Кинематика материальной точки

Первая неделя кончилась на том, что физика стоит на эксперименте (Что такое физика). Теперь начинаем строить, и первой берём механику. Почему её?

Механика описывает ту часть мира, которую каждый видел глазами: как падают предметы и как заносит велосипед на повороте. Поэтому здесь получается назвать поимённо всё, о чём мы договариваемся, прежде чем написать первую формулу, и один пункт из договорённого проверить измерением (Проверим сцену измерением: параллакс и затмение). Здесь же заводятся работа и энергия, а с ними импульс. Дальше они кочуют по всему курсу, в термодинамику к тепловым двигателям и в электричество к зарядам.

Механика — это наука о движении и равновесии тел. Из этой фразы глава берёт одно слово. Равновесие стоит в определении рядом с движением, но заняться им сейчас нечем. Равновесие есть баланс сил, а силы появятся только на следующей неделе, вместе с законами Ньютона (Отберём право выбирать отсчёт: первый закон). Причины движения уходят туда же. От определения остаётся описание движения, и дальше глава сужает даже его, оставляя одно тело. Предмет разговора сузился здесь несколько раз, и каждый раз что-то было выброшено. Вся глава занята тем же, только медленно, и при каждом сужении названо, что именно выброшено. Что в физике значит слово «принять» и чем это оплачивается, разобрано в Что в физике значит слово «принять»; чем занимается оставшееся описание движения, сказано в Что изучает кинематика.

Чтобы написать хотя бы одну формулу про движение, придётся о многом договориться, и не один раз. С каждой договорённостью описание становится уже, и за каждую приходится платить куском мира, который выпадает из описания насовсем. В этой главе таких договорённостей пять. Четыре берутся заранее, до того как в описании появится хоть одна хитрая математическая конструкция: сцена, то есть три измерения и одно время на всех (Договоримся о сцене: пространство и время); объект, точка вместо тела (Материальная точка); отсчёт, тело, к которому всё привязано, и часы при нём (Относительно чего движется тело, Выберем тело отсчёта и оси); оси, которые стоят на месте и никуда не едут (Выберем тело отсчёта и оси). Пятая стоит в конце главы, и вся лестница разом видна на рис. 1. Она собирается из того, что к тому времени уже введено, и раньше её попросту не из чего собрать (Нормальное и тангенциальное ускорение).

У сделки есть вторая половина. Всё, о чём договорились, записывается на языке математики, и язык начинает возвращать то, о чём никто не договаривался. В главе это случается четыре раза. Первый раз уже в Средняя и мгновенная скорость, где малое, поделённое на малое, даёт конечное. Три остальных ждут своих мест по ходу главы, а вместе все четыре сведены в конце, Соберём, что вернул язык.

Прежде чем договариваться, определим, что вообще значит в физике слово «принять».

Что физика считает аксиомой

В математике аксиома есть суждение, которое не доказывают, а принимают и строят из него. Так устроена школьная геометрия, так же аксиомами вводят действительные числа. В физике слово значит другое. Аксиома здесь есть опыт, который повторяется. Поставили эксперимент, получили результат, сосед собрал такую же установку и получил то же самое. Повторилось у всех и всегда, значит берётся за основание.

Возьмём нарочно неудобный пример, закон инерции. Тело, на которое ничто не действует, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Тела, на которое ничто не действует, никто никогда не наблюдал, и такого опыта не будет. Наблюдали другое. Чем меньше трение, тем дольше тело сохраняет скорость. Взяли то, что видели, и продлили в сторону, где не видели ничего. Физическая аксиома и есть наблюдение плюс экстраполяция за его край. Какую вторую роль этот закон получит через неделю, сказано в Отберём право выбирать отсчёт: первый закон.

Где принятое кончается

Принятое держится не везде, и границы у него известны. Основания классической механики работают, пока скорости малы против световой; дальше опыт перестаёт с ними сходиться, и приходится строить другую теорию, специальную теорию относительности. Второй адрес лежит на малых масштабах, где начинают проявляться квантовые эффекты, и там нужен свой набор оснований. Снятие аксиомы физику не рушит, а рождает у неё новый раздел, и обе большие теории двадцатого века появились так. Для этой главы отсюда следует, что все формулы ниже написаны для скоростей, малых по сравнению со световой, и для тел, крупных по сравнению с атомом. Обобщение опыта проверяется по частям, и один пункт из принятого о сцене проверен измерением прямо в этой главе (Проверим сцену измерением: параллакс и затмение).

Записать на языке математики

До всякого движения надо сказать ещё одно. Всё принятое записывается на языке математики, и дальше в главе повторяется одна и та же схема. Мы принимаем что-то за основу, формализуем принятое и записываем формулой, а записанное начинает предлагать особенности, которых в него никто не клал. Первый раз это случится в Средняя и мгновенная скорость, на пределе отношения перемещения к промежутку времени. Чем такое принятие отличается от строгой аксиоматики механики и чего это соглашение стоит, сказано во врезке в конце Договоримся о сцене: пространство и время.

Как описать движение, ничего не говоря о его причинах? Этим занимается кинематика, раздел механики, который изучает движение материальных точек и тел без учёта причин, вызывающих это движение. Она отвечает на вопрос, как объект движется, а не почему; причины остаются динамике.

Искать при этом приходится закон движения вместе с начальными условиями, без которых задача не поставлена, и разобрано это в Радиус-вектор и координаты.

Движение есть изменение положения тела в пространстве с течением времени. Определение называет две сущности, пространство и время, о которых надо что-то сказать раньше первой формулы. О чём здесь придётся условиться?

Дальше идут четыре пункта, и выглядят они как описание природы, а читать их надо иначе. Это перечень того, о чём мы договариваемся, чтобы дальше можно было считать. Вместе четыре пункта дают одно время на всех и три измерения со школьной геометрией, то есть первую договорённость из пяти, объявленных в Что в физике значит слово «принять». Проверить эти пункты целиком нельзя, а большую часть нельзя никогда. Отличить договорённость от факта помогает один рабочий признак, который держится весь курс. У договорённости есть альтернатива, которую кто-то всерьёз взял и довёл хотя бы до работающей математики. У каждого пункта такая альтернатива названа, и сказано, дошла ли она до работающей физики. У одного пункта, про направление времени, признак не работает вовсе, и там сказано почему.

Время идёт одинаково у всех

Первый пункт говорит, что время течёт одинаково у всех и везде, как бы кто ни двигался. Часы в едущей машине и часы на обочине показывают одно и то же. Отсюда берётся право писать во всех формулах одну и ту же букву $t$ и не спрашивать, чьё это время, а промежутки, измеренные разными часами, складывать арифметически. Без этого у каждой точки было бы своё $t$.

Альтернативу взял Эйнштейн в 1905 году, и в специальной теории относительности у каждого наблюдателя своё время, а общей буквы $t$ нет. Договорённость держится, пока скорости малы по сравнению со скоростью света. Насколько малы, видно из числа. Для самолёта на 250 м/с расхождение хода часов в низшем порядке по $v/c$ равно $v^2/2c^2 \approx 3{,}5\cdot10^{-13}$, где $v$ скорость самолёта, а $c$ скорость света, $3\cdot10^8$ м/с; это около одной наносекунды за час полёта. В задачах курса такие интервалы не встречаются, а измерить их можно, ведь цезиевый стандарт частоты, которым определена секунда (Эталоны базовых величин), различает и меньшие.

Откуда берётся поправка $v^2/2c^2$

Точная связь времени в двух системах в специальной теории относительности даётся множителем $1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. Разложение по малому $v/c$ даёт $1 + v^2/2c^2 + \ldots$, и первая поправка к единице как раз $v^2/2c^2$. Отсюда взялась и оценка выше, потому что относительное расхождение хода часов равно этой поправке, пока скорость мала против световой. Дальше в курсе множитель не понадобится, он появится в теории относительности.

Второй пункт объявляет, что по времени движемся в одну сторону. Из механики однонаправленность не следует. Уравнения, которые будут написаны в этой главе и в следующей, работают в обе стороны одинаково, и если снять кино про летящий мяч и пустить его задом наперёд, получится законное решение тех же уравнений. Рабочий признак к этому пункту неприменим, потому что предъявлять альтернативу некому. Механика двух направлений времени не различает вовсе, и обращённое кино остаётся для неё тем же решением, прочитанным с другого конца. Однонаправленность приходит в описание со стороны, ведь так время дано в ощущениях, а из физики её выдаёт статистика (От обратимых процессов к необратимым), не механика. Оттого пункт и записан здесь договорённостью, а не фактом.

Чтобы время не осталось абстракцией, возьмём его таким, каким его хранит компьютер, то есть числом секунд, прошедших с 1 января 1970 года по UTC. Одно число, и оно растёт; в 2026 году оно перевалило за 1,78 миллиарда. Больше от времени в этой главе ничего не требуется.

Сколько чисел задают место

Третий пункт первым говорит о пространстве и спрашивает, сколько чисел нужно, чтобы указать место. В ощущениях дано, что три: длина, ширина, высота. Альтернативу берут теории, в которых измерений больше трёх; работает ли такая физика, вопрос открытый, а математика там работает.

Три измерения у мира, а сколько измерений у задачи, решает вопрос, и ни мир, ни тело здесь не указ. По дороге едет автомобиль. Если спрашивается, во сколько он приедет, хватит одного числа, пройденных вдоль дороги километров, и задача одномерна. Если спрашивается, успеет ли он перестроиться в левый ряд до поворота, одного числа мало, нужно ещё положение поперёк дороги, и та же задача стала двумерной. Автомобиль тот же, дорога та же, поменялся вопрос. Отсюда следует, что вопрос приходится формулировать раньше описания. Размерность задачи не дана в условии, её назначает тот, кто решает. Тот же ход вернётся в Материальная точка, уже про самолёт.

Геометрия остаётся школьной

Четвёртый пункт оставляет геометрию в пространстве школьной, евклидовой. Сумма углов треугольника равна 180°, и теорема Пифагора работает.

Чтобы в этом утверждении стало видно содержание, построим треугольник, у которого выходит иначе. Выходим на экватор. Идём по экватору четверть окружности. Поворачиваем и идём по меридиану до полюса. Поворачиваем и идём по другому меридиану обратно в исходную точку. Фигура замкнулась, все три стороны прямые, потому что прямее по поверхности шара не пройти. Углов три, и каждый по 90°: два у экватора с меридианами и один на полюсе между меридианами. Сумма 270° вместо 180°, и сам треугольник нарисован на рис. 2. Различение двух кривизн стоит отдельно, на рис. 3.

Избыток над 180° у треугольника на сфере есть всегда, и он равен площади треугольника, делённой на квадрат радиуса сферы:

где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ углы треугольника в радианах, $S$ его площадь, $R$ радиус сферы. Проверим на построенном треугольнике. Он занимает восьмую часть сферы, $S = 4\pi R^2/8$, правая часть равна $\pi/2$, то есть 90°, ровно избыток $270^\circ - 180^\circ$. Размерность сходится, потому что площадь на квадрат длины даёт число, и угол в радианах тоже число. В предельном случае школьная геометрия возвращается. У равностороннего треугольника со стороной 100 км на Земле ($R = 6371$ км) площадь около 4330 км², избыток $1{,}1\cdot10^{-4}$ радиана, это 22 угловые секунды. Транспортиром такое не поймать, и на масштабе города плоская геометрия честна.

Без одной оговорки пример врёт. Ходили мы по поверхности Земли, а поверхность двумерна и лежит внутри обычного плоского трёхмерного пространства, и из иллюминатора космического корабля видно, что Земля круглая, а никакой кривизны пространства при этом нет. Кривизна пространства есть искривление самого трёхмерного, из которого нельзя выйти, чтобы поглядеть со стороны. Такой треугольник руками не построить, поэтому сфера здесь работает картинкой, а не доказательством. Бывает и сумма меньше 180°, например на поверхности, выгнутой в другую сторону, как седло.

Этот пункт даёт право на всю школьную геометрию, и в первую очередь право писать длину вектора через теорему Пифагора, что и делается в Радиус-вектор и координаты. Альтернативу взял Эйнштейн ещё раз, в 1915 году, и в общей теории относительности геометрия зависит от того, какая масса стоит рядом. Договорённость держится, пока рядом нет большой массы. Из четырёх пунктов только этот можно проверить геометрией, без всяких часов, параллаксом звёзд и снимками солнечного затмения 1919 года. Как это измеряли и что измерение даёт, разобрано в Проверим сцену измерением: параллакс и затмение. Первый пункт тоже проверяли, и граница у него нашлась там, где атомные часы, провезённые на самолёте вокруг Земли, ловят расхождение того же порядка, наносекунды за час полёта, которых приборы курса не видят. Адрес этой границы Пересядем к другому наблюдателю: принцип относительности.

Первая договорённость на этом взята целиком. Заплатили за неё масштабом, потому что формулы главы верны там, где скорости малы против световой и рядом нет большой массы, а получили право на одну букву $t$ и на теорему Пифагора.

В первой договорённости четыре пункта, и в Договоримся о сцене: пространство и время сказано, что целиком их проверить нельзя. Один из них, плоскость пространства со школьной геометрией, проверяется одной геометрией, без часов, и его проверили. Как её мерили и что именно измерение показало?

Измерим расстояние до звезды, не летая к ней

Задача в том, чтобы узнать расстояние до звезды, не летая к ней. Прикинуть по свету не выйдет, потому что скорость света измерить умеем, а сколько он летел, неизвестно. Остаётся геометрия. Земля ходит вокруг Солнца, и полгода назад наблюдатель стоял в другом месте, за триста миллионов километров отсюда. С двух этих точек звезда видна под чуть-чуть разными углами. Два угла и известное основание решают треугольник, и расстояние найдено (рис. 4). Приём называется параллаксом, им измерены первые расстояния до звёзд.

Спросим, что здесь проверено

Треугольник размером в две астрономические единицы самый большой, какой можно построить, не покидая орбиты Земли. Третий угол, при звезде, в нём никто не мерил и померить не может, поэтому расстояние вычисляют в предположении, что геометрия плоская. Сама проверка сидит в другом месте. Будь пространство искривлено на манер Лобачевского, отрицательно, у параллаксов была бы нижняя граница, и как ни далека звезда, угол не опустился бы ниже некоторого предела. Сам Лобачевский и предлагал проверить свою геометрию именно так, по параллаксу Сириуса. Померили и увидели, что чем дальше звезда, тем меньше угол; нижней границы у него не нашли, всё как в плоской геометрии. Кривизна другого знака, как у сферы, ловится другим признаком. Там параллакс уходил бы в ноль на конечном расстоянии, а у звёзд дальше этого расстояния менял бы знак, и этого тоже не видно.

Сила у этой проверки невелика, и говорить об этом надо честно. Основание против расстояния до звезды ничтожно, углы в доли секунды, и всё, что даёт измерение, это нижняя граница на радиус кривизны, в обе стороны. Проверка не запрещает кривизну. Она говорит, что на доступном масштабе её никто не поймал.

Поймаем кривизну там, где она есть

Поймали её в другом месте и приёмом того же сорта. 29 мая 1919 года случилось полное солнечное затмение. Луна закрыла диск, и две британские экспедиции, одна из них под началом Эддингтона, сфотографировали звёзды рядом с закрытым Солнцем, а потом сравнили с ночными снимками того же участка неба, снятыми, когда Солнца там не было. Звёзды стояли не там, где стояли ночью, а сдвинулись наружу от Солнца на предсказанные Эйнштейном одну и три четверти угловой секунды. Как это выглядит и чем отличается от пути без большой массы рядом, показано на рис. 5. Сдвиг крошечный, примерно в тысячу раз меньше углового размера самого Солнца, и всё же он есть на пластинке. Значит свет прошёл мимо Солнца не по прямой, и величина сдвига вдвое больше той, что дала бы ньютоновская механика для луча как для потока частиц; удвоение и есть след кривизны, и рядом с массой геометрия не наша.

Назовём адрес границы

Договорённость о плоскости не отменена, у неё появился адрес границы: 29 мая 1919 года, фотопластинка. Мы живём далеко от Солнца и от чёрных дыр, поэтому Пифагор наш и школьная геометрия наша; чем первая договорённость оплачена и что за неё куплено, подытожено в конце Договоримся о сцене: пространство и время.

Приём, придуманный для измерения расстояния, поймал границу той геометрии, в которой сам работает. Ради такой возможности, назвать принятое и проверить его опытом, глава и начата с механики (Почему курс начинается с механики); в Что в физике значит слово «принять» так описана сделка с языком, где принятое записывается, а запись возвращает то, чего в неё не клали. Здесь то же самое сделал не язык, а прибор.

Сцена выбрана, и в ней одно время на всех и три измерения со школьной геометрией (Договоримся о сцене: пространство и время). Теперь нужен объект. У реального тела есть размер и форма, оно как-то повёрнуто и, возможно, кувыркается. Что из этого нужно, чтобы описать движение, и без чего можно обойтись?

Кинематика начинает с самого грубого сужения за всю главу. Из тела выбрасывается всё, кроме положения: размер, форма, ориентация, вращение. Остаётся геометрическая точка, которой приписана масса. Такой объект называется материальной точкой.

Что выпадает из описания

Цена сужения называется перечнем вопросов, которые внутри модели теряют смысл. «Труднее считать» здесь ни при чём, ведь считать нечего. Спросить у точки, куда она смотрит, нельзя, раз у неё нет носа. Спросить, как её обтекает воздух, тоже нельзя, потому что обтекать нечего. Ориентация тела, вращение вокруг собственной оси, распределение массы по объёму и деформация к точке не приписываются вовсе, а появятся они только вместе с телом конечного размера, в механике твёрдого тела.

Границу назначает вопрос, а не тело

Материальная точка есть модель, и у модели есть граница применимости. Границу назначает не тело, а вопрос, который о нём задан. Это тот же ход, что при выборе числа координат для автомобиля на дороге.

Возьмём один и тот же самолёт. Сначала спросим, во сколько он сядет, если держит крейсерскую скорость. Берём путь, делим на скорость, и самолёт здесь материальная точка, размах крыла в ответ не входит. При пути 800 км и крейсерской скорости 800 км/ч ответ один час, и ни одно число о форме самолёта в него не вошло. Теперь спросим, почему он вообще летит и что с ним делает воздух. Самолёт тот же самый, а точка не годится совсем, потому что подъёмная сила рождается формой крыла, а формы у точки нет (рис. 6).

Чтобы проверить, годится ли здесь точка, мысленно заменим тело кирпичом той же массы. Если ответ на вопрос не изменился, точка законна. Если изменился, из описания выброшено то, что было нужно.

Что получено взамен

Сдача за сужение одна, зато её хватает на всю главу. Положение тела стало одним вектором, тремя числами вместо набора чисел про каждую заклёпку. Вся история движения становится одной функцией времени, радиус-вектором $\vec r(t)$ (Радиус-вектор и координаты). Её будут дифференцировать и интегрировать до конца главы, и всё остальное о движении достанется из неё.

Тело сжато в точку (Материальная точка). Откуда на неё смотреть? Об этом договариваются отдельно, и это третья договорённость главы. Устроена она как две первые, потому что описание опять станет уже и что-то из него выпадет насовсем. Здесь называется тело, относительно которого меряют, и вместе с ним слово «движется» впервые получает смысл.

Две машины идут рядом по шоссе, обе на 100 км/ч. Наблюдатель сидит в первой и смотрит на вторую. Относительно него она стоит, ведь расстояние не меняется и надпись на её двери можно спокойно прочитать. Относительно фонаря на обочине та же машина идёт под сотню. Вопрос «движется ли эта машина» задан, а ответа нет, и данных про саму машину здесь хватает. Неполон сам вопрос. Полным он становится, когда названо тело, и относительно фонаря машина движется, а относительно первой машины нет. Стоит второй машине прибавить до 110 км/ч, и относительно первой она поползёт вперёд на 10 км/ч, а относительно фонаря пойдёт на 110. Движение одно, чисел два, и оба верны для своего тела.

Первая половина цены третьей договорённости состоит в том, что пока тело не названо, у вопроса «движется оно или нет» ответа нет вовсе. Слово «движется» само по себе пустое, содержание в него вкладывает тело отсчёта. Из чего система отсчёта состоит, к чему её можно привязать и когда положение точки становится числами, разобрано в Выберем тело отсчёта и оси; там же названа вторая половина цены, срок годности права привязки.

Слово «движется» получило смысл, когда названо тело (Относительно чего движется тело). Что ещё нужно, чтобы начать измерять, и в какой момент положение точки становится числами?

Назовём тело и заведём часы

Нужны два предмета: тело, к которому всё привязано, и часы. Тело даёт точку, от которой отсчитывают, и направления, вдоль которых отсчитывают. Часы дают момент. Без тела координаты не к чему прикрепить, и тройка чисел повиснет в воздухе. Без часов вместо движения останется фотография. Эта пара, тело отсчёта и часы, называется системой отсчёта. Системы координат в ней пока нет, потому что оси выбираются следующим шагом, и это другое решение.

К чему привязывать? Да как хотите. К дороге, к одной из машин, к фонарю, к центру Земли. Кинематика не ставит здесь ни одного условия, так что годится любое тело и ни одна привязка не лучше другой. На эту главу щедрость настоящая, но она временная. Как только появятся законы Ньютона, выяснится, что в описаниях, привязанных к одним телам отсчёта, закон пишется коротко, а в привязанных к другим к нему приходится дописывать слагаемые, которые ниоткуда не берутся; тела отсчёта разделятся на два сорта, и выбирать начнёт закон (Отберём право выбирать отсчёт: первый закон). Названный срок годности есть вторая половина цены третьей договорённости, ведь право привязываться к чему угодно выдано на одну неделю. Первая половина, пустота слова «движется» без названного тела, стоит в Относительно чего движется тело.

Выберем оси и превратим положение в числа

Тело названо, часы идут, а положение точки всё ещё не число. Чтобы оно стало числами, надо выбрать оси, и это второй выбор, четвёртая договорённость, из третьей она никак не следует. По умолчанию берут три взаимно перпендикулярные прямые с общим началом и одинаковым масштабом, называют их $x$, $y$, $z$ и получают декартовы координаты.

Два шага подряд, и они разные. Сначала выбрано, откуда смотреть, и это про физику, про то, к какому телу привязано измерение. Потом выбрано, чем мерить, и это уже про запись. Тело отсчёта одно, а осей на нём можно построить сколько угодно, и все они одинаково законны; одна и та же точка в трёх записях стоит на рис. 7. Что из положения точки существует до выбора осей и что появляется вместе с ними, разобрано в Радиус-вектор и координаты.

Выберем оси под симметрию задачи

Декартовы оси не единственные. На плоскости положение точки задаётся парой $x$ и $y$, а можно задать иначе, расстоянием $r$ до начала и углом $\varphi$, отсчитанным от выбранного направления. Пара $(r, \varphi)$ фиксирует ту же точку однозначно, и это полярные координаты. Систем здесь две, и каждая переводится в другую целиком. Слева пара $x$ и $y$, выраженная через $r$ и $\varphi$, справа обратный переход:

Тангенс восстанавливает угол с точностью до $\pi$, и четверть, в которой лежит $\varphi$, берётся по знакам $x$ и $y$; у точки $(-3, -4)$ тангенс тот же, что у $(3, 4)$, а угол на $180^\circ$ больше. Проверим это на точке $x = 3$, $y = 4$. Для неё $r = 5$, $\operatorname{tg}\varphi = 4/3$, $\varphi \approx 53^\circ$; обратно $5\cos 53^\circ \approx 3$, $5\sin 53^\circ \approx 4$. Ни точка, ни движение не изменились, изменилась запись.

Зачем менять запись? Затем, что её выбирают под симметрию задачи. Если тело ходит по окружности, в декартовых координатах меняются обе координаты всё время, а в полярных $r$ стоит постоянным, и меняется одно число, угол. То же с планетой вокруг Солнца, где у задачи есть выделенная точка, и координаты, у которых эта точка тоже выделена, экономят половину работы. В пятой неделе второй закон Кеплера в полярных координатах читается прямо с записи (Введём секториальную скорость), в декартовых та же величина спрятана в комбинации координат и их скоростей.

Что именно спрятано в декартовой записи, взгляд вперёд на неделю 05

Выписать это кинематика готова уже сейчас, а понадобится оно только в пятой неделе.

$$r^2 \frac{d\varphi}{dt} = x\frac{dy}{dt} - y\frac{dx}{dt}$$

Равенство проверяется подстановкой $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$ в правую часть. Величина эта — удвоенная площадь, заметаемая радиус-вектором за единицу времени; умноженная на массу тела, она называется моментом импульса, и при движении под силой, направленной в центр, она не меняется. Слева стоят расстояние и угол, и постоянство читается глазами, потому что чем ближе точка подошла к центру, тем быстрее она обходит его по углу. Справа стоят четыре функции времени, и то, что их комбинация не сдвинулась, из записи не видно. На этом стоит вся пятая неделя, где сохраняющаяся величина сразу даёт уравнение на угол, угол через него исключается, и для расстояния до центра остаётся одномерная задача (Соберём эффективную энергию).

Здесь надо предупредить об одном. Пара $(r, \varphi)$ вектором не является. Векторы складывают покомпонентно, первые координаты с первыми, вторые со вторыми. Две точки, $(r, \varphi) = (1, 0)$ и $(1, \pi)$, стоят по разные стороны от начала на одном расстоянии, и их радиус-векторы в сумме дают ноль. Сложение пар даёт $(2, \pi)$, то есть точку $x = -2$, $y = 0$, которая к сумме отношения не имеет. Разложения по постоянному базису у этой пары нет. Компоненты скорости и ускорения в полярных координатах здесь не выводятся, они понадобятся в неделе 05.

Тот же приём работает в пространстве. Положение на Земле задают широтой и долготой, то есть двумя углами, и этого хватает, чтобы найти точку на поверхности. Если подниматься в воздух или бурить вниз, добавляется третье число, расстояние от центра. Два угла и радиус называются сферическими координатами, и задача про поверхность шара просится в них сама. Если у задачи выделена ось, вдоль неё одну координату меряют обычной длиной, а в перпендикулярной плоскости берут радиус и угол, и такие координаты называются цилиндрическими; труба или вращающийся барабан описываются в них короче, чем в $x$, $y$, $z$. Переход к декартовым осям в обоих случаях выписывается так же, как для полярных:

Слева сферические координаты, где $r$ есть расстояние до начала, $\theta$ угол от оси $z$, а $\varphi$ угол в плоскости $xy$; справа цилиндрические, где $\rho$ есть расстояние до оси $z$, а $\varphi$ тот же угол в плоскости. Полярные координаты получаются из цилиндрических, если выбросить $z$. Обе тройки нарисованы на рис. 8.

Выбирают по одному соображению, беря координаты такие, чтобы то, что в задаче не меняется, стало отдельной координатой или выпало из записи вовсе. Притяжение к точечному телу одинаково во все стороны от центра, и в сферических координатах оно зависит от одного числа $r$ вместо трёх. Вокруг длинного прямого провода ничего не меняется ни при повороте вокруг него, ни при сдвиге вдоль него, и в цилиндрических координатах из трёх чисел работает опять одно, расстояние до провода. Выигрыш здесь счётный, потому что в уравнениях остаётся меньше неизвестных.

Систем координат бесконечно много, и общего рецепта в этой главе нет. В математике он есть, и для произвольного криволинейного базиса там выписывают набор множителей, коэффициенты Ламе, через которые производные считаются в любых координатах единообразно. Курс этим не пользуется; знать, что такая техника существует, здесь достаточно.

Оси есть выбор, и выборов много: декартовы, полярные, сферические, цилиндрические, а за ними сколько угодно кривых. Четвёртая договорённость берёт из всего этого одну запись, самую простую, и следующий раздел называет, чем за неё плачено. У криволинейных координат счёт свой, ведь их направления меняются от точки к точке, а вдоль движения зависят и от времени, поэтому дифференцировать такой столбик по строчкам нельзя. Первый базис с этим свойством глава заведёт в конце, посадив оси на саму движущуюся точку (Нормальное и тангенциальное ускорение).

Заплатим за оси, прикрученные болтами

У четвёртой договорённости цена самая дорогая из четырёх. Оси выбраны и оставлены стоять, то есть прикручены болтами к телу отсчёта, не едут и не поворачиваются. Ни одно из этих двух слов не обязано быть правдой, они выбраны нами.

Возьмём точку на ободе колеса радиуса $R$, которое катится по прямой без проскальзывания. Движение простейшее из возможных. А в неподвижных осях, где $x$ идёт вдоль дороги, а $y$ вверх от неё, эта точка выписывает кривую с остриями, которая называется циклоидой, и записать её уже труд. Через угол поворота колеса $\varphi$ она выглядит так:

При $\varphi = 0$ точка лежит на дороге, при $\varphi = \pi$ поднялась на высоту $2R$ над ней, при $\varphi = 2\pi$ снова на дороге, сдвинувшись на $2\pi R$, ровно на длину окружности колеса. В точках касания дороги обе производные по $\varphi$ обращаются в ноль, точка на мгновение останавливается, и это и есть острия. Колесо радиуса 0,3 м за один оборот увозит свой центр на $2\pi R \approx 1{,}9$ м, а точка обода за тот же оборот проходит по своей кривой $8R = 2{,}4$ м. Всё, что вращается само, в прикрученных осях приходится описывать снаружи.

Но которое из двух слов стоило нам этих остриёв? Отберём по одному. Сначала повернём оси один раз, на постоянный угол $\alpha$ к дороге, и посмотрим на ту же точку обода. Числа в столбце пересчитаются по обычным формулам поворота, $x' = x\cos\alpha + y\sin\alpha$ и $y' = -x\sin\alpha + y\cos\alpha$, и при $\alpha = 30^\circ$ и $\varphi = \pi$ вместо пары $(\pi R;\ 2R) = (3{,}14R;\ 2R)$ получается $(3{,}72R;\ 0{,}16R)$. Длина стрелки поворота не заметила: $\sqrt{3{,}72^2 + 0{,}16^2}\,R = 3{,}72R$, столько же, сколько $\sqrt{\pi^2 + 4}\,R$ в прежних осях. Кривая осталась той же кривой с теми же остриями. Повёрнутая запись ничего не испортила и ничего не спасла.

Теперь вернём осям прежние направления и перенесём начало координат в центр колеса, который едет по прямой с постоянной скоростью. Вычитая из циклоиды положение центра, $R\varphi$ по горизонтали и $R$ по вертикали, получаем

и точка идёт по окружности радиуса $R$, острия исчезли, запись сжалась до синуса с косинусом. Значит острия дало не то, что оси не поворачиваются, а то, что начало стоит на дороге. Перенос начала в едущий центр уводит при этом к другому телу отсчёта, а это третья ступень, не четвёртая. Все четыре набора осей на одной точке обода собраны на рис. 9.

Остаётся набор осей выгоднее всех перебранных, и надо привинтить их к самому колесу, а начало оставить в центре. Точка обода в них стоит на месте, координаты её постоянны, $(0;\ -R)$, и описывать нечего вовсе. Короче записи не бывает, и запрещают её обе договорённости сразу, потому что начало едет вместе с центром колеса, это третья ступень, а направления осей поворачиваются вместе с ободом, и это четвёртая. На четвёртой плачено самой короткой записью из возможных. Оси, у которых направления едут вместе с телом, глава возьмёт только в конце, посадив их на саму движущуюся точку, и оттого цена четвёртой ступени предъявляется на пятой.

Из двух слов запись столбиком покупает второе. Разложим вектор по осям, с единичными векторами $\hat{i}$ и $\hat{j}$ вдоль них, и продифференцируем по времени:

Два последних слагаемых обращаются в ноль тогда и только тогда, когда направления осей от времени не зависят. Поворот на постоянный угол под это условие подходит, потому что единичные векторы, повёрнутые раз и навсегда, постоянны, и строчки честны. Ломается запись там, где угол поворота осей сам зависит от времени. Оси, привинченные к колесу, поворачиваются вместе с ним, производные $\hat{i}$ и $\hat{j}$ по времени в ноль не обращаются, и покомпонентная производная даёт лишь часть ответа, в который не входят два слагаемых, пришедших от поворота направлений. Именно это слово, «не поворачиваются», и отбирается на пятой ступени.

Что покупается за эту цену, видно уже при первой производной. Пока направления осей не меняются, вектор дифференцируется по столбику, компонента за компонентой (Средняя и мгновенная скорость), и то же право работает при интегрировании и при второй производной. Болты откручиваются в конце главы, в Нормальное и тангенциальное ускорение, и откручиваются сознательно.

Оси выбраны (Выберем тело отсчёта и оси). Как теперь записать положение материальной точки числами?

Стрелка существует до осей

Проведём из начала координат $O$ в положение точки $A$ направленный отрезок. Это радиус-вектор точки, обозначается $\vec r$. Он один объект, у которого длина и направление есть до всякой записи числами, и чтобы его провести, достаточно тела отсчёта с началом на нём.

Числа появляются вместе с осями. Опустим из $A$ перпендикуляры на оси декартовой системы и получим три координаты $x$, $y$, $z$. Соберём из них вектор вместе с единичными векторами осей $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$; крышка означает, что вектор единичной длины и направлен вдоль своей оси:

Точка движется, значит все три числа зависят от времени, а с ними и весь вектор: $\vec r = \vec r(t)$. Эта одна функция и есть то, что требуется узнать о движении (рисунок 10).

Столбик появляется вместе с осями

Те же три числа удобно записывать столбцом, одно под другим:

Новой физики в записи нет, но она делает видимой одну вещь. Стрелка из начала в точку существовала до выбора осей. Столбец появился в момент, когда оси были выбраны, и рассказывает он о нашем выборе столько же, сколько о точке. Если повернуть оси, не трогая ни точки, ни тела отсчёта, числа в столбце поменяются, а вектор останется прежним. Описание стало числами, и числа эти наполовину наши. Такую запись вектора принимает и линейная алгебра, там она стандартная.

Столбец заводится не для красоты. Дальше вектор будут дифференцировать и интегрировать, и всё это будет делаться по строчкам, каждая отдельно. Право на это выдаёт договорённость об осях. Пока они стоят на месте, единичные векторы $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ от времени не зависят, и меняться могут только три числа при них. Как это право работает, показано в Средняя и мгновенная скорость, и там же оно окупается в первый раз; потом ещё дважды, при интегрировании (Интегрирование скорости: обратная задача) и при второй производной (Ускорение: как меняется скорость). Где оси поворачиваются, запись по строчкам ломается; первый такой базис появится в конце главы, в Нормальное и тангенциальное ускорение.

Посчитаем длину Пифагором дважды

Что уже можно сделать с тройкой чисел? Посчитать расстояние от начала до точки, и делается это в два шага. Сначала спустим точку на плоскость $xy$, где диагональ прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ равна $\sqrt{x^2 + y^2}$. Потом построим прямоугольный треугольник, у которого один катет эта диагональ, а второй катет $z$. Отсюда

Пифагор, применённый дважды; право на него дала первая ступень, плоская геометрия сцены (Договоримся о сцене: пространство и время). У точки с координатами $(3;\ 4;\ 12)$ м диагональ в плоскости равна $\sqrt{9 + 16} = 5$ м, а расстояние до начала $\sqrt{25 + 144} = 13$ м. Размерность сходится, под корнем сумма квадратов длин, и корень возвращает длину. При $z = 0$ остаётся школьный Пифагор на плоскости, а при $y = z = 0$ длина равна $|x|$.

Взяли три числа, которые зависят от выбора осей, и сложили из них одно число, которое от выбора осей не зависит. Расстояние до точки одно и то же в любых осях с тем же началом, как их ни поверни. Начало трогать нельзя, потому что длина стрелки меряется от него, и сдвиг начала даёт другую стрелку. Три числа при этом потолок, а не обязанность, и если задача позволяет, берут одно или два, и назначает их число тот же вопрос, который в Материальная точка назначал границу модели.

Что ищет кинематика

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы отыскать математическое соотношение, которое определяет изменение во времени радиус-вектора точки. Найти $\vec r(t)$ и значит решить задачу, и этим занята вся оставшаяся глава.

К этому нужна вторая половина, без которой задача не поставлена, и это начальные условия. Если неизвестно, откуда стартовали, говорить не о чем. Из того, что скорость известна в каждый момент, положение не следует, ведь та же самая скорость из другой точки даёт другое движение. Постановка всегда двойная и складывается из закона изменения и состояния в начальный момент.

Начальные условия понадобятся дальше в двух местах. При обратном ходе от скорости к положению у интеграла появится постоянная, и определять её будут начальные условия (Интегрирование скорости: обратная задача). А при постоянном ускорении двойное интегрирование даст формулу равноускоренного движения, и обе всплывшие постоянные окажутся начальной скоростью и начальным положением (Проинтегрируем постоянное ускорение).

Пусть задача кинематики решена и закон движения $\vec r(t)$ известен (Радиус-вектор и координаты). Начальные условия нужны были для того, чтобы найти саму функцию, и в найденной они уже сидят. Отметим все положения точки и сотрём время. Останется линия, которую точка вычертила в пространстве, траектория. Что от этой линии нужно потребовать, чтобы с ней можно было работать?

Требования два, и оба предъявляем мы сами, наблюдать их не приходится. Относятся они к закону движения, к самой функции $\vec r(t)$, потому что линия как множество точек о том, как по ней бежали, не говорит ничего.

Запрещаем прыжки

Первое требование состоит в непрерывности. Кусок линии здесь, обрыв, продолжение в другом месте: так нельзя. На физическом языке это значит, что точка телепортировалась, а телепортации в классической механике нет. Строгое определение непрерывности даёт математический анализ; здесь хватит запрета на прыжки, записанного так: при малом изменении $t$ радиус-вектор меняется мало, и перемещение за промежуток $\Delta t$ (Перемещение) уходит в ноль вместе с $\Delta t$.

Требуем две производные

Второе требование, гладкость, про нас, а не про мир. Гладкость требуется от движения ради собственного удобства, потому что дальше будут брать производную, а производная существует не везде.

Предъявить требование надо точно, к закону движения, а не к линии. Линия может быть нарисована безупречно гладко, а точка пробежит по ней рывками, и в момент рывка скорости не будет. Пусть по прямой $y = 0$ движется точка с законом $x(t) = |t|$, метры и секунды. Линия здесь отрезок прямой, глаже не бывает. А у закона движения в момент $t = 0$ производной нет, потому что слева наклон $-1$ м/с, справа $+1$ м/с, точка развернулась мгновенно.

Дальше производных понадобится две. Скорость первая (Средняя и мгновенная скорость), ускорение вторая (Ускорение: как меняется скорость), и глава идёт за ускорением. Потребуем, чтобы закон движения был дважды дифференцируем, и всё, что построено после этого места, живёт внутри этого условия. Предъявлено оно к нашей записи, а не к миру, как договорённости, и снимется вместе с записью.

Где требование кончается, видно на изломе. Машина едет по улице на север, доезжает до перекрёстка и, не сбавляя хода, уходит на восток. Закон движения до угла $\vec r = (0;\ vt)$, после угла $\vec r = (vt;\ 0)$, где $v$ модуль скорости. В самом углу скорость меняется скачком с $(0;\ v)$ на $(v;\ 0)$. При $v = 10$ м/с скачок по модулю равен $10\sqrt{2} \approx 14$ м/с за нулевое время, и производной у закона движения в этой точке нет. Излом траектории есть точка, где у линии нет касательной, и техника этой главы в ней кончается. Оба запрещённых случая, разрыв и излом, нарисованы на рис. 11. К углу глава ещё вернётся, когда появится касательная (Средняя и мгновенная скорость, рис. 15). Во второй раз машина в нём остановится, и это другой случай.

Сцена выбрана, объект выбран, тело отсчёта названо, оси стоят, от траектории потребовано то, что нужно. Дальше глава не договаривается ни о чём, кроме одного раза ближе к концу (Нормальное и тангенциальное ускорение). Начинается вторая половина хода. Движение записывается на языке математики, и мы смотрим, что этот язык вернёт.

Первый шаг ничего не возвращает, потому что здесь только запись. Точка сместилась. Как записать, откуда и куда?

Возьмём траекторию и точку на ней. В момент $t$ она в положении $A$ с радиус-вектором $\vec{r}(t)$, в момент $t + \Delta t$ в положении $B$ с радиус-вектором $\vec{r}(t + \Delta t)$; здесь $\Delta t$ промежуток времени между двумя положениями. Начало отсчёта есть, значит оба положения записываются радиус-векторами. Разность этих двух векторов называется перемещением:

Перемещение — это вектор, который соединяет начало движения и конец движения напрямую, хордой. Тело за время $\Delta t$ проехало по кривой, а переместилось на этот вектор. Траектория кривая, а перемещение вектор, и совпадать они не обязаны (рисунок 12).

Пусть точка перешла из положения $(1;\ 2;\ 0)$ м в положение $(4;\ 6;\ 0)$ м. Перемещение $\Delta\vec r = (3;\ 4;\ 0)$ м, его длина $\sqrt{9 + 16} = 5$ м, и никакого знания о том, по какой кривой шла точка, для этого счёта не понадобилось. В предельном случае $\Delta t \to 0$ перемещение уходит в ноль, и это непрерывность закона движения из Траектория и что от неё требуется, записанная формулой.

Изменение — это конечное минус начальное

Значок $\Delta$ означает изменение. Изменение — это конечное положение минус начальное положение, всегда. То же правило работает для любой величины под значком $\Delta$, и пригодится оно весь семестр. От порядка зависит знак. Точка, вернувшаяся из $x = 5$ м в $x = 2$ м, имеет перемещение $\Delta x = 2 - 5 = -3$ м, и минус здесь говорит о направлении, а не об ошибке.

Чего мы пока не спросили

Мы спросили, куда сместилась точка, и язык ответил вектором, хордой от начала к концу. Мы не спросили, сколько она проехала. Это другая величина, и из перемещения она не достаётся никак. Круг по стадиону с возвращением в ту же точку даёт нулевое перемещение, а пройдено четыреста метров.

Называется эта величина путь, и здесь она только названа. Чтобы посчитать длину кривой, нужен инструмент, которого пока нет; он появляется вместе с интегралом в Интегрирование скорости: обратная задача, и определение пути строится на том же разбиении на столбики, которым там получено перемещение, в блоке Путь: длина пройденной кривой.

Насколько быстро меняется положение точки и в какую сторону? Перемещение $\Delta \vec{r}$ отвечает только на вопрос «куда сместилась». Чтобы ответить на вопрос «насколько быстро», его надо поделить на время.

Поделим перемещение на время

Средняя скорость $\vec{v}_{\mathrm{avg}}$ точки на промежутке времени $\Delta t$ определяется как отношение перемещения $\Delta \vec{r}$ к этому промежутку времени:

Здесь $\vec{r}(t)$ и $\vec{r}(t + \Delta t)$ — радиус-векторы точки в начале и в конце промежутка (Радиус-вектор и координаты). Сверху стоит вектор, снизу число, и результат снова вектор. Деление вектора на положительное число меняет его длину и не трогает направление, так что вектор становится короче или длиннее, оставаясь на своей прямой.

Смысл средней скорости бытовой. Проехали столько-то за столько-то, значит, в среднем двигались вот так. Слово «в среднем» работает буквально. Средняя скорость смазывает всё, что происходило внутри промежутка. Точка могла петлять и ехать назад, отношение $\Delta \vec{r}/\Delta t$ этого не покажет. По размерности выходят метры, делённые на секунды, м/с.

Сожмём промежуток

Теперь начнём сжимать промежуток $\Delta t$ и следить за обеими половинами дроби сразу. Чем короче промежуток, тем меньше точка успела сместиться, так что перемещение $\Delta \vec{r}$ уходит в ноль, а само время уходит в ноль по построению. Что означает ноль, поделённый на ноль? По всему прошлому опыту ничего не означает, у такого выражения нет значения.

Но оказывается, что вот это соотношение двух маленькостей, в числителе и в знаменателе, может быть ненулевым. Числитель уходит в ноль, знаменатель уходит в ноль, а их отношение садится на конечное число и дальше не меняется. Посмотрим на это в цифрах. Пусть точка движется по оси $x$ по закону $x(t) = 5t^2$ (координата в метрах, время в секундах), и нас интересует момент $t = 2$ с. Промежуток $\Delta t = 1$ с даёт $\Delta x = 25$ м и отношение $25$ м/с. Промежуток $\Delta t = 0{,}1$ с даёт $\Delta x = 2{,}05$ м и отношение $20{,}5$ м/с. Промежуток $\Delta t = 0{,}01$ с даёт $\Delta x = 0{,}2005$ м и отношение $20{,}05$ м/с. Промежуток $\Delta t = 0{,}001$ с даёт $\Delta x = 0{,}020005$ м и отношение $20{,}005$ м/с. Перемещение и время уменьшились в тысячу раз каждое, а отношение подошло к $20$ м/с и на нём остановилось.

Записывается это так:

Знак $\lim$ читается «предел при $\Delta t$, стремящемся к нулю», и обозначает он то самое число, на которое садится отношение.

Что было вложено? Ровно две вещи: положение точки задано функцией времени, и промежуток можно брать сколь угодно малым. Ни о какой скорости в отдельно взятое мгновение речи не было; мгновение есть нулевой промежуток, а за нулевой промежуток ничего не происходит. Обратно язык выдал число, которого мы не заказывали.

Дадим результату имя

Только теперь у построенной конструкции появляется имя, и даже два. Математики называют её производной функции $\vec{r}(t)$ по времени и обозначают

Производная показывает, как соотносится изменение функции с изменением её аргумента на очень малых масштабах; с этой конструкции начался математический анализ. Физика даёт тому же объекту имя попроще: мгновенная скорость, скорость в данный момент времени. Спидометр автомобиля показывает её модуль. Он не сообщает, сколько проехали за час; он сообщает длину того вектора, который только что построен пределом, а про направление молчит.

Продифференцируем по компонентам

Производную от функции берут в школе. Производную от вектора там не берут, и звучит она страшнее, чем есть. Здесь впервые пригождается договорённость из Выберем тело отсчёта и оси, по которой оси стоят на месте, прикручены болтами. Раз оси не шевелятся, единичные векторы вдоль них от времени не зависят, и от времени зависят только три числа, координаты точки. Продифференцировать вектор значит продифференцировать каждую координату отдельно:

Здесь $v_x$, $v_y$, $v_z$ — проекции скорости на оси. Это та самая запись столбцом, обещанная в Радиус-вектор и координаты, и дальше она работает ещё дважды: при интегрировании скорости и при взятии второй производной.

Проверим на движении по окружности радиуса $R$ с центром в начале координат: $x = R\cos\omega t$, $y = R\sin\omega t$, где $\omega$ — постоянная размерности 1/с. Дифференцируем каждую строку: $v_x = -R\omega\sin\omega t$, $v_y = R\omega\cos\omega t$. Модуль скорости $\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = R\omega$ от времени не зависит, а скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{r} = -R^2\omega\sin\omega t\cos\omega t + R^2\omega\sin\omega t\cos\omega t = 0$, а это значит, что скорость перпендикулярна радиусу, то есть направлена вдоль окружности. При $R = 2$ м и $\omega = 3$ с$^{-1}$ точка движется со скоростью $6$ м/с.

Держится покомпонентная запись на договорённости о неподвижных осях, а не на свойствах производной. В Нормальное и тангенциальное ускорение эта договорённость снимается, и покомпонентная запись вместе с ней.

Спросим, куда направлена скорость

Спрашивали мы только о том, насколько быстро. Ответ пришёл и на второй вопрос, куда, хотя его никто не задавал.

Посмотрим на отношение $\Delta \vec{r}/\Delta t$ ещё раз. В числителе стоит вектор, хорда из точки $A$, где точка была в момент $t$, в точку $B$, где она была в момент $t + \Delta t$, а в знаменателе положительное число. Деление на положительное число направления не меняет, значит, при любом, сколь угодно малом промежутке отношение смотрит туда же, куда смотрит хорда. Вопрос о направлении скорости превращается в вопрос о том, куда смотрит хорда, когда $B$ подъезжает к $A$.

Сама хорда стягивается в точку, её длина уходит в ноль, и никакого предельного вектора из хорды не получается. А направление в ноль не уходит. У хорды при каждом положении $B$ есть направление, и оно устанавливается. Предел берётся от отношения, поэтому хорда исчезает, отношение остаётся, и направление остаётся вместе с ним.

Прямая, проходящая через $A$ и $B$, называется секущей. Предельное положение секущей при $B \to A$ называется касательной к кривой в точке $A$; так касательная и определяется для произвольной кривой. Скорость направлена по касательной к траектории.

Всё это время речь шла о движении, о том, откуда и куда сместилась точка и за какое время. Про кривую саму по себе, без времени, вопрос не ставился. А получено её геометрическое свойство. Направление касательной есть свойство самой линии. По этой кривой можно ехать медленно или быстро, разгоняться или тормозить, скорость всё равно ляжет по касательной. Как секущая садится на касательную, видно на рис. 13. Пример с окружностью выше это уже показал: $\vec{v} \perp \vec{r}$ при любом $\omega$.

Школьное определение, по которому касательная имеет с кривой одну общую точку, для произвольной кривой не работает, и в обе стороны. Прямая $x = 0$ пересекает кривую $y = x^3$ ровно в одной точке, начале координат, и касательной там не является, потому что секущие при $B \to A$ ложатся на ось $x$. А сама касательная, ось $x$, кривую в начале координат пересекает, переходя с одной её стороны на другую (рис. 14).

Назовём условие, на котором это держится

Пусть автомобиль едет строго на север, доезжает до перекрёстка, останавливается там и дальше едет строго на восток. Что такое касательная в точке перекрёстка? Подъезжаем к ней с юга, предельное направление одно. Отъезжаем на восток, предельное направление другое. У одного вопроса получилось два ответа, значит, касательной в этой точке нет. Такая точка называется изломом. Слово «гладкая» к линии здесь не прикладывается, потому что гладкость глава требует от закона движения, а от линии — касательную в каждой точке.

Условие это соседнее тому, которое предъявлено к закону движения в Траектория и что от неё требуется, и различить их проще всего на том же автомобиле. В углу он остановился, то есть скорость там равна нулю, и производная у закона движения $\vec{r}(t)$ существует, она нулевая. А направления у нулевого вектора нет, и касательной нет. Там требовалась производная, здесь требуется направление у скорости. Цена второго условия в том, что там, где его нет, кончается всё, что строится на направлении скорости, включая оси, которые в Нормальное и тангенциальное ускорение сажаются на саму движущуюся точку. В точке излома их посадить некуда.

До сих пор ход был в одну сторону. Есть закон движения $\vec{r}(t)$, берём производную, получаем скорость. Кто задаёт следующий вопрос? Тело не задаёт, оно едет как ехало, и спидометр показывает скорость, а требования восстановить по ней траекторию из природы не следует. Вопрос задаёт аппарат. У всякого действия спрашивают обратное, так устроен язык, на который мы согласились перейти. Мы взяли производную; есть ли действие, её отменяющее?

Такое действие есть, и называется оно интегрированием. Задача «по скорости восстановить перемещение» называется обратной задачей, и слово это встретится ещё много раз, везде, где по следствию восстанавливают причину.

Узнаем, что обратный ход дороже прямого

Производную можно взять от чего угодно по правилам. Обратно пойти удаётся не всегда, потому что в обратную сторону это может быть существенно сложнее или нерешаемо в принципе. Формулы для ответа может не быть вовсе, и это не значит, что кто-то плохо старался: её нет. Бывает и наоборот, когда ответов несколько и все годятся. Последний исход разобран ниже, там, где ищется постоянная интегрирования.

Слово «нерешаемо» здесь означает, что нерешаемым оказывается поиск формулы, а не сама задача. Пусть, например, скорость нарастает и спадает колоколом:

где $v_0$ — наибольшая скорость, а $\tau$ — время, за которое толчок разворачивается и стихает. Так выглядит короткий разгон с плавным началом и плавным концом, ничего экзотического в нём нет. Положение $x(t)$ для такой скорости через элементарные функции не выражается, и это доказано. Никакая конечная комбинация степеней, корней, экспонент, логарифмов и тригонометрических функций не имеет производной $e^{-t^2}$ (теорема Лиувилля об интегрировании в конечном виде). Само перемещение при этом существует и считается, к нему мы вернёмся ниже, когда будет сказано, что такое площадь под графиком.

Что делают в таком случае. Можно дать новой функции имя и посчитать её раз навсегда. Первообразная $e^{-t^2}$ с точностью до множителя названа функцией ошибок $\operatorname{erf}$, затабулирована и лежит в любой библиотеке численных методов. Можно и не искать функцию, а считать площадь численно, тем самым сложением столбиков, к которому мы сейчас перейдём, с шагом, подобранным под нужную точность (Пройдём уравнение движения шагами). Формулы для $x(t)$ не даёт ни один из двух, число в любой заданный момент дают оба.

Есть и третья сторона обратного хода, и её показывает Скорость, пропорциональная координате, где скорость не обязана быть задана как функция времени. Там она задана как функция координаты, графика $v(t)$ нет, площадь под ним считать не с чего, и площадью задача не решается; нужен другой ход, и в задаче он разобран.

До сих пор математический язык только возвращал больше вложенного. В Средняя и мгновенная скорость за две вложенные вещи он выдал скорость в мгновение и направление касательной. Обратный ход оказался целым классом задач, и это первый случай, когда язык вернул границу вместо подарка. Если бы язык только выдавал призы, он был бы фокусом, и верить ему было бы нельзя. Он отвечает то, что считает нужным, включая слово «нет». Поэтому, когда в Нормальное и тангенциальное ускорение он выдаст радиус кривизны, которого в выкладку никто не клал, этому можно будет поверить.

Сложим столбики

Как считать, идея нехитрая. Нарисуем скорость от времени. Возьмём малый промежуток $\Delta t$. На нём скорость почти не меняется, и мы её замораживаем, считаем постоянной. Тогда перемещение на промежутке есть скорость на время, задача седьмого класса:

За счёт чего это работает. Замораживать скорость на промежутке можно, потому что за малое время она меняется мало, и ошибка одного столбика при дроблении убывает быстрее, чем растёт число столбиков. Условие на скорость при этом есть, и нам хватит грубого: она ограничена, скачков у неё считанное число, а между скачками она непрерывна. Этого достаточно; где именно проходит точная граница класса, чертит математика, и физике до неё дела нет. Скачок, как при ударе мяча о стену, портит один столбик, и тот при дроблении схлопывается вместе с остальными. Это единственный раз в главе, когда мы выходим за гладкость, которую сами потребовали от закона движения в Траектория и что от неё требуется. В момент удара у $\vec{r}(t)$ излом, скорость меняется скачком, и производной там нет; площади до этого дела нет.

Дальше режем весь промежуток от $t_0$ до $t$ на $N$ кусочков, на каждом считаем столбик, столбики складываем и устремляем к нулю наибольший из кусочков. Пока самый широкий столбик не схлопнулся, сумма ещё не интеграл:

Здесь $t_0$ и $t$ обозначают начальный и конечный моменты, $\Delta t_i$ длина $i$-го кусочка, $t_i$ момент внутри него. Буква $t'$ под интегралом есть переменная интегрирования, она пробегает все моменты от $t_0$ до $t$. Знак $\int$ читается как растянутая буква $S$, сумма; пределы снизу и сверху говорят, откуда и докуда считаем.

Посмотрим в цифрах, как сумма садится на ответ. Пусть $v(t) = t^2$ (скорость в м/с, время в секундах) на промежутке от $0$ до $2$ с, и скорость на каждом кусочке берётся в его середине. Два столбика дают $2{,}5$ м, четыре дают $2{,}625$ м, восемь дают $2{,}656$ м, шестнадцать дают $2{,}664$ м. Точное значение интеграла $8/3 \approx 2{,}667$ м. Оба дробления нарисованы на рис. 16. При каждом удвоении числа столбиков ошибка падает вчетверо: $0{,}167$, $0{,}042$, $0{,}010$, $0{,}003$ м.

Теперь можно вернуться к толчку колоколом, для которого формулы положения не нашлось. Перемещение за него есть площадь под колоколом, и она конечна, хотя толчок формально не кончается никогда. Возьмём его целиком, от $-\infty$ до $+\infty$. Пределы стоят так не потому, что время бесконечно, а потому, что колокол спадает быстро, и за границами нескольких $\tau$ добавлять уже нечего. Площадь считается точно:

При $v_0 = 2$ м/с и $\tau = 1$ с полное перемещение равно $v_0\tau\sqrt{\pi} = 2 \cdot 1 \cdot 1{,}77 \approx 3{,}5$ м, и размерность сходится, скорость на время. Что «бесконечные» пределы здесь безобидны, видно по счёту: на промежутке от $-2\tau$ до $2\tau$ набирается $99{,}5\%$ этой площади, дальше прибавляются доли процента. Формулы для $x(t)$ по-прежнему нет, а число есть.

Сумма столбиков есть площадь под кривой. Значит, площадь под графиком скорости и есть перемещение, с одной оговоркой: график нарисован для одной проекции, и площадь под ним даёт проекцию перемещения на ту же ось. Полное перемещение собирается из трёх таких площадей:

На чём это держится. В Выберем тело отсчёта и оси оси прикручены болтами, и в Средняя и мгновенная скорость это дало покомпонентную производную. Сейчас та же договорённость работает второй раз, и векторный интеграл разваливается на три обычных, по одному на ось, потому что единичные векторы осей от времени не зависят и из-под интеграла выносятся. Третий раз она понадобится в Ускорение: как меняется скорость.

Заметим знак площади

Площадь под графиком считается со знаком. Пока проекция скорости неотрицательна, столбики стоят над осью и складываются; как только скорость ушла ниже оси, столбики уходят под ось и входят в перемещение со знаком минус. Пусть $v_x(t) = 3 - 2t$ (м/с) на промежутке от $0$ до $3$ с. До момента $1{,}5$ с точка едет вперёд и набирает $2{,}25$ м, после него едет назад и теряет столько же. Перемещение равно нулю. Сколько при этом точка проехала, площадь со знаком не говорит, а для этого столбики складывают по модулю скорости, и так определяется путь (Путь: длина пройденной кривой, рис. 17). Там же разобрано, когда площадь под графиком одной проекции путём быть перестаёт.

Найдём постоянную интегрирования

Считать площадь столбиками каждый раз не нужно. Функция $\vec{F}(t)$, производная которой равна $\vec{v}(t)$, называется первообразной скорости, и площадь получается вычитанием, значение в верхнем пределе минус значение в нижнем:

Это формула Ньютона и Лейбница, и она освобождает от суммирования столбиков навсегда. Для $v_x = 3 - 2t$ первообразная есть $3t - t^2$, и от $0$ до $3$ с она даёт $9 - 9 - 0 = 0$, то же перемещение, что и площадями.

Первообразная определена неоднозначно. К ней можно добавить любую постоянную, и производная не заметит, потому что постоянная дифференцируется в ноль. Так получается обещанный исход «ответов несколько», первообразных целое семейство, и на поставленный вопрос отвечает любая из них. Математике эта постоянная досталась даром, из её собственного устройства; ни про какое тело отсчёта, ни про какие часы она не знала. А чем эта постоянная вышла у нас? Интеграл скорости даёт изменение положения. Чтобы получить само положение, нужно знать, откуда точка вышла, то есть ровно одно число на ось:

где $\vec{r}_0 = \vec{r}(t_0)$ — положение в начальный момент. Постоянная интегрирования и начальные условия совпали буквально, число в число. Первообразная скорости определена с точностью до константы, именно поэтому нам нужно знать начальные условия. Для той же скорости $v_x = 3 - 2t$ и старта из $x_0 = 5$ м получается $x(t) = 5 + 3t - t^2$; проверка дифференцированием возвращает $3 - 2t$, а в момент $3$ с точка снова стоит в $5$ м, как и обещала площадь. Требование начальных условий в постановке задачи кинематики (Радиус-вектор и координаты) звучало как соглашение учебника; интеграл сам просит одно число на ось, и взять его больше неоткуда.

Первая решённая обратная задача, где всё это работает на известном ответе, разобрана в Проинтегрируем постоянное ускорение.

В Перемещение остался долг, путь там назван, но не определён, потому что нечем было. Инструмент появился в Интегрирование скорости: обратная задача, это то самое разбиение на столбики, в котором площадь под графиком скорости дала перемещение. Как посчитать, сколько точка проехала вдоль траектории, если известна её скорость $\vec v(t)$?

Складываем длины вместо векторов

При интегрировании скорости промежуток времени разбивался на малые куски $\Delta t_i$, на каждом скорость считалась постоянной, и малые перемещения $\vec v(t_i)\,\Delta t_i$ складывались в полное. Возьмём то же разбиение и сложим не векторы, а их длины. На малом промежутке точка едет почти по прямой и почти с постоянной скоростью, значит длина куска траектории, пройденного за $\Delta t_i$, есть примерно $|\vec v(t_i)|\,\Delta t_i$. Сумма таких длин при измельчении разбиения даёт длину всей кривой:

Это и есть путь $s$ за промежуток от $t_1$ до $t_2$, интеграл от модуля скорости. Малый кусок пути $ds = |\vec v|\,dt$ дальше работает как длина дуги в выводе нормального ускорения (Нормальное и тангенциальное ускорение).

Размерность сходится, (м/с)·с даёт метры. При постоянном модуле скорости $|\vec v| = v$ интеграл даёт $s = v\,(t_2 - t_1)$, школьную формулу равномерного движения, и направление скорости в неё не входит, так что круг и прямая при одном $v$ дают один путь.

Чем путь отличается от перемещения

Вся разница сидит в модуле под интегралом. Перемещение — это $\int \vec v\,dt$, вектор. Путь — это $\int |\vec v|\,dt$, число, и оно не меньше длины перемещения: $s \ge |\Delta \vec r|$, потому что по неравенству треугольника длина суммы векторов не больше суммы их длин. Равенство достигается, только когда все куски направлены одинаково, то есть при движении по прямой в одну сторону.

Маятник качается по закону $x(t) = A\cos\omega t$ с амплитудой $A$ и постоянной $\omega$ размерности 1/с; $T$ есть период, время одного полного колебания, за которое аргумент косинуса набирает $2\pi$. Скорость $v = dx/dt = -A\omega\sin\omega t$. За четверть периода, от крайнего положения до среднего, точка проходит $A$; четыре четверти дают $4A$. Тот же ответ даёт интеграл $\int_0^T A\omega\,|\sin\omega t|\,dt = A\omega \cdot 4/\omega = 4A$. За период аргумент $\omega t$ пробегает $2\pi$, модуль синуса на отрезке длины $2\pi$ набирает площадь $4$, и интеграл по времени равен $4/\omega$. При $A = 10$ см путь за период равен $40$ см, а перемещение за период нулевое, точка вернулась туда, откуда вышла.

Разберём, когда площадь под графиком даёт путь

График $v_x(t)$ показывает одну проекцию скорости. Площадь под ним с учётом знака есть $\int v_x\,dt = \Delta x$, проекция перемещения. Путём эта площадь становится при двух условиях сразу: движение идёт по прямой вдоль оси $x$, так что $|\vec v| = |v_x|$, и знак $v_x$ не меняется, так что модуль ничего не меняет. Тогда оба интеграла дают одно число, и площадь под графиком есть разом и перемещение, и путь.

Как только скорость ушла ниже оси, площадь под осью входит в перемещение со знаком минус, а в путь со знаком плюс. Для $v_x = 3 - 2t$ из Интегрирование скорости: обратная задача две площади по $2{,}25$ м гасят друг друга в перемещении и складываются в путь $4{,}5$ м.

Для кривой траектории под модулем стоит вся скорость, все три проекции разом, и с графика одной проекции путь не снимается. Посчитаем для окружности. За один оборот по окружности радиуса $1$ м со скоростью $1$ м/с путь равен длине окружности, $2\pi \approx 6{,}28$ м. Проекция скорости на ось $x$ при этом меняется как $-\sin t$, и площадь под графиком её модуля за оборот равна $4$ м, что меньше пути, потому что проекция не видит движения вдоль $y$.

В Графики пути и ускорения по графику скорости движение прямолинейное и скорость всюду неотрицательна, поэтому площадь под графиком там законно названа путём.

Скорость описывает, как меняется положение точки со временем. А как меняется сама скорость? За это отвечает ускорение. Новой договорённости здесь не понадобится, потому что описание не сужается и ничего не выбрасывается. То же действие, которым из радиус-вектора получена скорость, применяется ещё раз, к другому вектору. Если скорость точки меняется, значит, у неё есть ускорение.

Со скоростью мы шли в два шага: изменение положения, делённое на промежуток времени, дало среднюю скорость, а предел при стягивании промежутка дал мгновенную. Пройдём те же два шага для скорости.

Усредним изменение скорости

Пусть за промежуток времени $\Delta t$ скорость изменилась на $\Delta \vec{v} = \vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)$. Среднее ускорение на этом промежутке есть отношение изменения скорости к промежутку:

Это вектор, потому что разность двух векторов делится на число. Величина рабочая, ею пользуются без всякого предела. Автомобиль разогнался с места до 100 км/ч за 5 с. Скорость изменилась на $27{,}8$ м/с, среднее ускорение равно $27{,}8/5 \approx 5{,}6$ м/с$^2$, чуть больше половины ускорения свободного падения. Как менялось ускорение внутри этих пяти секунд, среднее не говорит.

Стянем промежуток к нулю

Чтобы получить ускорение в данный момент, промежуток $\Delta t$ стягивается к нулю, как при переходе от средней скорости к мгновенной:

Предел записывается как производная скорости по времени:

Размерность сходится, скорость в м/с делится на время в с и получается м/с$^2$. Ускорение показывает, как быстро скорость увеличивается или уменьшается и как поворачивается её направление, ведь приращение $\Delta \vec{v}$ есть вектор, и лежать вдоль $\vec{v}$ он не обязан. Ускорение относится к скорости так же, как скорость относится к перемещению. Если скорость есть темп, с которым точка перемещается, то ускорение есть темп, с которым она меняет свою скорость.

Продифференцируем столбец дважды

Скорость сама была производной радиус-вектора, значит ускорение есть производная от производной, вторая производная положения по времени:

Запишем это по осям. Радиус-вектор в декартовых осях есть столбец из трёх координат, каждая из которых зависит от времени, как записано в Радиус-вектор и координаты, и каждая дифференцируется дважды:

Право так писать даёт договорённость о неподвижных осях из Выберем тело отсчёта и оси, уже в третий раз. Оси прикручены болтами, базисные векторы $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ от времени не зависят, и производная их не трогает, так что дифференцируются одни коэффициенты при них. Оси заведены один раз, а куплены за это покомпонентная производная, покомпонентный интеграл и теперь покомпонентная вторая производная. В осях, которые сами поворачиваются, так писать нельзя, потому что базисный вектор тогда меняется со временем и из-под производной не выносится. Чем это оборачивается, показано в Нормальное и тангенциальное ускорение, где оси посажены на движущуюся точку.

Посмотрим на примере. Пусть координаты точки в метрах и секундах заданы законом $x = 2t$, $y = 3t^2$, $z = 0$. Дифференцируем по столбцу: $\vec{v} = (2,\ 6t,\ 0)$ м/с, $\vec{a} = (0,\ 6,\ 0)$ м/с$^2$. Вдоль $x$ скорость постоянна и ускорения нет, вдоль $y$ ускорение постоянно и равно $6$ м/с$^2$; траектория при этом парабола $y = 3x^2/4$. Так по любому закону движения $\vec{r}(t)$ вычисляются $\vec{v}(t)$ и $\vec{a}(t)$, две производные, каждая покомпонентно.

Пойдём обратно от ускорения к скорости

Обратная задача решается той же машиной, что в Интегрирование скорости: обратная задача. Ровно та же идея, только ступенью ниже. Если ускорение задано как функция времени, то на малом промежутке скорость меняется на $\Delta \vec{v} \approx \vec{a}(t)\,\Delta t$, а сумма таких изменений в пределе даёт интеграл:

На графике зависимости ускорения от времени это площадь под кривой между $t_0$ и $t$. Площадь даёт изменение скорости, а не саму скорость. Чтобы получить $\vec{v}(t)$, нужна постоянная, скорость в начальный момент $\vec{v}(t_0)$, и интеграл её не знает, её измеряют. Второй такой же шаг, от скорости к положению, требует второй постоянной, $\vec{r}(t_0)$. Как это работает при постоянном ускорении и откуда в формуле для координаты берётся квадрат времени, показано в Проинтегрируем постоянное ускорение.

Раз операция та же самая, её можно применить не только к радиус-вектору. У вектора скорости есть собственная траектория, и на ней ускорение при движении по окружности получается геометрией, без вычисления производных (Годограф: скорость заводит свою траекторию).

Что можно получить из одного условия? Возьмём ровно одно. Ускорение постоянно, $\vec{a} = \mathrm{const}$, один вектор, который не меняется со временем. Больше ничего не берём: ни того, где тело было, ни того, куда оно летело. Такое бывает: свободное падение, пока сопротивлением воздуха можно пренебречь, или скатывание по наклонной плоскости. Посмотрим, что обратный ход из Интегрирование скорости: обратная задача выдаст за это одно условие.

Проинтегрируем ускорение

Ускорение есть производная скорости, $\vec{a} = d\vec{v}/dt$, так оно определено в Ускорение: как меняется скорость. Значит, скорость получается из ускорения тем же действием, каким перемещение получалось из скорости, площадью под графиком. График $a(t)$ для постоянного ускорения есть горизонтальная прямая на высоте $a$, площадь под ней от нуля до $t$ есть прямоугольник со сторонами $a$ и $t$. Интеграл говорит то же самое:

Постоянный вектор вынесен из-под интеграла, а $\int_0^t dt' = t$. Изменение скорости известно, а сама скорость нет, для неё нужна постоянная. Она, как показано в Интегрирование скорости: обратная задача, есть значение в нулевой момент, $\vec{v}(0) = \vec{v}_0$:

Проинтегрируем ещё раз

Теперь тот же ход для скорости. График $v(t)$ есть наклонная прямая, которая начинается на высоте $v_0$ и растёт с наклоном $a$. Площадь под ней от нуля до $t$ складывается из прямоугольника $v_0 t$ и треугольника с катетами $t$ и $at$, то есть $at^2/2$. То же самое даёт интеграл:

где использовано $\int_0^t t' \, dt' = t^2/2$, площадь треугольника. Снова нужна постоянная, положение в нулевой момент $\vec{r}(0) = \vec{r}_0$:

Векторный интеграл разваливается по осям, потому что оси неподвижны, тем же правом, каким в Интегрирование скорости: обратная задача развалился интеграл скорости, и обе формулы читаются столбцом, как обещано в Радиус-вектор и координаты:

Здесь в первом столбце справа стоят координаты начального положения $x_0, y_0, z_0$, во втором проекции начальной скорости $v_{0x}, v_{0y}, v_{0z}$, в третьем проекции ускорения $a_x, a_y, a_z$. Каждая строка живёт отдельно от других.

Посчитаем, что вложили и что получили

Вложен один вектор, $\vec{a}$. Обратно язык выдал две формулы и два вектора сверх того, $\vec{v}_0$ и $\vec{r}_0$, которых в него не клали. Они выпали из математики как свободные постоянные, потому что интеграл сам по себе их не определяет. И вышло, что это те самые две вещи, которые физик и меряет на старте: где тело было и куда летело.

Почему в одной формуле $t$, а в другой $t^2$, видно по тем же площадям, и вся цепочка стоит на рис. 18. Площадь под горизонтальной прямой растёт как $t$, а под наклонной к прямоугольнику прибавляется треугольник, и он растёт как $t^2$.

Размерность сходится, $(\text{м/с}^2) \cdot \text{с}^2 = \text{м}$, и каждое слагаемое в формуле для $\vec{r}$ измеряется в метрах. В предельном случае $\vec{a} = 0$ скорость остаётся $\vec{v}_0$, а $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t$, равномерное прямолинейное движение.

Круг замыкается дифференцированием в обратную сторону. Производная от $\vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \vec{a} t^2/2$ равна $\vec{v}_0 + \vec{a} t$, а производная от неё равна $\vec{a}$. До обратного хода формулу можно было только так и проверить, взяв её готовой; после него она получается.

Допущение постоянного ускорения местное. Если $\vec{a}$ меняется во времени по известному закону, как тяга двигателя, которую снижают по программе, формулы выше не работают, а ход работает, под интегралом стоит $\vec{a}(t')$, и площадь считается по её графику. Сопротивление воздуха в этот ход не укладывается, потому что там ускорение зависит от скорости, а не от времени, и графика $a(t)$ нет, пока не найдена сама $v(t)$; площадью такая задача не берётся. Это граница площадного хода, названная в Интегрирование скорости: обратная задача; как её обходят, показывает Скорость, пропорциональная координате.

Бросим мяч под углом

Мяч брошен со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, ось $x$ горизонтальна, ось $y$ направлена вверх, начало координат в точке броска. Ускорение одно, свободного падения: $a_x = 0$, $a_y = -g$. Начальная скорость раскладывается на $v_{0x} = v_0\cos\alpha$ и $v_{0y} = v_0\sin\alpha$. Формула столбцом даёт две строки. По горизонтали ускорения нет, и она вырождается: $x = v_0\cos\alpha \cdot t$. По вертикали формула работает целиком:

Вопрос «когда упадёт» переводится на язык математики как «когда $y$ снова обратится в ноль». Это квадратное уравнение $t\,(v_0\sin\alpha - gt/2) = 0$ с двумя корнями: $t = 0$, момент броска, и

Подстановка $T$ в горизонтальную строку даёт дальность:

При $v_0 = 19{,}6$ м/с, $\alpha = 45^\circ$ и $g = 9{,}8$ м/с$^2$ время полёта $T = 2 \cdot 19{,}6 \cdot 0{,}707 / 9{,}8 \approx 2{,}83$ с, дальность $L = 19{,}6^2 \cdot 1 / 9{,}8 = 39{,}2$ м. Размерность сходится, (м/с)/(м/с$^2$) = с для времени, (м/с)$^2$/(м/с$^2$) = м для дальности. Обе строки столбца видны на рис. 19. Это те самые $T$ и $L$, с которых начинается Мяч и бегущий игрок; теперь они не взяты готовыми, а получены из одного условия $\vec{a} = \mathrm{const}$.

Операция, которая из радиус-вектора делает скорость, а из скорости ускорение, одна и та же (Ускорение: как меняется скорость). Если она правда та же, её можно применить не только к радиус-вектору. Что получится, если завести систему координат для второго вектора, для самой скорости?

Возьмём точку, движущуюся по окружности радиуса $R$ с постоянной по модулю скоростью $v$. Начало отсчёта поставим в центр окружности, и тогда радиус-вектор $\vec{r}$ ведёт из центра к точке, а скорость $\vec{v}$ направлена по касательной и всё время перпендикулярна $\vec{r}$, потому что радиус окружности перпендикулярен касательной. Теперь возьмём все векторы скорости за один оборот и перенесём их в одну точку, отложим из общего начала. Множество концов вектора скорости называется годографом. Мы ввели систему координат уже для вектора скорости, и на траектории радиус-вектор показывает, где точка находится, а на годографе вектор из общего начала показывает, как она движется.

Чего у годографа нет

Годограф в комнате не живёт. Вокруг него нет ни стен, ни траектории, по его осям стоят метры в секунду, и по стрелке, отложенной из общего начала, нельзя узнать, где точка находится. Вектор скорости от этого существовать не перестаёт, мы просто берём его и смотрим, какую линию описывает его конец, пока точка движется.

В две ловушки здесь попасть легко. Годограф не спидометр, ведь спидометр даёт одно число, а у вектора есть ещё направление. И при постоянной по модулю скорости на годографе ничего не стоит на месте, потому что модуль не меняется, направление меняется всё время, и вектор скорости, отложенный из общего начала, поворачивается за то же время на тот же угол, что и радиус-вектор на траектории.

Заплатить за годограф приходится одной наглядностью, потому что картинка перестаёт быть картой комнаты. Новой договорённости о сцене здесь нет.

Потребуем равномерности

Прежде чем считать, назовём условие, при котором всё дальнейшее верно. Движение по окружности берётся равномерным, то есть модуль скорости $v$ один и тот же во все моменты времени. Только при этом годограф выходит окружностью с центром в общем начале, из которого отложены векторы. Длина вектора постоянна, меняется одно направление, и конец вектора обводит окружность радиуса $v$.

Кое-что достаётся и без условия. Периоды траектории и годографа совпадают при любом периодическом движении. Повторился через время $T$ радиус-вектор, повторилась через то же $T$ и скорость, ведь она из радиус-вектора и вычисляется. Здесь $T$, период обращения, есть время одного полного оборота. Формула для него через угловую скорость появится в Угловая скорость, пока период берётся как время, которое можно измерить секундомером.

Условие покупает другое, и без этого счёт не пойдёт: годограф выходит именно окружностью, и конец вектора скорости бежит по ней равномерно (рис. 20). Скорость всё время перпендикулярна радиус-вектору, значит поворачивается на тот же угол, что и он, а радиус-вектор при равномерном движении поворачивается равномерно. Вот теперь длину годографа можно делить на период и получать модуль ускорения, ровно так же, как длину окружности делят на период и получают модуль скорости.

Равномерность здесь условие счёта, которое требуем мы ради простой арифметики; к сцене оно отношения не имеет, и всё, что получено ниже, верно для равномерного движения по окружности и ни для чего больше.

Считаем модуль ускорения

На траектории точка обходит окружность радиуса $R$ за время $T$, длина пути равна $2\pi R$, и скорость есть длина окружности, делённая на период обращения:

На годографе та же арифметика для другой окружности. Годограф есть окружность радиуса $v$, её длина $2\pi v$, и проходится она за то же самое $T$, причём равномерно. Длина годографа, делённая на период, есть скорость, с которой конец вектора скорости бежит по годографу, то есть скорость изменения скорости, ускорение:

Поделим одно на другое. Из первой формулы $2\pi/T = v/R$, из второй $2\pi/T = a/v$. Приравниваем:

Это то самое центростремительное ускорение, которое появлялось в школе при движении тела по окружности. Здесь оно получено из двух окружностей, пройденных равномерно за одно и то же время: величина делением длины на период, направление, ниже, из предела отношения; вычислять производную не пришлось ни разу.

Размерность сходится: (м/с)$^2$/м = м/с$^2$, а в записи $2\pi v/T$ м/с делятся на с, и выходит то же. Предельный случай: при заданной $v$ и $R \to \infty$ период $T = 2\pi R/v$ растёт без предела, ускорение $a = 2\pi v/T$ стремится к нулю, окружность превращается в прямую, а на прямой скорости менять направление незачем. Возьмём окружность радиуса $R = 1$ м и скорость $v = 2$ м/с. Период $T = 2\pi \cdot 1/2 = \pi \approx 3{,}14$ с. По годографу $a = 2\pi \cdot 2/\pi = 4$ м/с$^2$; по формуле $a = v^2/R = 4/1 = 4$ м/с$^2$. Обе дороги сходятся на четырёх метрах в секунду за секунду, это чуть меньше половины $g$.

Куда направлено ускорение

Направление читается с годографа по правилу, известному из Средняя и мгновенная скорость. Отношение $\Delta\vec v/\Delta t$ направлено вдоль хорды годографа между двумя близкими концами вектора скорости; при сжатии промежутка хорда исчезает, а направление отношения устанавливается и совпадает с касательной к годографу. Так же, как скорость касательна к траектории, ускорение касательно к годографу. Годограф окружность, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, а радиус годографа есть сам вектор скорости. Стало быть, ускорение перпендикулярно скорости, то есть лежит вдоль радиуса исходной окружности. В центр или из центра, отсюда ещё не видно.

Возвращаемся на траекторию и смотрим, в какую сторону всё крутится. Скорость направлена как радиус-вектор, повёрнутый на $90^\circ$ вперёд, по ходу движения, ведь она касательна к окружности и смотрит туда, куда едет точка. Пока радиус-вектор поворачивается на некоторый угол, вектор скорости поворачивается на тот же угол и в ту же сторону, поэтому конец вектора скорости обегает годограф в ту же сторону, в какую точка обегает окружность. Тогда ускорение, касательное к годографу по ходу обхода, направлено как вектор скорости, повёрнутый на те же $90^\circ$ вперёд. Мы поворачиваем скорость относительно радиуса на $90^\circ$ и потом ещё на $90^\circ$, оба раза в одну сторону, и два таких поворота дают $180^\circ$, так что ускорение смотрит против радиус-вектора, в центр. В векторной записи

где $\vec{r}/R$ есть единичный вектор от центра к точке, а знак минус и означает «к центру».

Взяв производную от положения, мы получили скорость, вещь ожидаемую. Применив ровно ту же самую идею о том, как мы работаем с перемещением и скоростью, мы перешли к работе с годографом скорости и ускорением и получили ровно те же самые выгоды: центростремительное ускорение, величину и направление, и оказалось, что ни величину, ни направление в выкладку никто не клал. В Средняя и мгновенная скорость отношение двух исчезающих величин дало конечное число, и вместе с ним пришло направление, которого не спрашивали. В Интегрирование скорости: обратная задача площадь под графиком совпала с перемещением, а на вопрос об обратном ходе язык ответил границей, целым классом задач, в котором он умеет сказать «нет». Здесь он ведёт себя как в первом из двух этих случаев, ведь одну и ту же операцию перенесли на новую кривую, а вернулось из неё больше, чем перенесли.

Проверяем столбцом

Тот же ответ обязан получиться и покоординатно, второй производной столбцом из Ускорение: как меняется скорость. Направим ось $x$ через положение точки в начальный момент. При равномерном обходе угол между $\vec{r}$ и осью $x$ растёт пропорционально времени и за период набирает $2\pi$, поэтому

Третья координата равна нулю и опущена. Модуль скорости равен $2\pi R/T$ во все моменты, как и было заложено условием; скалярное произведение $\vec{r} \cdot \vec{v}$ равно нулю, скорость перпендикулярна радиус-вектору. Ускорение равно $-(2\pi/T)^2\,\vec{r}$, то есть направлено против $\vec{r}$, в центр, а по модулю $(2\pi/T)^2 R = v^2/R$ после подстановки $2\pi/T = v/R$. При $R = 1$ м и $T = \pi$ с множитель $(2\pi/T)^2 = 4$ с$^{-2}$, и $a = 4$ м/с$^2$, те же четыре, что выше.

Что здесь репетировалось

Мы завели систему координат не там, где привыкли, а для самого вектора, безо всякой комнаты. Так можно; картинка при этом теряется, а ответ получается. Последний такой ход в главе делается в Нормальное и тангенциальное ускорение, где оси сажаются на саму движущуюся точку и цена оказывается выше здешней; годограф был его репетицией.

Формула $v^2/R$ получается в главе дважды, здесь геометрией и там анализом, и это разные выводы. Здесь ответ держится на двух лишних условиях, окружности и равномерности. Там оба снимаются, и нормальная часть ответа становится верна для любой кривой и любого движения по ней.