\Delta t$, получится

Это градиентный спуск, основной метод, которым в машинном обучении подбирают параметры модели. Вместо координаты шарика там точка в пространстве параметров, вместо потенциальной энергии функция потерь, а шаг $\eta$ называют скоростью обучения. Шаг делается против градиента, туда, где функция убывает быстрее всего. Физически это движение с сильным вязким трением: шарик ползёт вниз и останавливается в ближайшем минимуме.

Вернём инерцию

При умеренном трении инерция помогает. Шарик разгоняется на длинном пологом склоне, а не ползёт по нему, и может проскочить невысокий барьер, за которым лежит минимум глубже. Та же дискретная запись, но с инерцией, даёт

где $\eta = \Delta t^2/m$ и $\beta = 1 - \gamma\Delta t/m$. Это метод тяжёлого шарика, и в машинном обучении он живёт под именем метода с импульсом: слагаемое с $\beta$ помнит предыдущий шаг, как шарик помнит свою скорость. Без трения, при $\beta = 1$, шарик качается вечно, при слишком сильном трении ползёт. Шарик на рельефе с двумя ямками и шаги обоих алгоритмов рядом с ним показывает демка (Шарик, трение и спуск). Для ямки $U = kx^2/2$ быстрее всего шарик успокаивается при трении около $\gamma = 2\sqrt{mk}$; это критическое затухание, к которому вернётся седьмая неделя. При сухом трении шарик встаёт раньше, там, где склон слишком пологий, чтобы стронуть его с места, и до минимума может не дойти.

Два тела сталкиваются. Что о результате скажут законы сохранения, а что нет? Начнём с того, что сохраняется.

Удар короткий: за время удара силы, с которыми тела давят друг на друга, велики, а внешние силы обычные. Импульс, который внешние силы успевают передать за время удара, мал рядом с импульсами тел, и им можно пренебречь (Разложим импульс по осям и посмотрим на короткий удар). Тогда суммарный импульс пары за удар сохраняется. Пренебречь нельзя внешними силами, которые сами растут вместе с ударом: стеной, в которую бьют; трением об опору, к которой удар прижимает тело: оно пропорционально силе прижатия, а та растёт вместе с ударом; нитью, которую удар натягивает. Трение шайб о стол, по которому они скользят, пренебрежимо.

Выделим в энергии две части

Кинетическую энергию пары разделим по теореме Кёнига (Разделим энергию системы на две части) на энергию движения центра масс и энергию движения относительно него:

где $M = m_1 + m_2$, $\vec V_C$ скорость центра масс, а $K_\text{отн}$ кинетическая энергия движения тел относительно центра масс (рис. 15). Первую часть держит импульс: за удар он не меняется, значит, не меняется и скорость центра масс, и $MV_C^2/2$ удар тронуть не может. Второй частью распоряжаются внутренние силы, с которыми тела действуют друг на друга: их пара работает на относительном перемещении (Найдём работу внутренних сил).

По тому, что удар делает с $K_{\text{отн}}$, удары и делятся.

1. Абсолютно упругий удар. $K_{\text{отн}}$ после удара та же. Сохраняется вся кинетическая энергия, внутреннее состояние тел не меняется (Решим упругий удар на прямой).
2. Абсолютно неупругий удар. Тела слипаются и идут дальше вместе, со скоростью центра масс. $K_{\text{отн}}$ теряется целиком и уходит во внутреннюю энергию: пластилиновые шарики, столкнувшись, слипаются и нагреваются.
3. Частично упругий удар. Теряется часть $K_{\text{отн}}$. Сюда же относятся удары, где часть энергии уходит на перестройку самих тел, например на реакцию (Ограничим потерю и найдём порог).

Полная энергия сохраняется в каждом из трёх случаев (Выясним, когда механическая энергия сохраняется); различаются они тем, сколько кинетической энергии перешло в другие формы.

Сосчитаем уравнения и неизвестные

Сколько чисел законы сохранения определяют? В упругом ударе двух тел на прямой неизвестных две, скорости после удара, и уравнений два, импульс и энергия: ответ однозначен. В пространстве неизвестных шесть, по три компоненты скорости у каждого тела, а уравнений четыре, три для импульса и одно для энергии. Двух чисел не хватает, и это направление, в котором тела разлетятся. Его решают параметры самого удара, прежде всего прицельное расстояние, а ещё форма тел и закон их взаимодействия. Законы сохранения этих параметров не знают. Отсюда то, что называют «хаосом» соударений: когда ударов много и тела выпуклые, малая неточность в прицельном расстоянии растёт от удара к удару. Что законы сохранения всё-таки запрещают, видно в системе центра масс (Посмотрим на удар из системы центра масс).

Два тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся вдоль одной прямой со скоростями $v_1$ и $v_2$ и упруго сталкиваются. Какими будут их скорости $v_1'$ и $v_2'$ после удара? Скорости здесь проекции на прямую, со знаком. Закон сохранения импульса:

и сохранение кинетической энергии, которое и делает удар упругим (Различим удары по судьбе энергии):

Перенесём слагаемые первого тела влево, второго вправо. Импульс даёт

а энергия после разложения разностей квадратов даёт

Поделим второе равенство на первое. Делить можно, если удар был и скорость первого тела изменилась, $v_1' \ne v_1$:

Перегруппируем:

Относительная скорость при упругом ударе меняет знак и сохраняет модуль: тела расходятся так же быстро, как сближались. Вместе с законом сохранения импульса это линейная система, и её решение

Решим в системе центра масс

Тот же ответ получается без алгебры. В системе центра масс суммарный импульс равен нулю (Докажем, что центр масс движется как точка), и тела идут навстречу друг другу с равными и противоположными импульсами. После упругого удара импульсы снова равны и противоположны, а кинетическая энергия та же, и на прямой остаётся одна возможность: каждое тело разворачивается с той же по модулю скоростью (Посмотрим на удар из системы центра масс). Вернёмся в исходную систему. Скорость центра масс $V_C = (m_1 v_1 + m_2 v_2)/(m_1 + m_2)$ удар не меняет, а скорость каждого тела относительно центра масс меняет знак, $v_i' - V_C = -(v_i - V_C)$:

Подстановка $V_C$ даёт обе формулы выше. Шайба массой $1$ кг налетает со скоростью $2$ м/с на покоящуюся шайбу массой $3$ кг (рис. 16): $V_C = 0{,}5$ м/с, и после удара первая отскакивает назад со скоростью $1$ м/с, а вторая уходит вперёд со скоростью $1$ м/с. Энергия до удара $2$ Дж, после $0{,}5 + 1{,}5 = 2$ Дж.

Предельные случаи для проверки. При равных массах тела обмениваются скоростями: $v_1' = v_2$, $v_2' = v_1$. При неподвижной тяжёлой мишени, $v_2 = 0$ и $m_2 \gg m_1$, получается $v_1' \to -v_1$ и $v_2' \to 0$: лёгкое тело упруго отражается, тяжёлое почти не сдвигается. Если лёгкий шар зажат между стенкой и тяжёлым шаром, число упругих ударов при отношении масс $100^N$ выписывает первые цифры числа π, $3$, $31$, $314$, и это то же π, что в периоде колебаний: энергия и там, и здесь рисует окружность в подходящих осях: здесь $\sqrt M\,V$ и $\sqrt m\,v$, в колебаниях $\sqrt m\,v$ и $\sqrt k\,x$. Удары пересчитывает демка (Сколько раз стукнутся шары).

Почему удар двух тел удобнее всего разбирать из системы отсчёта, связанной с их центром масс? Суммарный импульс в ней равен нулю в каждый момент, до удара и после (Докажем, что центр масс движется как точка):

Индекс $c$ помечает величины в системе центра масс, штрих величины после удара. Импульсы двух тел там всегда равны по модулю и противоположны. Отсюда приём: встретив удар двух тел, переходить в систему центра масс, решать там и возвращаться, прибавив к скоростям скорость центра масс.

Найдём эти импульсы. Скорость тела 1 в системе центра масс есть его скорость относительно центра масс, $\vec v_{1c} = \vec v_1 - \vec V_C = m_2(\vec v_1 - \vec v_2)/(m_1 + m_2)$. Умножив на $m_1$, получим

где $\vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2$ скорость первого тела относительно второго, а $\mu$ приведённая масса (Сведём два тела к одному). Кинетическая энергия в системе центра масс, та самая $K_{\text{отн}}$ из теоремы Кёнига (Разделим энергию системы на две части), складывается из энергий двух тел с одним и тем же по модулю импульсом $p_c = \mu v_{\text{отн}}$:

Её и расходует удар (Различим удары по судьбе энергии). Она зависит только от относительной скорости, одной у всех наблюдателей, движущихся поступательно, поэтому и потеря энергии в ударе от наблюдателя не зависит.

Разберём упругий удар

При упругом ударе $K_{\text{отн}}$ после удара та же:

Импульсы двух тел равны по модулю и до удара, и после, поэтому левая часть равна $p_c^2/(2\mu)$, правая $(p_c')^2/(2\mu)$, и

В системе центра масс упругий удар не меняет модулей импульсов, а значит, и скоростей: он только поворачивает их, оставляя равными и противоположными (рис. 17). На прямой поворот один, на $180^\circ$, и это решение из Решим упругий удар на прямой.

Узнаем, чего законы не скажут

На плоскости и в пространстве угол поворота может быть любым. В исходной системе концы возможных скоростей тела после удара лежат на окружности: её радиус равен скорости тела в системе центра масс, а центр стоит на конце вектора скорости центра масс (рис. 19). Законы сохранения выдают окружность целиком, а в какую точку на ней попадёт скорость, решает прицельное расстояние, которого они не знают (Различим удары по судьбе энергии). Прицельное расстояние, упругость и отношение масс перебирает демка (Удар в системе центра масс). Зато окружность запрещает всё, что лежит вне её, и из этого запрета следует предельный угол рассеяния (Найдём предельный угол рассеяния).

На какой наибольший угол может отклониться тяжёлая частица, упруго ударившись о покоящуюся лёгкую (рис. 18)? Пусть налетающая частица массой $M$ движется со скоростью $v$, а мишень массой $m < M$ покоится. Скорость центра масс $V_C = Mv/(M + m)$, и скорость налетающей частицы складывается из неё и из скорости $v_{1c}$ в системе центра масс:

откуда

После упругого удара скорость налетающей частицы в системе центра масс сохраняет модуль и только поворачивается (Посмотрим на удар из системы центра масс). Концы возможных скоростей в лабораторной системе лежат на окружности радиуса $v_{1c}$ с центром на конце вектора $\vec V_C$ (рис. 19). Скорость после удара соединяет начало вектора $\vec V_C$ с точкой на окружности, и наибольший угол с первоначальным направлением у неё тогда, когда она касается окружности. В прямоугольном треугольнике касания катет $v_{1c}$ лежит против искомого угла, а гипотенузой служит $V_C$:

Подставим скорости:

Конструкция с касательной работает, пока окружность не охватывает начало вектора $\vec V_C$, то есть при $v_{1c} < V_C$, или $m < M$. Проверка предельными случаями: при $m \ll M$ угол $\theta_{\max} \approx m/M$ мал, тяжёлая частица почти не сворачивает; при $m \to M$ синус стремится к единице, а предельный угол к прямому. Если же лёгкая частица налетает на тяжёлую, $m > M$ в этих обозначениях, окружность охватывает начало, и отлететь частица может под любым углом, вплоть до отскока назад.

Самый известный пример здесь взят из истории физики. α-частица тяжелее электрона в $7294$ раза, и на покоящемся электроне она отклоняется не больше чем на $\arcsin(1/7294) \approx 0{,}008^\circ$. Когда в опыте Резерфорда α-частицы отлетали от золотой фольги на большие углы, вплоть до отскока назад, отклоняли их не электроны атомов, а что-то много тяжелее α-частицы: ядро. С той же частицей и тем же Резерфордом глава встретится ещё раз, в пороге реакции (Ограничим потерю и найдём порог).

Сколько кинетической энергии может потерять удар и сколько может забрать реакция? Ответ уже лежит в разложении энергии пары (Различим удары по судьбе энергии): удар не трогает энергию движения центра масс и распоряжается только энергией относительного движения $K_{\text{отн}} = \mu v_{\text{отн}}^2/2$ (Посмотрим на удар из системы центра масс).

Сосчитаем потерю при слипании

При абсолютно неупругом ударе тела слипаются и после удара движутся вместе, со скоростью центра масс. Относительного движения не остаётся, и потеря кинетической энергии равна всей $K_{\text{отн}}$:

Легковой автомобиль массой $1000$ кг и грузовик массой $10$ т сближаются со скоростью $100$ км/ч и сцепляются. Приведённая масса $\mu = 1000\cdot 10\,000/11\,000 \approx 909$ кг, относительная скорость $27{,}8$ м/с, и на смятие металла уходит около $351$ кДж, кто бы из них ни ехал: потеря зависит только от относительной скорости. Грузовик, налетевший на стоящую легковую машину, и легковая машина, налетевшая на стоящий грузовик, теряют на смятие одни и те же $351$ кДж (рис. 20). Меньше этой энергии удар потерять может, больше не может: центр масс внутренние силы не остановят.

Найдём порог реакции

Пусть при ударе может пойти реакция, перестройка сталкивающихся частиц, на которую нужно затратить энергию $Q > 0$. Взять её реакция может только из $K_{\text{отн}}$, поэтому идёт она, лишь если

Пусть налетающая частица массой $m$ с кинетической энергией $K$ бьёт по покоящейся мишени массой $M$. Относительная скорость равна скорости налетающей частицы, и $K_{\text{отн}} = \mu v^2/2 = K\cdot M/(M + m)$: доступна не вся кинетическая энергия, а только доля $M/(M+m)$. Остальное держит импульс: это энергия движения центра масс. Отсюда наименьшая энергия, при которой реакция возможна, пороговая:

На пороге вся энергия относительного движения уходит в реакцию, и продукты движутся вместе, со скоростью центра масс: на относительное движение им ничего не осталось. Так порог выглядит и в теореме Кёнига (Разделим энергию системы на две части): после удара остаётся только энергия движения центра масс. Проверим тем же счётом через скорости. Слипшаяся система движется со скоростью $mv/(M + m)$, и баланс энергии на пороге

даёт

то же самое. Предельные случаи: при $M \gg m$ порог стремится к $Q$, лёгкая частица на тяжёлой мишени может отдать реакции почти всё; при $m = M$ порог вдвое больше $Q$.

Проверим на горке и на плазме

Механическая модель порога: небольшая шайба массой $m$ скользит без трения по столу на горку массой $M$, которая тоже может ездить по столу без трения (рис. 21). Закреплённую горку высотой $H$ шайба проходит, если $mv^2/2 \geq mgH$. Свободная горка отъезжает, и на её вершине шайба и горка движутся вместе, со скоростью центра масс; въехать шайба может, лишь если её энергия не меньше $mgH(1 + m/M)$. Роль $Q$ играет $mgH$, роль реакции подъём на вершину.

Реальный пример даёт плазма, газ из электронов, ионов и нейтральных молекул. Электрическое поле разгоняет электроны, и электрон, ударив молекулу, может выбить из неё ещё один электрон; на это нужна энергия ионизации, у молекулы азота около $15{,}6$ эВ. Электрон легче молекулы азота примерно в $51\,000$ раз, и порог превышает энергию ионизации на две тысячных процента: лёгкий снаряд может отдать реакции почти всю свою энергию.

Для тяжёлого снаряда доля заметна. В 1919 году Резерфорд впервые превратил один элемент в другой: α-частица, ударив ядро азота, выбивала из него протон, и азот становился кислородом, $^{14}\mathrm{N}(\alpha, p)^{17}\mathrm{O}$. Реакция поглощает $Q = 1{,}19$ МэВ, и по массам $4{,}0026$ и $14{,}0031$ атомной единицы её порог $1{,}19\cdot(1 + 4{,}0026/14{,}0031) \approx 1{,}53$ МэВ: на пороге в реакцию уходит 78 процентов энергии α-частицы (Найдём предельный угол рассеяния). Порог этот только кинематический. Настоящую реакцию сдерживает ещё кулоновское отталкивание ядер, и Резерфорд работал с α-частицами около $7{,}7$ МэВ.

Глава начиналась с того, что второй закон можно умножить на другой множитель (Посмотрим на закон с другой стороны). Сложим итог рядом с итогом третьей недели.

Сравним два множителя

Импульс пары сил за время $dt$ равен нулю: силы равны и противоположны, а промежуток у двух тел общий (Соберём много точек и посчитаем импульс системы). Работа той же пары равна силе, умноженной на относительное перемещение тел, и в общем случае нулю не равна (Найдём работу внутренних сил). Два выражения отличаются одним множителем, и из этого множителя выросла вся глава: внутренние силы, пропавшие из импульса, в энергии остаются.

Пересчитаем первый акт

Внутренние силы меняют кинетическую энергию системы, и меняют одинаково для всех наблюдателей: работа пары от наблюдателя не зависит, хотя сама кинетическая энергия зависит, и разница сидит в перекрёстном слагаемом теоремы Кёнига (Разделим энергию системы на две части). Бензин разогнавшегося автомобиля платит за работу двигателя, она у всех одна, а прирост энергии у каждого свой.

По тому, что делает работа пары, силы разделились на три класса (Различим силы по работе пары). У консервативных она копится функцией взаимного положения, и эта функция стала потенциальной энергией (Введём потенциальную энергию). У гироскопических работы нет. У пары сил трения скольжения она отрицательна, одна у всех наблюдателей и уходит во внутреннюю энергию. Баланс механической энергии верен всегда, сохранение получается из него частным случаем, и условие для сохранения, класс сил, ставит сам закон; общий закон сохранения энергии принят как обобщение опыта, а строже, для замкнутой системы, он следует из однородности времени (Выясним, когда механическая энергия сохраняется).

Обратный ход вернул из одной функции три компоненты силы (Найдём силу по потенциальной энергии) и потребовал трения, чтобы шарик остановился в минимуме. Спуск с сильным трением оказался градиентным спуском, спуск с инерцией методом тяжёлого шарика (Спустимся в минимум с трением).

Сведём бухгалтерию удара

Кинетическая энергия пары тел делится на две части (Различим удары по судьбе энергии). Энергию движения центра масс $MV_C^2/2$ держит импульс, и удар её не трогает. Энергией относительного движения $K_{\text{отн}} = \mu v_{\text{отн}}^2/2$ распоряжаются внутренние силы. Упругий удар её сохраняет и только поворачивает импульсы в системе центра масс (Посмотрим на удар из системы центра масс). Слипание теряет её целиком: легковая машина и грузовик, сближавшиеся со скоростью $100$ км/ч, отдают смятию $351$ кДж, кто бы из них ни ехал. Реакция берёт из неё, но не больше неё, и отсюда порог: реакция 1919 года идёт не раньше $1{,}53$ МэВ (Ограничим потерю и найдём порог). Видно и то, чего законы сохранения не скажут: куда на окружности скоростей попадёт результат, решает прицельное расстояние, а сама окружность запрещает тяжёлой частице сворачивать дальше предельного угла (Найдём предельный угол рассеяния).

Посчитаем, что вернул язык

Договорились мы о немногом: работу определили скалярным произведением, консервативные силы выделили критерием. Язык вернул больше: потенциальную энергию, силу как минус градиент, закон сохранения с условием, которое он ставит сам, и окружность скоростей в ударе.

Заглянем в пятую неделю

В этой главе второй закон умножали на перемещение скалярно. В пятой неделе радиус-вектор умножат на обе части закона векторно, и из такого произведения вырастут момент силы и момент импульса.