Произвольное движение твёрдого тела

Физика 1 · лекция 06

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

МОСТ · ГАНТЕЛЬ ПОПЕРЁК ОСИ

Добавим точке вторую массу

O m m r v − v L z ω
Моменты импульса обеих масс смотрят по ω⃗\vec\omega и складываются
Lz=2mr2 ωL_z = 2mr^2\,\omega
у одной точки на окружности mr2ωmr^2\omega, у пары вдвое
Как p⃗=mv⃗\vec p = m\vec v, только вместо массы число 2mr22mr^2

МОСТ · ГАНТЕЛЬ ПОД УГЛОМ

Куда смотрит момент импульса гантели?

  • Штанга наклонена к оси, середина на оси
  • Угловая скорость та же и постоянна
L⃗=r⃗×p⃗=m r⃗×v⃗\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m\, \vec{r} \times \vec{v}
неделя 05: момент импульса каждой массы относительно OO

МОСТ · ГАНТЕЛЬ ПОД УГЛОМ

Наклоним штангу на моторе

ТЕЗИС

Два утверждения недели

Момент импульса тела и ось вращения могут разойтись
  • Мера инерции вращения не число
  • Ось вне момента импульса держат моментом сил
  • Без опор стоит лишь ось по моменту импульса

ТЕЗИС

Посмотрим на четыре тела

  • Гантель на подшипниках
  • Стержень на шарнире
  • Тело без опор
  • Волчок на острие
Ось у каждого ведёт себя по-своему, счёт закроем в конце лекции

ТЕЛО · ОРИЕНТАЦИЯ И МАССА

Посчитаем, сколько чисел нужно телу

Что задаёмЧисел
Положение: центр масс и три угла6
Положение гантели или стержня5
Начальные данные12
Масса и её распределение10
Два угла задают направление оси тела, третий поворачивает вокруг неё
Где упадёт молоток, скажут шесть чисел; какой стороной, двенадцать

ТЕЛО · ПРОЕКЦИЯ

Спроецируем уравнение моментов на ось

O r r z r ⊥ m v z ω
r⃗=r⃗z+r⃗⊥\vec r = \vec r_z + \vec r_\perp, скорость поперёк оси: на ось идёт r⃗⊥×v⃗\vec r_\perp\times\vec v
dLzdt=Mz\displaystyle \frac{dL_z}{dt} = M_z
уравнение пятой недели на оси: орт e⃗z\vec e_z стоит
Lz=m (r⃗⊥×v⃗⊥)⋅e⃗z\displaystyle L_z = m\,(\vec r_\perp\times\vec v_\perp)\cdot\vec e_z
из четырёх слагаемых на ось идёт одно
Mz=(r⃗⊥×F⃗⊥)⋅e⃗z\displaystyle M_z = (\vec r_\perp\times\vec F_\perp)\cdot\vec e_z
реакции на самой оси в MzM_z не входят
Платим тем, что две проекции уходят на опоры

ГАНТЕЛЬ · ПОДШИПНИКИ

Момент импульса гантели обходит конус, и ведут его подшипники

L L z O m m z ω R 1 R 2
Штанга под 45°: L⃗\vec L перпендикулярен ей, пара R⃗1\vec R_1, R⃗2\vec R_2 его поворачивает
L⃗=2m r⃗×(ω⃗×r⃗)=2m(r2ω⃗−(r⃗⋅ω⃗) r⃗)\displaystyle \vec L = 2m\,\vec r\times(\vec\omega\times\vec r) = 2m\bigl(r^2\vec\omega - (\vec r\cdot\vec\omega)\,\vec r\bigr)
массы в точках r⃗\vec r и −r⃗-\vec r дают поровну
dL⃗dt=ω⃗×L⃗=M⃗\displaystyle \frac{d\vec L}{dt} = \vec\omega\times\vec L = \vec M
конец L⃗\vec L бежит по кругу: нужен момент
Mz=0,Lz=const\displaystyle M_z = 0, \qquad L_z = \text{const}
реакции на оси, тяжесть ей параллельна
При 45°: ∣L⃗∣=0,283|\vec L| = 0{,}283 и Lz=0,200L_z = 0{,}200 кг·м²/с, момент 2,0 Н·м, реакции 10 Н

ГАНТЕЛЬ · ПОДШИПНИКИ

Посчитаем момент подшипников тремя путями

МОДЕЛЬ ТЕЛА · ДОГОВОРЁННОСТЬ

Договоримся о неизменных расстояниях

1 2 v 1 v 2 − v 2 v 1 − v 2 F 12 F 21 r 1 − r 2
Разность скоростей поперёк отрезка: точки не сближаются и не расходятся
ddt(r⃗1−r⃗2)2=2 (r⃗1−r⃗2)⋅(v⃗1−v⃗2)=0\displaystyle \frac{d}{dt}(\vec r_1 - \vec r_2)^2 = 2\,(\vec r_1 - \vec r_2)\cdot(\vec v_1 - \vec v_2) = 0
расстояние между точками 1 и 2 не меняется
F⃗12⋅(v⃗1−v⃗2)=0,F⃗12∥(r⃗1−r⃗2)\displaystyle \vec F_{12}\cdot(\vec v_1 - \vec v_2) = 0, \qquad \vec F_{12}\parallel(\vec r_1 - \vec r_2)
силы точек 1 и 2 на прямой между ними: мощности нет
Нового закона нет: законы Ньютона и неизменные расстояния

МОДЕЛЬ ТЕЛА · ГРАНИЦА

Найдём, где модель кончается

  • Звук пробегает метр стали за 0,2 мс
  • Обод на 5 м/⁠с растянут на 10−610^{-6}
Платим тем, что деформации отдаём восьмой неделе

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · ВЫВОД

Найдём момент инерции

dLz=dm r⊥v=dm r⊥2 ω\displaystyle dL_z = dm\,r_\perp v = dm\,r_\perp^2\,\omega
скорость точки ωr⊥\omega r_\perp поперёк оси и r⃗⊥\vec r_\perp
Lz=ω∫r⊥2 dm\displaystyle L_z = \omega\int r_\perp^2\,dm
ω\omega одна у всех точек: выносим за интеграл
Lz=Iz ω,Iz=∫r⊥2 dm\displaystyle L_z = I_z\,\omega, \qquad I_z = \int r_\perp^2\,dm
интеграл задаёт только распределение массы
У гантели под 45° Izω=0,200I_z\omega = 0{,}200 кг·м²/с, а модуль L⃗\vec L в 1,41 раза больше

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · ВЫВОД

Запишем второй закон для угла

Iz ε=MzI_z\,\varepsilon = M_z
знак по правой руке: против часовой стрелки с конца e⃗z\vec e_z
ПоступательноеF⃗\vec Fa⃗\vec ammp⃗=mv⃗\vec p = m\vec v
Вращение на осиMzM_zε\varepsilonIzI_zLz=IzωL_z = I_z\omega
Платим тем, что закон для угла верен только в проекции

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · СКАМЬЯ

Сведём руки на скамье

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · СКАМЬЯ

Найдём, откуда скамья берёт энергию

ω 1 ω 2
Гантели у груди: II с 3,85 до 1,76 кг·м², ω\omega с 3,14 до 6,87 рад/⁠с
K=12∫v2 dm=12 Iz ω2=Lz22IzK = \frac12\int v^2\,dm = \frac12\,I_z\,\omega^2 = \frac{L_z^2}{2I_z}
LzL_z стоит, и энергия растёт с 19,0 до 41,6 Дж
Разницу, 22,6 Дж, дали мышцы: человек со скамьёй не твёрдое тело

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · СТЕРЖЕНЬ

Посчитаем момент инерции стержня

l dx l/ 2 x x
Кусок dxdx в xx от середины даёт x2 dmx^2\,dm; ось через конец сдвинута на l/2l/2
IC=∫−l/2l/2x2 ml dx=ml⋅x33∣−l/2l/2\displaystyle I_C = \int_{-l/2}^{l/2} x^2\,\frac{m}{l}\,dx = \frac{m}{l}\cdot\frac{x^3}{3}\Bigr|_{-l/2}^{l/2}
кусок dxdx массой (m/l) dx(m/l)\,dx на расстоянии ∣x∣|x|
IC=ml212\displaystyle I_C = \frac{ml^2}{12}
ось через середину
I=ml23\displaystyle I = \frac{ml^2}{3}
вокруг конца раскрутить вчетверо труднее
Линейка 1 м и 200 г: 0,017 кг·м² у середины, 0,067 у конца

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ

Сложим моменты инерции по трём осям

JO=∫r2 dm\displaystyle J_O = \int r^2\,dm
полярный момент: расстояние до точки OO, а не до оси
Ix=∫(y2+z2) dm,Iy=∫(x2+z2) dm,Iz=∫(x2+y2) dm\displaystyle I_x = \int (y^2 + z^2)\,dm, \quad I_y = \int (x^2 + z^2)\,dm, \quad I_z = \int (x^2 + y^2)\,dm
три взаимно перпендикулярные оси через OO
Ix+Iy+Iz=2∫(x2+y2+z2) dm=2JO\displaystyle I_x + I_y + I_z = 2\int (x^2 + y^2 + z^2)\,dm = 2J_O
каждая координата входит в сумму дважды
JOJ_O в уравнение вращения не входит, зато не зависит от направления осей

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · ПЛОСКАЯ ФИГУРА

Положим фигуру в плоскость

x y z O dm x y r
У пластины z=0z = 0, и r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2; все три оси через OO
Ix+Iy=Iz\displaystyle I_x + I_y = I_z
при z=0z = 0 момент IzI_z совпадает с JOJ_O
Iz=m (a2+b2)12,у квадратаIz=ma26\displaystyle I_z = \frac{m\,(a^2 + b^2)}{12}, \qquad \text{у квадрата}\quad I_z = \frac{ma^2}{6}
вокруг xx стержень длины bb, вокруг yy длины aa
Нужны и перпендикулярность осей, и общая точка всех трёх

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · ДИСК

Сложим диск из колец

z r dr R
Кольцо радиуса rr и ширины drdr: вся его масса в rr от оси
dI=r2 dm,dm=mπR2 2πr dr\displaystyle dI = r^2\,dm, \qquad dm = \frac{m}{\pi R^2}\,2\pi r\,dr
масса кольца пропорциональна его площади
Iz=∫0Rr2 mπR2 2πr dr=12 mR2\displaystyle I_z = \int_0^R r^2\,\frac{m}{\pi R^2}\,2\pi r\,dr = \frac12\,mR^2
кольца от 00 до RR
Ix=Iy=14 mR2\displaystyle I_x = I_y = \frac14\,mR^2
плоская фигура, и по симметрии Ix=IyI_x = I_y
Половина mR2mR^2 верна и для цилиндра, четверть только для тонкого диска

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · СФЕРА И ШАР

Посчитаем сферу и шар через полярный момент

O r dr R
Слой радиуса rr и толщины drdr: вся его масса в rr от центра
I=23 mR2\displaystyle I = \frac23\,mR^2
тонкая сфера: JO=mR2J_O = mR^2, три оси равны
JO=∫0Rr2 ρ 4πr2 dr=4πρ5 R5=35 mR2\displaystyle J_O = \int_0^R r^2\,\rho\,4\pi r^2\,dr = \frac{4\pi\rho}{5}\,R^5 = \frac35\,mR^2
шар слоями, каждый слой весь в rr от OO
I=23 JO=25 mR2\displaystyle I = \frac23\,J_O = \frac25\,mR^2
шар одинаков со всех сторон: 3I=2JO3I = 2J_O
Шар 0,4 mR20{,}4\,mR^2, диск 0,5 mR20{,}5\,mR^2, кольцо mR2mR^2: масса дальше, момент больше

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · ПЕРЕНОС ОСИ

Перенесём ось параллельно

C O d ρ ⊥ r ⊥ ρ dm
Оси CC и OO параллельны, перпендикуляр d⃗\vec d между ними общий
IO=md2+∫ρ⊥2 dm+2 d⃗⋅∫ρ⃗⊥ dm\displaystyle I_O = md^2 + \int \rho_\perp^2\,dm + 2\,\vec d\cdot\int \vec\rho_\perp\,dm
от оси к элементу: d⃗\vec d плюс ρ⃗⊥\vec\rho_\perp
IO=IC+md2\displaystyle I_O = I_C + md^2
третье слагаемое ноль по определению центра масс
I=12 mR2+mR2=32 mR2\displaystyle I = \frac12\,mR^2 + mR^2 = \frac32\,mR^2
диск вокруг оси через точку обода
Из параллельных осей наименьший момент у оси через центр масс

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ · ПЕРЕНОС ОСИ

Посчитаем энергию вращения

K=12 IO ω2\displaystyle K = \frac12\,I_O\,\omega^2
тело вращается вокруг неподвижной оси OO
K=12 IC ω2+12 m (ωd)2\displaystyle K = \frac12\,I_C\,\omega^2 + \frac12\,m\,(\omega d)^2
подставили IO=IC+md2I_O = I_C + md^2
Перенос оси согласен с теоремой Кёнига четвёртой недели

Отпустим ось

Физика 1 · лекция 06 · часть вторая

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

ТЕНЗОР · ВЕКТОР МОМЕНТА

Что станет с осью, когда подшипников нет?

L⃗=∫r⃗×v⃗ dm=∫r⃗×(ω⃗×r⃗) dm\displaystyle \vec{L} = \int \vec r\times\vec v\, dm = \int \vec r\times(\vec\omega\times\vec r)\, dm
OO это неподвижная точка тела или центр масс
L⃗=∫ω⃗ r2 dm−∫r⃗ (r⃗⋅ω⃗) dm\displaystyle \vec L = \int \vec\omega\, r^2\, dm - \int \vec r\,(\vec r\cdot\vec\omega)\, dm
второе слагаемое уводит L⃗\vec L от ω⃗\vec\omega
Li=∑j=13Iij ωj,L⃗=I^ω⃗\displaystyle L_i = \sum_{j=1}^{3} I_{ij}\,\omega_j, \qquad \vec L = \hat I\vec\omega
девять интегралов складываются в матрицу
Платим тем, что тензор берётся относительно точки

ТЕНЗОР · ВЕКТОР МОМЕНТА

Найдём поперечную часть

Ixx=∫(y2+z2) dm,Ixy=Iyx=−∫xy dm,Ixz=Izx=−∫xz dm\displaystyle I_{xx} = \int (y^2 + z^2)\, dm, \qquad I_{xy} = I_{yx} = -\int xy\, dm, \qquad I_{xz} = I_{zx} = -\int xz\, dm
осевой момент и центробежные моменты
L⃗=ω (Ixz; Iyz; Izz)\displaystyle \vec L = \omega\,(I_{xz};\ I_{yz};\ I_{zz})
вращение вокруг zz: работает последний столбец
M⃗=ω⃗×L⃗=ω2 (−Iyz; Ixz; 0)\displaystyle \vec M = \vec\omega\times\vec L = \omega^2\,(-I_{yz};\ I_{xz};\ 0)
поперечная часть ходит с телом: нужен момент
У гантели при 10 рад/⁠с ω2∣Ixz∣=100⋅0,02=2,0\omega^2|I_{xz}| = 100\cdot0{,}02 = 2{,}0 Н·м, как у подшипников

ТЕНЗОР · ГЛАВНЫЕ ОСИ

Найдём главные оси

I^=(I1000I2000I3)\hat{I} = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}
в главных осях центробежные моменты равны нулю
  • L⃗∥ω⃗\vec L\parallel\vec\omega только вдоль главной оси
  • Через центр масс: главные центральные

ТЕНЗОР · ГЛАВНЫЕ ОСИ

Повернём оси у пластинки

ТЕНЗОР · ГЛАВНЫЕ ОСИ

Отличим осевой момент от главного

I^′=R I^ RT\displaystyle \hat I' = R\,\hat I\,R^{\mathsf T}
поворот хранит длины, поэтому R−1=RTR^{-1} = R^{\mathsf T}
Ix′y′=Iyy−Ixx2 sin⁡2φ\displaystyle I_{x'y'} = \frac{I_{yy} - I_{xx}}{2}\,\sin 2\varphi
пластинка: центробежный момент после поворота
Оси, кг⋅м2\text{кг}\cdot\text{м}^2Ix′x′I_{x^\prime x^\prime}Iy′y′I_{y^\prime y^\prime}Ix′y′I_{x^\prime y^\prime}
Вдоль сторон0,0830,3330
Под 45°0,2080,2080,125
пластинка 2×12\times1 м массой 1 кг, оси в её плоскости через центр
Главные моменты 0,083 и 0,333; сумма осевых всегда 0,417

ТЕНЗОР · ЭЛЛИПСОИД

Найдём момент инерции вокруг любой оси

Is=s⃗⋅I^s⃗=∑i,j=13Iij sisj\displaystyle I_s = \vec s\cdot\hat I\vec s = \sum_{i,j=1}^{3} I_{ij}\,s_i s_j
ось через OO задана единичным вектором s⃗\vec s
Is=I1s12+I2s22+I3s32\displaystyle I_s = I_1 s_1^2 + I_2 s_2^2 + I_3 s_3^2
в главных осях: квадраты косинусов
Для оси не через OO переносим по Штейнеру через центр масс

ТЕНЗОР · ЭЛЛИПСОИД

Нарисуем тензор эллипсоидом

∑i,j=13Iij xixj=1,I1x12+I2x22+I3x32=1\sum_{i,j=1}^{3} I_{ij}\,x_i x_j = 1, \qquad I_1 x_1^2 + I_2 x_2^2 + I_3 x_3^2 = 1
вдоль оси s⃗\vec s отрезок 1/Is1/\sqrt{I_s}: концы на одной поверхности
O x 1 x 2 x 3 ω L
Самая длинная полуось лежит на оси наименьшего момента
  • L⃗\vec L идёт по нормали там, куда указывает ω⃗\vec\omega
  • По лучу нормаль идёт только на осях

ТЕНЗОР · ЭЛЛИПСОИД

Посмотрим на куб и треугольник

ma 2 / 6 ma 2 / 6 a ma 2 / 24 ma 2 / 24 a
Куб: любая ось через центр даёт ma2/6ma^2/6; треугольник: ось в плоскости через центр ma2/24ma^2/24
Эллипс, который поворот на 120° переводит в себя, есть окружность

ТЕНЗОР · КОВАРИАЦИЯ

Найдём главные оси облака точек

I 1 I 2 r i
Вдоль наибольшего разброса момент инерции I1I_1 наименьший
I^=(tr⁡C) E−C\hat I = (\operatorname{tr}C)\,E - C
C=∑imir⃗ir⃗iTC = \sum_i m_i\vec r_i\vec r_i^{\mathsf T} от центра масс, EE единичная матрица
Пирсон, 1901: лучшая прямая идёт вдоль наибольшего разброса

ДВИЖЕНИЕ · ОДНА ОМЕГА

Сменим полюс

O O A R O r r v O v O ω × r v абс ω
Точка AA едет с полюсом O′O^\prime и вращается вокруг него
v⃗абс=v⃗O′+ω⃗×r⃗′\displaystyle \vec v_{\text{абс}} = \vec v_{O'} + \vec\omega\times\vec r'
перенос полюса плюс вращение вокруг него
v⃗O′′=v⃗O′+ω⃗1×R⃗O′O′′\displaystyle \vec v_{O''} = \vec v_{O'} + \vec\omega_1\times\vec R_{O'O''}
скорость второго полюса через первый
ω⃗1×R⃗O′O′′+ω⃗1×r⃗′′=ω⃗1×R⃗O′O′′+ω⃗2×r⃗′′\displaystyle \vec\omega_1\times\vec R_{O'O''} + \vec\omega_1\times\vec r'' = \vec\omega_1\times\vec R_{O'O''} + \vec\omega_2\times\vec r''
при любой точке AA выходит ω⃗1=ω⃗2\vec\omega_1 = \vec\omega_2
Одна ω⃗\vec\omega при любом полюсе, но не в любой системе отсчёта

ДВИЖЕНИЕ · ОДНА ОМЕГА

Найдём точки с нулевой скоростью

O B P v O v B r OP r PB ω
Перпендикуляры к скоростям двух точек сходятся в PP, где скорость ноль
v⃗B=v⃗O+ω⃗×r⃗OB\displaystyle \vec v_B = \vec v_O + \vec\omega\times\vec r_{OB}
скорость точки BB через полюс OO
r⃗OP=ω⃗×v⃗Oω2\displaystyle \vec r_{OP} = \frac{\vec\omega\times\vec v_O}{\omega^2}
плоское движение, ω≠0\omega\ne0: точка PP стоит
v⃗B=ω⃗×r⃗PB,vB=ω rPB\displaystyle \vec v_B = \vec\omega\times\vec r_{PB}, \qquad v_B = \omega\, r_{PB}
как вращение вокруг оси, но только в этот миг
В пространстве ось есть, только если ω⃗⋅v⃗O=0\vec\omega\cdot\vec v_O = 0

ДВИЖЕНИЕ · КОЛЕСО

Покатим колесо

ДВИЖЕНИЕ · КОЛЕСО

Отличим качение от юза и пробуксовки

v 0 ω v A ωR < v 0 v 0 ω v A =0 ωR = v 0 v 0 ω v A ωR > v 0
Юз, качение, пробуксовка: точка касания идёт со скоростью v0−ωRv_0 - \omega R
ω=v0R\omega = \frac{v_0}{R}
без проскальзывания скорость точки касания ноль

ДВИЖЕНИЕ · КОЛЕСО

Посчитаем скорости и кривизну у колеса

A B O v 0 2 v 0 v R ω
Точка касания AA в этот миг стоит, верх BB идёт со скоростью 2v02v_0
ρ=(2v0)2v02/R=4R\displaystyle \rho = \frac{(2v_0)^2}{v_0^2/R} = 4R
ускорение верха v02/Rv_0^2/R поперёк скорости
Мгновенная ось годится для скоростей и не годится для ускорений

ДВИЖЕНИЕ · ПОЛЮС

Запишем уравнение моментов для движущегося полюса

L⃗A=m r⃗ц.м.×v⃗ц.м.+I^ц.м. ω⃗\displaystyle \vec L_A = m\,\vec r_{\text{ц.м.}}\times\vec v_{\text{ц.м.}} + \hat I_{\text{ц.м.}}\,\vec\omega
орбитальная часть плюс собственная
L⃗˙O=M⃗O−v⃗O×p⃗\displaystyle \dot{\vec L}_O = \vec M_O - \vec v_O\times\vec p
полюс едет со скоростью v⃗O\vec v_O: лишний член
m a⃗ц.м.=F⃗внеш,dL⃗ц.м.dt=M⃗ц.м.\displaystyle m\,\vec a_{\text{ц.м.}} = \vec F^{\text{внеш}}, \qquad \frac{d\vec L_{\text{ц.м.}}}{dt} = \vec M_{\text{ц.м.}}
полюс в центре масс: пара уравнений
Лишнего члена нет, если v⃗O=0\vec v_O = 0 или v⃗O∥v⃗ц.м.\vec v_O\parallel\vec v_{\text{ц.м.}}

ДВИЖЕНИЕ · ПОЛЮС

Проверим мгновенную ось

IA ε=MA−m (r⃗ц.м.×a⃗A)zI_A\,\varepsilon = M_A - m\,(\vec r_{\text{ц.м.}}\times\vec a_A)_z
полюс в материальной точке касания AA
A R r ц.м. a A ω
Центр масс в стороне, а a⃗A\vec a_A смотрит вверх, мимо него
Обруч с грузомε\varepsilon, рад/с2\text{рад/с}^2
Наивное IAε=MAI_A\varepsilon = M_A4,9
С поправкой на ускорение AA8,9
Привычное уравнение верно, если ускорение AA смотрит на центр масс

ДВИЖЕНИЕ · ОБОД И СПИЦЫ

Пустим тела с одной горки

ДВИЖЕНИЕ · ОБОД И СПИЦЫ

Досчитаем колесо со спицами

K=12 mv2+12 IC ω2=12 mv2 (1+β),β=ICmR2\displaystyle K = \frac12\,mv^2 + \frac12\,I_C\,\omega^2 = \frac12\,mv^2\,(1 + \beta), \qquad \beta = \frac{I_C}{mR^2}
теорема Кёнига при качении
Колесоβ\betaKK, Дж\text{Дж}
Обод125,0
Пятая часть массы в спицах0,86723,3
Сплошной диск0,518,75
масса колеса 1 кг, скорость 5 м/⁠с
Приближение обода завышает энергию на 7 процентов

ДВИЖЕНИЕ · ОБОД И СПИЦЫ

Найдём ускорение и трение на склоне

m a=mgsin⁡θ−F,IC ε=FR\displaystyle m\,a = mg\sin\theta - F, \qquad I_C\,\varepsilon = F R
полюс в центре масс: момент даёт одно трение
μ≥β tg⁡θ1+β\displaystyle \mu \ge \frac{\beta\,\operatorname{tg}\theta}{1 + \beta}
трение покоя не больше μN\mu N
При качении ускорение gsin⁡θ/(1+β)g\sin\theta/(1+\beta): чем меньше β\beta, тем раньше финиш

ДВИЖЕНИЕ · КАТУШКА

Потянем катушку за нить

ДВИЖЕНИЕ · КАТУШКА

Найдём критический угол

A R r α кр α F F тр
Нить сходит с вала снизу; штрих идёт через AA под критическим углом
MA=F (Rcos⁡α−r)\displaystyle M_A = F\,(R\cos\alpha - r)
момент тяги относительно точки касания
cos⁡αкр=rR\displaystyle \cos\alpha_{\text{кр}} = \frac{r}{R}
при r/R=1/2r/R = 1/2 это 60°
aC=Fcos⁡α−μNm=0,156 g\displaystyle a_C = \frac{F\cos\alpha - \mu N}{m} = 0{,}156\,g
тяга 0,6 mg0{,}6\,mg на 60°: катушка скользит
На 60° покоившаяся катушка стоит при тяге примерно до 0,39 mg0{,}39\,mg

ПОВОРОТ · ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Составим два поворота

x y x y x y 90 ◦ 90 ◦ x y x y x y 90 ◦ 90 ◦
По 90° вокруг неподвижных осей xx и yy в разном порядке
ПорядокОдин поворот на 120° вокруг
xx, затем yy(1; 1; −1)/3(1;\ 1;\ -1)/\sqrt3
yy, затем xx(1; 1; 1)/3(1;\ 1;\ 1)/\sqrt3
Сумма векторов дала бы 127,3°: конечные повороты так не складываются

ПОВОРОТ · ПОРЯДОК

Поменяем порядок поворотов

БЕЗ ОПОР · УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Что решается до конца?

I1ω˙1+(I3−I2) ω2ω3=M1I2ω˙2+(I1−I3) ω3ω1=M2I3ω˙3+(I2−I1) ω1ω2=M3\begin{aligned} I_1\dot\omega_1 + (I_3 - I_2)\,\omega_2\omega_3 &= M_1\\ I_2\dot\omega_2 + (I_1 - I_3)\,\omega_3\omega_1 &= M_2\\ I_3\dot\omega_3 + (I_2 - I_1)\,\omega_1\omega_2 &= M_3 \end{aligned}
в главных осях тела тензор постоянен, платим членом ω⃗×L⃗\vec\omega\times\vec L
ТелоРешается ли до конца
Свободное, без момента силвсегда
Тяжёлое с неподвижной точкойпри любом старте: Эйлер, Лагранж, Ковалевская
В общем виденет, считают шагами

БЕЗ ОПОР · СВОБОДНЫЕ ОСИ

Без опор ось стоит, только если на ней лежит момент импульса

  • Вращаться тело может как угодно
  • Ось не на L⃗\vec L ходит вокруг него
Отпущенная гантель вращается вокруг неподвижного L⃗\vec L

БЕЗ ОПОР · СВОБОДНЫЕ ОСИ

Отпустим вал гантели

БЕЗ ОПОР · УСТОЙЧИВОСТЬ

Проверим, какие оси устойчивы

I 1 I 2 I 3
Брусок 1:2:31:2:3: главные моменты 5:10:135:10:13, I1<I2<I3I_1 < I_2 < I_3
Вокруг какой оси брусок закувыркается?

БЕЗ ОПОР · УСТОЙЧИВОСТЬ

Подбросим брусок и телефон

МОМЕНТ ТЯЖЕСТИ · СТЕРЖЕНЬ

Стержень ходит конусом, и относительно шарнира момент даёт тяжесть

шарнир ω L ω × L m g β
Относительно шарнира L⃗\vec L не на вертикали и ходит вместе со стержнем
ω2=3g2lcos⁡β,ω=5,42 рад/с\omega^2 = \frac{3g}{2l\cos\beta}, \qquad \omega = 5{,}42\ \text{рад/с}
l=1l = 1 м, m=1m = 1 кг, β=60∘\beta = 60^\circ: тяжесть даёт 4,25 Н·м
Сила шарнира приложена в полюсе и момента не даёт

МОМЕНТ ТЯЖЕСТИ · ПРЕЦЕССИЯ

Раскрутим волчок

θ a a sin θ m g L M
Центр масс на оси в aa от острия, плечо тяжести asin⁡θa\sin\theta
M=mgasin⁡θ\displaystyle M = mga\sin\theta
момент тяжести горизонтален, поперёк оси
L⃗≈I∥ ω⃗∥\displaystyle \vec L \approx I_\parallel\,\vec\omega_\parallel
быстрый волчок: поперечной частью пренебрегли
Ω=MLsin⁡θ=mgaI∥ ω∥\displaystyle \Omega = \frac{M}{L\sin\theta} = \frac{mga}{I_\parallel\,\omega_\parallel}
синус сократился: от наклона не зависит
M⃗=Ω⃗×L⃗\displaystyle \vec M = \vec\Omega\times\vec L
Ω⃗\vec\Omega по вертикали, порядок сомножителей важен

МОМЕНТ ТЯЖЕСТИ · БЫСТРЫЙ ВОЛЧОК

Различим виды прецессии на волчке

МОМЕНТ ТЯЖЕСТИ · БЫСТРЫЙ ВОЛЧОК

Проверим приближение

I⊥cos⁡θ  Ω2−I∥ω∥ Ω+mga=0I_\perp\cos\theta\;\Omega^2 - I_\parallel\omega_\parallel\,\Omega + mga = 0
равномерная прецессия без кивания оси, I⊥I_\perp относительно острия
ω∥\omega_\parallel, об/с\text{об/с}ОтношениеФормула, рад/с\text{рад/с}Точно, рад/с\text{рад/с}
10026,82,342,36
201,0711,718,6
отношение (I∥ω∥)2(I_\parallel\omega_\parallel)^2 к 4I⊥mgacos⁡θ4I_\perp mga\cos\theta; при 60° ниже 19,3 об/⁠с равномерной прецессии нет
Платим тем, что приближение прячет поперечную часть L⃗\vec L

СЧЁТ ЗАКРЫТ

Когда ось стоит на месте?

Стоит ли осьЛежит ли на ней момент импульсаКто даёт момент, Н⋅м\text{Н}\cdot\text{м}
Гантель на подшипникахданетподшипники, 2,0
Стержень на шарниреданеттяжесть, 4,25
Тело без опортолько главная центральнаяу неё да, у другой нетникто, L⃗\vec L стоит
Волчок на остриенет, прецессируетнет, в 0,9° от неё при 100 об/⁠стяжесть
Полюс у гантели в центре, у стержня в шарнире, у волчка на острие, без опор в центре масс; ось волчка есть ось симметрии
Ось стоит, только если на ней момент импульса или его поворачивают

ДОМАШНЕЕ · ПЯТЬ ЗАДАЧ

С чего начать дома

ЗадачаС чего начать
Гантель на наклонной осиСложите моменты r⃗×mv⃗\vec r\times m\vec v двух масс
Падающая трубаЭнергия даёт ω\omega, уравнение моментов ε\varepsilon
Мяч с наклонной плоскостиПара уравнений и момент тонкой сферы
Метеорит и ось ЗемлиУдар добавляет L⃗\vec L поперёк оси Земли
Гироскопический момент пропеллераСамолёт поворачивает L⃗\vec L винта
Одиннадцать вопросов и пять задач лежат на странице недели

Дальше: колебания

Вопросы и задачи лежат на странице недели

ФИЗИКА 1 · НЕДЕЛЯ 06

← Неделя 06