Произвольное движение твёрдого тела

Мотор крутит вертикальный вал с угловой скоростью $\omega = 10$ рад/с, вал держат два подшипника на $0{,}1$ м выше и ниже точки $O$. Через $O$ на валу закреплена штанга с двумя массами по $0{,}5$ кг на расстоянии $0{,}2$ м от $O$. Бирюзовая стрелка показывает момент импульса $\vec L$, сложенный по массам, пунктир того же цвета отмечает конус, который он обходит, а стрелка на валу его проекцию $L_z$. Зелёным нарисованы силы подшипников $\vec R_1$, $\vec R_2$ и момент сил у конца $\vec L$, оранжевым угловая скорость.

Ползунок наклоняет штангу к валу от $0$ до $90°$, кнопки ставят $90°$, $45°$ и $56{,}3°$. При $90°$ момент импульса лежит на оси, $L_z = 0{,}400$ кг·м$^2$/с, и поперёк вала подшипники не нагружены. При $45°$ вектор $\vec L$ перпендикулярен штанге и обходит конус: его модуль $0{,}283$, на ось приходится $0{,}200$ кг·м$^2$/с. Момент сил, который его поворачивает, демка считает тремя путями: разностью $\vec L$ на соседних шагах счёта, формулой $\vec\omega\times\vec L$ и парой реакций на базе $0{,}2$ м. Все три дают $2{,}000$ Н·м, реакции по $10{,}0$ Н, вдвое больше веса массы. При $56{,}3°$ момент $1{,}846$ Н·м и реакции по $9{,}23$ Н.

«Отпустить вал» убирает вал вместе с опорами. Скорости масс в этот миг не меняются, момента сил больше нет, и $\vec L$ стоит на месте. Гантель вращается вокруг него с угловой скоростью $\omega\sin\alpha$, при $45°$ это $7{,}07$ рад/с. Штанга ходит в плоскости, перпендикулярной $\vec L$, энергия остаётся $1{,}00$ Дж. Центр масс демка держит на месте: тяжесть момента относительно него не даёт. При $90°$ отпущенная гантель вращается как прежде: вокруг оси, на которой лежит момент импульса, телу опоры не нужны. «Медленно» замедляет время в пять раз, сцену можно повернуть мышью, двойной щелчок возвращает вид.

Вид сверху на скамью Жуковского: платформа крутится без трения, на ней стоит человек с двумя гантелями по $2$ кг. Человек со скамьёй без гантелей имеет момент инерции $1{,}6$ кг·м$^2$, а две гантели на расстоянии $r$ от оси добавляют $2mr^2$. Бирюзовые стрелки у гантелей показывают скорости, оранжевые натяжение руки. Бирюзовая дуга растёт вместе с угловой скоростью.

Ползунок ставит руки на расстояние от $0{,}75$ до $0{,}20$ м от оси. «Свести плавно» подтягивает гантели к груди за три секунды, «Развести плавно» возвращает их. Скамья стартует с полуоборота в секунду при разведённых руках. Момент инерции падает с $3{,}85$ до $1{,}76$ кг·м$^2$, угловая скорость растёт с $3{,}14$ до $6{,}87$ рад/с. Момент импульса $L_z = I_z\omega = 12{,}1$ кг·м$^2$/с стоит на месте. Демка его постоянным не закладывает: угловая скорость считается из уравнения моментов без внешнего момента, а $L_z$ получается произведением.

Энергия $K = L_z^2/2I_z$ вырастает с $19{,}0$ до $41{,}6$ Дж. Откуда она берётся, показывает строка «работа рук»: демка набирает работу интегралом натяжения руки по перемещению гантелей и получает $22{,}6$ Дж, ровно прирост энергии. Человек с гантелями не твёрдое тело: расстояния между его частями меняются, и внутренние силы мышц совершают работу, а у твёрдого тела её нет. Так же рука тянула шарик на нити в пятой неделе.

Шесть тел одной массы и одного радиуса стартуют вместе и скатываются по склону, каждое по своей дорожке: обруч, тонкая сфера, диск, шар, колесо со спицами и брусок без трения. У дорожки стоят число $\beta = I/(mR^2)$ тела, ускорение $g\sin\theta/(1+\beta)$, порог трения покоя $\mu_{\min} = \beta\,\operatorname{tg}\theta/(1+\beta)$ и режим: катится или проскальзывает. Показ замедлен в четыре раза, настоящая гонка короче секунды.

Ползунки меняют наклон, коэффициент трения и долю массы колеса в спицах, и любой из них пускает гонку заново. При $30^\circ$ и $\mu = 0{,}30$ катятся все пять тел, и порядок задаёт только $\beta$: брусок приходит за $0{,}639$ с, шар за $0{,}756$, диск за $0{,}782$, тонкая сфера за $0{,}824$, колесо с пятой частью массы в спицах за $0{,}872$, обруч за $0{,}903$. При $40^\circ$ обруч, тонкая сфера и колесо уже проскальзывают: у них одно ускорение $g(\sin\theta-\mu\cos\theta) = 4{,}05$ м/с², они приходят вместе за $0{,}703$ с, а диск и шар ещё катятся.

Внизу стоят энергии при качении тела массой $1$ кг на скорости $5$ м/с: обод $25{,}00$ Дж, колесо с пятой частью массы в спицах $23{,}33$ Дж, диск $18{,}75$ Дж. Приближение обода завышает энергию этого колеса на $7{,}1$ процента, при половине массы в спицах на $20$ процентов, при всей массе в спицах на $50$.

Пластинка $2\times1$ м массой $1$ кг лежит на месте, а ползунок поворачивает оси $x'$ и $y'$ в её плоскости. Справа матрица тензора инерции в этих осях: на диагонали осевые моменты $I_{x'x'}$ и $I_{y'y'}$, вне диагонали центробежный момент $I_{x'y'} = -\int x'y'\,dm$, с минусом, как в главе.Фиолетовая кривая на сцене получена сечением эллипсоида инерции плоскостью пластинки и тоже стоит на месте. Весь эллипсоид вместе с секущей плоскостью показан схемой в левом нижнем углу.

Эллипсоид задан так, как в главе: его радиус в любом направлении равен $0{,}5/\sqrt{I}$, где $I$ момент инерции вокруг этого направления (число $0{,}5$ выбрано ради рисунка). Он принадлежит пластинке, и поворот осей его не трогает. Там, где ось пересекает сечение, по радиусу виден её осевой момент.

В осях по сторонам осевые моменты $0{,}083$ и $0{,}333$ кг·м², центробежный момент ноль, оси главные. Под $45°$ оба осевых момента по $0{,}208$, центробежный $0{,}125$, и осевые моменты перестали быть главными. Сумма осевых $0{,}417$ и главные моменты $0{,}083$ и $0{,}333$ при любом повороте остаются теми же. Кнопка «К главным осям» доворачивает оси до нулевого центробежного момента, «Крутить» гоняет их туда и обратно.

Матрицу демка считает суммой по клеткам пластинки. Та же матрица выходит из формул для прямоугольника и из закона преобразования $\hat I' = R\hat I R^{\mathsf T}$, расхождение не больше $10^{-15}$ кг·м².

Колесо радиуса $R$ едет по дороге, а камера едет вместе с центром, поэтому колесо стоит, и мимо него идёт дорога. Бирюзовые стрелки показывают скорости восьми точек обода. Кольцо с крестом отмечает мгновенную ось, точку с нулевой скоростью, а пунктиры ведут от неё к точкам обода: каждая стрелка перпендикулярна своему пунктиру. Точка $B$ на ободе оставляет след, и к нему прилегает оливковая окружность кривизны. «К верху» ставит $B$ в верхнее положение, «Пуск» запускает показ вчетверо медленнее натуры, ползунок «Поворот» ведёт $B$ по следу.

Колесо с $R = 0{,}5$ м и $v_0 = 2$ м/с катится без проскальзывания, и наверху точка $B$ идёт со скоростью $4$ м/с, это $2v_0$. До мгновенной оси у неё $1$ м, это $2R$, радиус кривизны следа $2$ м, это $4R$, и центр этой окружности лежит под дорогой, вдвое дальше от $B$, чем точка касания. Эти числа демка не подставляет. Скорости и ускорения она берёт разностями положений, ось ищет как точку, где сходятся перпендикуляры к скоростям, а радиус кривизны считает двумя путями, по трём точкам следа и по $v^3/|\vec v\times\vec a|$. Наверху пути расходятся на $10^{-11}$ м.

Слой «Ускорения» показывает, что у каждой точки обода ускорение идёт к центру и равно $\omega^2R = 8$ м/с², пока $v_0$ постоянна. Серый пунктир у $B$ рисует направление, которое дало бы вращение вокруг мгновенной оси, и туда ускорение не смотрит. Ползунок «Проскальзывание» меняет $v_0$ при прежней угловой скорости. При $v_0 = 3$ м/с колесо идёт юзом, точка касания скользит по дороге вперёд, и ось уходит на $0{,}25$ м под дорогу; при $v_0 = 1$ м/с колесо буксует, и ось поднимается на $0{,}25$ м в колесо. Скорость каждой точки по-прежнему перпендикулярна отрезку до оси и равна $\omega d$.

Катушка лежит на столе, на её вал намотана нить, и рука тянет нить вправо и вверх под углом $\alpha$ с силой $F$ в долях $mg$. Вал вдвое тоньше обода, $r = R/2$, коэффициент трения $0{,}3$. Нить сходит с вала снизу, её линия действия продолжена штрихом до стола, и видно, по какую сторону от точки касания $A$ она его пересекает. Внизу полоска показывает, сколько трения нужно катушке, чтобы катиться без проскальзывания, и сколько его есть.

Сначала двигайте угол. Пока линия силы пересекает стол левее $A$, катушка катится к руке, правее катится от руки. На критическом угле $60^\circ$, где $\cos\alpha = r/R$, линия идёт через $A$, момент относительно $A$ равен нулю, и покоившаяся катушка стоит.

Потом двигайте силу. На $60^\circ$ трение покоя держит катушку, пока тяга не больше $0{,}3948\,mg$. При $0{,}6\,mg$ трения не хватает: нужно $0{,}300\,mg$, а предел $0{,}144\,mg$. Точка касания проскальзывает, центр едет к руке с ускорением $0{,}156\,g$, а обод крутится против хода, вдвое быстрее центра. Момент нити относительно $A$ при этом нулевой, а катушка раскручивается: вид $I_A\varepsilon = M_A$ верен только при качении. Само уравнение моментов относительно точки касания, которая едет вместе с центром, годится и при проскальзывании, и момент импульса относительно неё остаётся нулевым.

Карточка поворачивается дважды на один и тот же угол вокруг неподвижных осей, вертикальной и поперечной, вдоль экрана. Слева сперва поворот, потом переворот, справа наоборот. Оси стоят на месте и не едут вместе с карточкой.

Справа три числа при выбранном угле, каждое под своей подписью. Два поворота подряд можно заменить одним: это эквивалентный поворот, и его угол у обоих порядков один, а оси разные. Расхождение порядков показывает, на какой угол одна укладка отличается от другой. Сумма векторов говорит, что вышло бы, будь поворот вектором.

При $90°$ эквивалентный поворот и расхождение порядков совпадают, оба $120°$, а сумма векторов даёт $127{,}3°$. Ползунок ведёт угол от $90°$ до $5°$. При $60°$ все три числа разные: $82{,}8°$, $57{,}9°$ и $84{,}9°$. Чем угол меньше, тем ближе сумма векторов к одному повороту: бесконечно малые повороты складываются как векторы, конечные нет.

Тело летит без опор, и момента сил относительно центра масс у него нет. Это брусок со сторонами 1:2:3, главные моменты инерции которого относятся как 5:10:13, или телефон $15 \times 7 \times 0{,}8$ см с моментами $1 : 4{,}55 : 5{,}52$. Бирюзовая стрелка показывает момент импульса $\vec L$, оранжевая угловую скорость $\vec\omega$, за концом $\vec\omega$ тянется след. Тело покрашено двумя половинами вдоль средней оси, чтобы было видно, куда она смотрит. Сцену можно повернуть мышью.

Кнопки раскручивают тело вокруг оси наибольшего, среднего или наименьшего момента с малым отклонением. Вокруг крайних осей тело покачивается и держит ось. При вращении вокруг средней оси $\vec L$ тоже стоит, а тело раз за разом переворачивается: зелёная половина уходит от $\vec L$ вниз и возвращается. Брусок, у которого составляющие угловой скорости по осям тела на старте относятся как $0{,}01 : 1 : 0{,}01$, переворачивается каждые $4{,}07$ оборота. Телефон, брошенный с $2$ об/с вокруг средней оси, которая лежит в плоскости экрана поперёк длинной стороны, с отклонением $0{,}1$ к длинной оси, переворачивается первый раз через $0{,}37$ с, ещё в полёте, и дальше каждые $0{,}74$ с; его показ по умолчанию вчетверо медленнее. Ползунок меняет отклонение от $0{,}001$ до $0{,}1$, и промежуток растёт с уменьшением отклонения медленно: у бруска при $0{,}1$ он $2{,}53$ оборота, при $0{,}001$ всего $5{,}59$. Справа стоят счётчик переворотов, промежуток между ними и модуль $\vec L$ с энергией в долях начальных: обе доли не сходят с единицы.

Кнопка «Рассеяние» делает тело чуть нежёстким: энергия уходит в тепло, а момента сил по-прежнему нет, и $\vec L$ не меняется ни по модулю, ни по направлению. Вращение сходит к оси наибольшего момента, где при том же $|\vec L|$ энергия наименьшая: брусок, раскрученный вокруг длинной стороны, за $44$ оборота переходит на вращение вокруг короткой и теряет $61{,}5$ процента энергии. Модель рассеяния условная, без механизма. Свободное вращение задают только главные моменты, и тело другой формы с теми же моментами вращается так же. На этом стоит работа Mason и соавторов (Aerospace 10, 921, 2023): сеть по картинкам учит тензор, и спутник с тем же тензором вращается так же, как призма.

Волчок главы стоит остриём на высокой подставке: диск $0{,}1$ кг радиусом $2$ см, центр масс в $3$ см от острия, $I_\perp = 10^{-4}$ кг·м² относительно острия, ось наклонена к вертикали на $60°$. Конец оси оставляет след на сфере, пунктир на ней отмечает наклон $60°$. От острия идут момент импульса $\vec L$ и угловая скорость $\vec\omega$, у этих стрелок важно только направление. Лупа справа смотрит вдоль $\vec L$: крест в центре, точки оси и $\vec\omega$ отложены по углу от него. Сцену можно повернуть мышью.

Ползунок задаёт $\omega_\parallel$, проекцию полной угловой скорости на ось, от $0$ до $100$ об/с, порог $19{,}3$ об/с отмечен на нём и на шкале под сценой. Выше порога волчок стартует из стационарной прецессии, с медленным корнем точного уравнения. При $100$ об/с отношение $(I_\parallel\omega_\parallel)^2$ к $4I_\perp mga\cos\theta$ равно $26{,}8$, и формула $mga/(I_\parallel\omega_\parallel)$ даёт $2{,}34$ рад/с против $2{,}36$ в точном движении. При $20$ об/с отношение $1{,}07$, прецессия идёт с $18{,}6$ рад/с, а формула даёт $11{,}7$ и отстаёт на $37$ процентов. Ниже порога стационарной прецессии нет: волчок отпущен без прецессии, ось уходит под горизонталь и кивает, при $10$ об/с до $144°$ от вертикали. Кнопка «Отпустить без толчка» пускает так же и быстрый волчок: при $100$ об/с ось сначала опускается на $1{,}90°$ и кивает с частотой $19{,}6$ Гц, а в среднем не падает.

Кнопка «Выключить тяжесть» показывает, что прячет приближение. В нём прецессия прекратилась бы сразу. В точном движении $\vec L$ встаёт, а ось обходит его по конусу: $0{,}93°$ с частотой $20{,}0$ Гц при $100$ об/с, $32{,}6°$ и $4{,}7$ Гц при $20$ об/с. Угол и частоту демка снимает с движения оси и печатает рядом формулы $\operatorname{arctg}\bigl(I_\perp\Omega\sin\theta/(I_\parallel\omega_\parallel)\bigr)$ и $|\vec L|/(2\pi I_\perp)$. При $100$ об/с ось обходит конус двадцать раз в секунду, и увидеть его в лупе помогает замедление в $10$ или $100$ раз.