Кинематика материальной точки

Слева поле трубы, справа положение Земли на орбите. За год близкая звезда обходит на фоне далёких параллактический эллипс, большая полуось которого и есть параллакс; далёкие звёзды при этом стоят, потому что их параллакс во столько же раз меньше, во сколько они дальше. Ползунок кривизны меняет геометрию, звезда при этом не двигается с места, а угол растёт или падает — и расстояние, посчитанное по плоской формуле, уезжает вслед за ним. Меряют всегда угол; расстояние из него уже выводят.

Формулы те же, что в Параллакс в плоском, выпуклом и вогнутом пространстве, скопированы дословно, чтобы две демки не разошлись. Проверка на самой себе: в плоском случае звезда на расстоянии одного парсека даёт параллакс ровно в одну угловую секунду — это и есть определение парсека.

Тот же треугольник параллакса, что в главе, но ползунок меняет кривизну пространства. В плоском случае сумма углов ровно $180^\circ$, и расстояние до звезды выходит по школьной формуле. В выпуклом сумма больше, в вогнутом меньше, а измеренный угол при этом остаётся тем же — и расстояние, посчитанное по плоской формуле, уезжает на десятки процентов. Все три геометрии считаются одним выражением, плоский случай получается его пределом, а не отдельной веткой; избыток углов сверен с формулой Жирара по независимо посчитанной площади.

Переключатель показывает две пластинки, которые и сравнивали 29 мая 1919 года: снимок затмения и ночной снимок того же участка неба. Без массы луч идёт по прямой и звезда стоит на месте; с Солнцем тот же луч идёт по-прежнему прямейшей линией, но приходит под другим углом, и звезда видна сдвинутой наружу от диска.

Отклонение в демку не вписано числом: луч трассируется методом Рунге — Кутты по уравнению Ферма в оптической метрике Шварцшильда, и при массе Солнца с прицельным параметром в один солнечный радиус трасса выдаёт $1{,}7504''$ против $1{,}7504''$ у формулы $4GM/c^2b$. Расхождение в шесть миллионных — уже настоящая поправка второго порядка, а не ошибка счёта.

Излом на сцене увеличен: настоящие $1{,}75''$ в тысячу раз меньше солнечного диска и не видны ничем. Во сколько раз увеличено, демка говорит прямо, а в приборе стоят настоящие секунды дуги.

Переключатель выбирает тело отсчёта, и сцена перерисовывается так, как её видит наблюдатель, привязанный к выбранному телу: оно стоит посреди кадра, а мимо едет всё остальное, включая асфальт с разметкой и фонарь на обочине. Числа те же, что в главе: обе машины идут по $100$ км/ч, и относительно первой вторая стоит, а относительно фонаря идёт сотню. Ползунок доводит вторую до $110$, и относительно первой она ползёт вперёд на $10$, а относительно фонаря идёт $110$. Сядьте на вторую машину — фонарь уезжает назад со скоростью $-110$, и это тоже верное число.

Показания снимаются не вычитанием скоростей, а прогоном модели: в них входят только разности координат. Поэтому общая добавка ко всем трём скоростям из показаний выпадает, и это проверяется на самой демке, а не объявляется словами. Ни одно из тел на сцене не выделено.

Точка стоит на месте, ползунок поворачивает оси. Три числа столбика пересчитываются на глазах, а длина стрелки не двигается: она считается каждый кадр из тех же пересчитанных чисел и держится на пяти во всём диапазоне. Полярных углов на сцене два, и оба нужны: $\varphi$ отмерян от исходной оси и не двигается, $\varphi'$ отмерян от повёрнутой и уезжает вместе с ней. Числа те же, что в главе: точка $(3;\ 4)$, поворот на $30^\circ$ даёт $(4{,}60;\ 1{,}96)$, полярная пара от исходной оси $(5;\ 53^\circ)$, от повёрнутой $(5;\ 23^\circ)$.

Движение одно, а записей четыре, и переключатель сажает читателя в каждые оси по очереди. В прикрученных к дороге точка обода вычерчивает циклоиду с остриями. В тех же осях, повёрнутых на $30^\circ$, кривая та же самая, а числа другие: при $\varphi = \pi$ пара $(3{,}14R;\ 2R)$ становится $(3{,}72R;\ 0{,}16R)$, и длина при этом не меняется. В осях, едущих с колесом, назад уезжает дорога, а точка идёт по окружности радиуса $R$. В осях, привинченных к самому ободу, точка стоит: запись $(0;\ -R)$ при любом угле, самая короткая из возможных, и она же запрещена — такие оси и едут, и поворачиваются со временем.

Острия у циклоиды дало неподвижное начало, а не отсутствие поворота: у вторых осей начало то же, повёрнуты они, и острия никуда не делись.

Слева парабола броска целиком, справа лупа у первой точки, где хорда всегда одной длины на экране. Ползунок сжимает промежуток времени, и на приборе стоят три числа: отношение $|\Delta\vec r|/\Delta t$, точное значение скорости и угол между хордой и касательной. При промежутке в восемь десятых секунды между ними тридцать градусов, при двух тысячных отношение сходится со скоростью в третьем знаке, а угол падает до шести сотых градуса. Отношение считается вычитанием двух положений, готовая формула для хорды в демку не подставляется.

Слева спидометр с двумя стрелками: тонкая идёт за скоростью непрерывно, толстая держит показание кадра и внутри кадра не двигается. Вилка между ними и есть ошибка одного столбика, и она тает с частотой съёмки. Справа те же кадры столбиками под кривой. Первая запись повторяет таблицу главы: два кадра дают 2,5 м, восемь — 2,65625 м, точное значение 8/3. Во второй записи скорость меняет знак, столбики уходят под ось, и перемещение выходит нулём при пути в четыре с половиной метра.

Ускорение качается по синусу, и среднее его по периоду равно нулю. Интуиция говорит, что тело останется на месте; три графика подряд показывают, что нет. Скорость $v = (a_0/\omega)(1-\cos\omega t)$ знака не меняет, поэтому координата уезжает прямой со средней скоростью $a_0/\omega$, и переключатель знака первого толчка решает, в какую сторону. Всё интегрируется честно, шагом мельче двухсотой периода.

Слева точка идёт по окружности, справа те же векторы скорости отложены из общего начала, и их концы вычерчивают годограф. Ползунок снимает равномерность, ради которой в тексте оговорено условие: пока движение равномерно, годограф есть окружность радиуса $v$, ускорение перпендикулярно скорости и равно $v^2/R$; стоит равномерность снять, и годограф отходит от окружности, а у ускорения появляется составляющая вдоль скорости. Демка считает ускорение дифференцированием скорости, а не по готовой формуле, и сверяет результат с конечными разностями.

Машина идёт по извилистой дороге, у ускорения два вектора. Тангенциальный живёт от педали и обнуляется, стоит её отпустить; нормальный живёт от руля и от скорости, и на повороте он есть даже тогда, когда спидометр стоит. На прямом участке всё наоборот: кривизна ноль, нормального ускорения нет ни при какой скорости. Кривизна дороги считается по уравнению кривой, $a_n$ — как $v^2/R$; сплошной перебор сорока одной тысячи состояний показал, что два эти маршрута нигде не расходятся.

Два поворота на один и тот же угол вокруг двух перпендикулярных осей: повернуть карточку вокруг вертикали и перевернуть её через горизонтальную ось. Слева сперва одно, потом другое, справа наоборот. Углы те же, оси те же, а укладки выходят разные: у одной карточки картинка смотрит на вас, у другой вы видите изнанку. При прямом угле расхождение равно $120°$, и это поворот вокруг диагонали — дальше некуда. Повторить можно телефоном в руке, не вставая.

Ползунок ведёт угол от $90°$ до $5°$, и разница тает: она убывает как квадрат угла, поэтому вдвое меньший поворот даёт вчетверо меньшее расхождение. Демка печатает и само отношение расхождения к квадрату угла: при $90°$ оно равно $0{,}849$, при $30°$ — $0{,}978$, при $5°$ — $0{,}999$. Это и есть то слагаемое второго порядка малости, из-за которого повороты складывать нельзя, а угловые скорости — можно.

Угол расхождения считается двумя независимыми путями, матрицами и кватернионами, и они обязаны совпасть: на всей шкале ползунка расхождение путей не превышает $10^{-11}$ градуса.

Точка ведётся ползунком по той же параболе броска, что и в главе. В точке нарисованы касательная и нормаль, соприкасающаяся окружность и её центр; на приборе радиус кривизны, нормальное и тангенциальное ускорения. Радиус считается двумя независимыми маршрутами: через $v^2/a_n$, где известен только закон движения, и через $(1+y'^2)^{3/2}/|y''|$, где известно только уравнение кривой. Оба берут производные численно и сходятся до одиннадцатого знака — это и есть утверждение, которое в тексте сказано словами.