Работа и энергия. Столкновения

Лента транспортёра идёт со скоростью $u = 1{,}5$ м/с, её держит мотор. На ленту кладут коробку массой $2$ кг без начальной скорости, и трение разгоняет коробку, пока та не поедет вместе с лентой. Счётчики под рисунком показывают работу силы трения над коробкой и над лентой, их сумму, то есть работу пары, и работу мотора. Каждая работа набирается интегралом силы на скорость тела в системе наблюдателя.

У наблюдателя на земле коробке достаётся $+2{,}25$ Дж, ленте $-4{,}50$ Дж, пара даёт $-2{,}25$ Дж: столько ушло во внутреннюю энергию. Наблюдатель, пересаженный на ленту, видит над коробкой $-2{,}25$ Дж и над лентой ноль, а пара та же. Ползунок скорости наблюдателя $V$ сдвигает работы над телами по прямым $2{,}25 - 3V$ и $-4{,}5 + 3V$ Дж, работа пары стоит на месте. Коэффициент трения меняет только время и длину проскальзывания.

Автомобиль массой $1000$ кг разгоняется с постоянной силой с места до $20$ м/с, колёса катятся без проскальзывания. Наблюдателя можно поставить на дорогу, пересадить в систему, которая едет назад со скоростью $20$ м/с, или выбрать любую скорость ползунком, в том числе во время разгона. Земля в модели тоже тело, массой $6\cdot10^{24}$ кг, и её энергия считается по её скорости.

Работы сил считаются интегралами $\int \vec F\cdot\vec v\,dt$ со скоростью точки приложения. В системе дороги трение покоя над машиной работы не совершает, машине $200$ кДж, и все они от двигателя. У наблюдателя, едущего назад, машине $600$ кДж, трение покоя над машиной $+400$ кДж, Земля теряет $400$ кДж. Работа пары сил трения покоя ноль у любого наблюдателя, работа двигателя одна, $200$ кДж, и бензина при кпд $0{,}3$ уходит одинаково, около $15$ г.

Груз массой $2$ кг опускается с высоты $1{,}5$ м, нить намотана на шкив генератора, генератор нагружен лампочкой. Убыль потенциальной энергии груза, $29{,}43$ Дж, делится между движением груза с ротором, светом и теплом лампочки и нагревом обмотки, и столбик на рисунке сходится с $mgh$ до двенадцатого знака. Тепло считается интегралами $\int I^2 R\,dt$ и $\int I^2 r\,dt$, так что баланс проверяется, а не подставляется.

Ползунок нагрузки меняет судьбу энергии. При разомкнутой цепи тока нет, и груз падает почти свободно: вся энергия уходит в движение. С лампочкой в $10$ Ом груз быстро выходит на скорость $0{,}69$ м/с, и семь десятых энергии уходят в лампочку. При коротком замыкании груз ползёт со скоростью $0{,}20$ м/с, и вся энергия греет обмотку.

Чаша $y = h\,x^2/L^2$ шириной $2L = 2$ м. С края отпускают два тела: одно скользит по горке без трения, другое движется по горизонтали в потенциале $mgV(x)$ той же формы, как шарик на графике потенциальной энергии. Потенциальная энергия у обоих одна и та же, а в точке поворота вся энергия потенциальная, поэтому точки поворота совпадают. У мелкой чаши, $h = 0{,}05$ м, периоды почти равны, $6{,}34$ и $6{,}36$ с. У глубокой, $h = 1{,}5$ м, тело в потенциале качается с периодом $1{,}16$ с, а тело на горке с периодом $2{,}58$ с, вдвое с лишним медленнее.

Переключатель «по длине дуги» переводит второе тело в потенциал $mg\,h(s)$, отложенный по длине дуги, и тела идут вместе до двенадцатого знака. Картинка рельефа точна по дуге и приближённа по горизонтальной координате.

Шарик на рельефе с двумя ямками: левая глубже, правая мельче, между ними барьер. Шарик отпускают из покоя на правом склоне, и уравнение $m\,d^2x/dt^2 = -dU/dx - \gamma\,dx/dt$ ведёт его вниз. Без трения энергия стоит, и шарик качается через обе ямки без конца. При слабом трении, $\gamma = 0{,}5$, он переваливает барьер и ложится в глубокую ямку. При трении около критического, $\gamma = 5$, он быстрее всего успокаивается в мелкой. При сильном, $\gamma = 15$, ползёт в мелкую ямку, ближайшую к старту.

Полые значки идут по той же кривой шагами двух алгоритмов с шагом времени $\Delta t = 0{,}05$: кружок градиентным спуском с $\eta = \Delta t/\gamma$, квадрат тяжёлым шариком с $\eta = \Delta t^2/m$ и $\beta = 1 - \gamma\Delta t/m$. Тяжёлый шарик идёт за физическим, а спуск при слабом трении остаётся в мелкой ямке: инерции, чтобы перевалить барьер, у него нет. При сильном трении оба алгоритма приходят в минимум почти за одно и то же число шагов, $239$ и $237$.

Лёгкий шар стоит у стенки, шар в $100^N$ раз тяжелее катится к нему. Все удары упругие, и счётчик считает их все, шар о шар и шар о стенку, пока тяжёлый не уйдёт. При $N = 0, 1, 2, 3, 4$ ударов $3$, $31$, $314$, $3141$, $31415$.

Справа плоскость с осями $\sqrt M\,V$ и $\sqrt m\,v$. Энергия в этих осях есть окружность, каждый удар есть отражение, и точка обходит окружность ломаной. Угол между двумя зеркалами равен $\operatorname{arctg}\sqrt{m/M}$, и ударов столько, сколько таких углов умещается в $\pi$, не доходя до него. При большом $M$ угол почти равен $\sqrt{m/M} = 10^{-N}$, отсюда цифры числа $\pi$. Моменты ударов вычисляются точно, поэтому счёт не зависит от скорости анимации.

Налетающая шайба массы $m_1$ идёт на покоящуюся шайбу массы $m_2$. Ползунки меняют отношение масс, прицельное расстояние $b$ в долях суммы радиусов и коэффициент восстановления $e$: при ударе составляющая относительной скорости вдоль линии центров меняет знак и умножается на $e$, касательная не меняется. Переключатель показывает удар в лабораторной системе и в системе центра масс, кольцо отмечает центр масс. Справа окружность скоростей в лабораторной системе: концы скоростей налетающей шайбы после упругого удара лежат на окружности вокруг конца вектора скорости центра масс.

Под рисунком идёт счёт энергии. Часть $MV^2/2$ не меняется ни в одном ударе, её держит импульс; удар распоряжается только энергией $K_{\text{отн}} = \mu v_{\text{отн}}^2/2$. Машина и грузовик, сближаясь со скоростью $100$ км/ч, при слипании отдают во внутреннюю энергию $351$ кДж, кто бы из них ни ехал. α-частица на электроне отклоняется не больше чем на $0{,}008^\circ$. Равные массы после упругого нецентрального удара разлетаются под прямым углом.

Режим порога показывает реакцию, в которой две частицы сливаются в одну. Частица A массы $m$ с энергией $K$ налетает на покоящуюся частицу B массы $M$, и чтобы они слились в новую частицу C массы $M + m$, нужна энергия $Q$. Ползунки меняют обе массы, $Q$ и $K$, кнопка «на порог» ставит $K = Q(1 + m/M)$. Если энергия относительного движения $K_{\text{отн}} = K\,M/(M + m)$ не меньше $Q$, частицы сливаются. В лабораторной системе C едет со скоростью центра масс, в системе центра масс стоит, а избыток $K_{\text{отн}} - Q$ остаётся в ней энергией возбуждения, и C светится. Если $K_{\text{отн}}$ меньше $Q$, частицы расходятся упруго. Столбики справа складываются в равенство $K = (M + m)V_C^2/2 + K_{\text{отн}}$. При равных массах порог вдвое больше $Q$. Если налетающая в $25$ раз легче мишени, порог выше $Q$ на $4$ процента, а если в $25$ раз тяжелее, он равен $26\,Q$. Слияние в одну частицу здесь модель. В настоящих реакциях продуктов обычно несколько, но на пороге они идут вместе, как одна частица.