Работа и энергия. Столкновения

Физика 1 · лекция 04

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

МОСТ · ПАРЫ СИЛ

Внутренние силы ушли из импульса

dp⃗1+dp⃗2=F⃗12 dt+F⃗21 dt=0d\vec p_1 + d\vec p_2 = \vec F_{12}\,dt + \vec F_{21}\,dt = 0
пара сил за время dt: импульс не меняется
Сегодня умножим закон на перемещение, а не на время

ВОПРОС ЛЕКЦИИ

Сменим множитель

F⃗⋅ds⃗=dp⃗dt⋅ds⃗\vec{F} \cdot d\vec{s} = \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot d\vec{s}
второй закон, умноженный скалярно на перемещение
Сократятся ли теперь силы пары? Посчитаем, а не угадаем

ПАРА СИЛ · РАБОТА

Умножим силу на перемещение

dA=F⃗⋅ds⃗=F dscos⁡αdA = \vec{F} \cdot d\vec{s} = F \, ds \cos \alpha
из трёх компонент силы в работу входит одна
  • Толкает по ходу: работа больше нуля
  • Поперёк движения: работы нет
Платим тем, что направление потеряно

ПАРА СИЛ · РАБОТА

Сложим работу вдоль кривой

1 2 Γ ds F α
A≈∑iF⃗i⋅Δs⃗i\displaystyle A \approx \sum_i \vec{F}_i \cdot \Delta\vec{s}_i
складываем работы на малых отрезках
A=∫ΓF⃗⋅ds⃗\displaystyle A = \int_{\Gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s}
отрезки мельчают: сумма становится интегралом

ПАРА СИЛ · РАБОТА

Поделим работу на время

P=dAdt\displaystyle P = \frac{dA}{dt}
работа за единицу времени
P=F⃗⋅v⃗\displaystyle P = \vec{F} \cdot \vec{v}
верно для любой силы в каждый момент
  • Скорость здесь у точки приложения силы
  • Колесо на дороге: сила есть, мощности нет

ПАРА СИЛ · ТЕОРЕМА

Докажем теорему о кинетической энергии

F⃗=dp⃗dt\displaystyle \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}
отправная точка: второй закон
F⃗⋅ds⃗=dp⃗dt⋅ds⃗\displaystyle \vec{F} \cdot d\vec{s} = \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot d\vec{s}
умножили обе части на перемещение
dA=mdv⃗dt⋅v⃗ dt=m v⃗⋅dv⃗\displaystyle dA = m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} \, dt = m \, \vec{v} \cdot d\vec{v}
ds = v dt, масса постоянна

ПАРА СИЛ · ТЕОРЕМА

Проинтегрируем по скорости

ddt(v2)=ddt(v⃗⋅v⃗)  ⇒  2vdvdt=2 v⃗⋅dv⃗dt\displaystyle \frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(\vec{v} \cdot \vec{v}) \;\Rightarrow\; 2v\frac{dv}{dt} = 2\, \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt}
почему v·dv равно v dv
A=∫v1v2mv dv=mv222−mv122\displaystyle A = \int_{v_1}^{v_2} m v \, dv = \frac{m v_2^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2}
складываем вклады от v₁ до v₂
A=ΔK=mv222−mv122\displaystyle A = \Delta K = \frac{m v_2^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2}
работа всех сил равна приросту mv²/2

ПАРА СИЛ · ТЕОРЕМА

Сложим по точкам системы

ΔK=Aвнеш+Aвнутр\Delta K = A^{\text{внеш}} + A^{\text{внутр}}
работа всех сил, внутренних тоже
В импульсе внутренние силы сокращались. А здесь?

ПАРА СИЛ · ДВА ТЕЛА

Умножим силу пары на относительный сдвиг

dp⃗1+dp⃗2=F⃗12 dt+F⃗21 dt=0\displaystyle d\vec p_1 + d\vec p_2 = \vec F_{12}\,dt + \vec F_{21}\,dt = 0
общий множитель dt: пара сокращается
dAпары=F⃗12⋅dr⃗1+F⃗21⋅dr⃗2=F⃗12⋅d(r⃗1−r⃗2)\displaystyle dA_{\text{пары}} = \vec F_{12}\cdot d\vec r_1 + \vec F_{21}\cdot d\vec r_2 = \vec F_{12}\cdot d(\vec r_1 - \vec r_2)
у каждого тела своё перемещение
Пара не работает без относительного сдвига

ПАРА СИЛ · ДВА ТЕЛА

Положим коробку на ленту

ПАРА СИЛ · ДВА ТЕЛА

Сведём работы трения в таблицу

Работа тренияСистема землиСистема ленты
Над коробкой+2,25 Дж−2,25 Дж
Над лентой−4,50 Дж0
Пара−2,25 Дж−2,25 Дж
Одна сила трения работает в плюс, пара всегда в минус

ПАРА СИЛ · НАБЛЮДАТЕЛИ

Пересядем в движущуюся систему отсчёта

x y z O K x y z O K r r R A
v⃗i=v′⃗i+V⃗\vec{v}_i = \vec{v'}_i + \vec{V}
скорость в K: скорость в K′ плюс V
Импульс сдвигается на MV, а энергия квадратична по скорости

ПАРА СИЛ · НАБЛЮДАТЕЛИ

Разделим энергию на две части

K=∑i=1Nmivi′22+MV22+V⃗⋅∑i=1Nmiv′⃗i=K′+MV22+V⃗⋅P⃗′\displaystyle K = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i {v'_i}^2}{2} + \frac{M V^2}{2} + \vec{V} \cdot \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v'}_i = K' + \frac{M V^2}{2} + \vec V \cdot \vec{P}'
перекрёстное слагаемое: V на импульс в K′
K=MVC22+Kотн\displaystyle K = \frac{M V_C^2}{2} + K_{\text{отн}}
в системе центра масс импульс ноль

ПАРА СИЛ · НАБЛЮДАТЕЛИ

Разгоним автомобиль и пересадим наблюдателя

ПАРА СИЛ · НАБЛЮДАТЕЛИ

Кто доплатил четыреста килоджоулей

Разгон 1000 кгДорогаНазад 20 м/⁠сВперёд 20 м/⁠с
Скорость машины, м/⁠сс 0 до 20с 20 до 40с −20 до 0
Прирост энергии200 кДж600 кДж−200 кДж
Трение покоя над машиной0+400 кДж−400 кДж
Энергия Земли0−400 кДж+400 кДж
Двигатель и бензин200 кДж, 15 г200 кДж, 15 г200 кДж, 15 г
Бензин платит за работу двигателя, она одна у всех

ПАРА СИЛ · НАБЛЮДАТЕЛИ

Посчитаем колесо, пересев на него

системадороги v 2 v √ 2 v √ 2 v 0 системацентраколеса v v v v
K=mv22+mv22=mv2K = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = m v^2
обод 1 кг на 5 м/⁠с: 25 Дж, вдвое больше

ПАРА СИЛ · КЛАССЫ

Выделим силы, работа которых не зависит от пути

I II 1 2
∮F⃗⋅ds⃗=0\displaystyle \oint \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0
ноль по любому замкнутому контуру
∫1→2, IF⃗⋅ds⃗=∫1→2, IIF⃗⋅ds⃗\displaystyle \int_{1\rightarrow 2,\, I} \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int_{1\rightarrow 2,\, II} \vec{F} \cdot d\vec{s}
отсюда: работа не зависит от пути
Проверять надо по любому контуру: одного контура мало

ПАРА СИЛ · КЛАССЫ

Запишем работу убылью потенциальной энергии

A 12 A 20 A 01 A 10 1 2 0
A12+A20+A01=0\displaystyle A_{12} + A_{20} + A_{01} = 0
контур через точки 1, 2 и точку отсчёта
A12=U1−U2=−ΔU\displaystyle A_{12} = U_1 - U_2 = -\Delta U
точка отсчёта сократилась
Минус выбран ради закона: сохраняется сумма K + U

ПАРА СИЛ · КЛАССЫ

Энергия принадлежит паре

dAпары=F⃗12⋅d(r⃗1−r⃗2)=−dU12\displaystyle dA_{\text{пары}} = \vec F_{12}\cdot d(\vec r_1 - \vec r_2) = -dU_{12}
работа пары: убыль энергии взаимодействия
U=∑i<kUik\displaystyle U = \sum_{i<k} U_{ik}
энергия системы: каждая пара один раз

ПАРА СИЛ · КЛАССЫ

Проверим центральное поле

r 1 r 2 dr dr F 1 2
F⃗(r⃗)=f(r) r⃗r\displaystyle \vec{F}(\vec{r}) = f(r)\,\frac{\vec{r}}{r}
вдоль радиуса, модуль зависит только от r
dA=F⃗⋅dr⃗=f(r) r⃗⋅dr⃗r=f(r) dr\displaystyle dA = \vec{F} \cdot d\vec{r} = f(r)\, \frac{\vec{r}\cdot d\vec{r}}{r} = f(r)\, dr
r·dr = r dr для любого перемещения
A12=∫r1r2f(r) dr=U(r1)−U(r2)\displaystyle A_{12} = \int_{r_1}^{r_2} f(r)\,dr = U(r_1) - U(r_2)
работа есть разность U на двух радиусах
Унести килограмм с Земли на бесконечность стоит 62,6 МДж

ПАРА СИЛ · КЛАССЫ

Разделим силы по работе пары

КлассЧто делает работа пары
КонсервативныеКопится функцией положения
ГироскопическиеЕё нет: сила поперёк скорости
ДиссипативныеМеньше нуля, одна у всех: трение
ПрочиеЛюбая: двигатель, мышцы
Потенциальная энергия есть только у консервативных

ПАРА СИЛ · БАЛАНС

Сведём баланс механической энергии

K2−K1=Aконс+Aнеконс\displaystyle K_2 - K_1 = A_{\text{конс}} + A_{\text{неконс}}
кинетическую меняют все силы
Aконс=U1−U2\displaystyle A_{\text{конс}} = U_1 - U_2
консервативные дают убыль U
E2−E1=Aнеконс\displaystyle E_2 - E_1 = A_{\text{неконс}}
полную меняют только неконсервативные

ПАРА СИЛ · БАЛАНС

Условие сохранения ставит сам закон

K1+U1=K2+U2K_1 + U_1 = K_2 + U_2
работать могут только консервативные и гироскопические
Трение уносит энергию в нагрев: потрите ладони

ПАРА СИЛ · БАЛАНС

Строго доказать мы это не можем

  • Механический закон выведен из законов Ньютона
  • Общий принят как обобщение опыта
Строже: из однородности времени, по теореме Нётер

ПАРА СИЛ · БАЛАНС

Проследим энергию от груза до лампочки

ОБРАТНЫЙ ХОД · ГРАДИЕНТ

Вернём силу из одной функции

dA=Fxdx+Fydy+Fzdz=−dU\displaystyle dA = F_x dx + F_y dy + F_z dz = - dU
работа на малом шаге: минус dU
Fx=−∂U∂x\displaystyle F_x = - \frac{\partial U}{\partial x}
шаг вдоль одной оси даёт компоненту
F⃗=−∇U=−(∂U∂x, ∂U∂y, ∂U∂z)\displaystyle \vec{F} = - \nabla U = -\left(\frac{\partial U}{\partial x},\, \frac{\partial U}{\partial y},\, \frac{\partial U}{\partial z}\right)
все три сразу: минус градиент
Одно число в точке вместо трёх: втрое меньше памяти

ОБРАТНЫЙ ХОД · ГРАДИЕНТ

Проверим картинку с холмами

y = V ( x ) s x N mg v
  • Где повернёт и где стоит: как у точки
  • По горизонтали отстаёт: скорость вдоль склона
По рельефу читаем, где тело повернёт, но не когда

ОБРАТНЫЙ ХОД · ГРАДИЕНТ

Горка и потенциал расходятся

Голубое скользит по горке, оранжевое в потенциале той же формы

ОБРАТНЫЙ ХОД · СПУСК

Остановиться в минимуме можно только с трением

md2xdt2=−dUdx−γdxdtm\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{dU}{dx} - \gamma\frac{dx}{dt}
шарик на рельефе с вязким трением
Без трения шарик проскакивает дно и возвращается

ОБРАТНЫЙ ХОД · СПУСК

Превратим трение в градиентный спуск

xk+1=xk−ηdUdx∣xk,η=Δtγ\displaystyle x_{k+1} = x_k - \eta \left.\frac{dU}{dx}\right|_{x_k}, \qquad \eta = \frac{\Delta t}{\gamma}
сильное трение: шаг против градиента
xk+1=xk−ηdUdx∣xk+β (xk−xk−1)\displaystyle x_{k+1} = x_k - \eta \left.\frac{dU}{dx}\right|_{x_k} + \beta\,(x_k - x_{k-1})
умеренное трение: шаг помнит прошлый
Метод с импульсом в ML и есть тяжёлый шарик

ОБРАТНЫЙ ХОД · СПУСК

Отпустим шарик между двумя ямками

ДОСТУПНО · ДВЕ ЧАСТИ

Отделим то, что удар не тронет

K=MVC22+KотнK = \frac{M V_C^2}{2} + K_{\text{отн}}
энергия центра масс и энергия относительного движения
  • Первую держит импульс: удар её не тронет
  • Второй распоряжаются внутренние силы

ДОСТУПНО · УДАР

Разделим удары по судьбе энергии

УдарЭнергия относительного движения
Абсолютно упругийСохраняется
Абсолютно неупругийТеряется целиком, тела слипаются
Частично упругийТеряется часть
Полная энергия сохраняется в любом ударе

ДОСТУПНО · УПРУГИЙ

Решим упругий удар на прямой

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′\displaystyle m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'
импульс сохраняется
m1v122+m2v222=m1v1′22+m2v2′22\displaystyle \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 {v_1'}^2}{2} + \frac{m_2 {v_2'}^2}{2}
энергия тоже: удар упругий
m1(v1−v1′)=m2(v2′−v2)\displaystyle m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_2' - v_2)
первое тело влево, второе вправо
m1(v1−v1′)(v1+v1′)=m2(v2′−v2)(v2′+v2)\displaystyle m_1 (v_1 - v_1') (v_1 + v_1') = m_2 (v_2' - v_2) (v_2' + v_2)
то же в энергии, квадраты разложены
v1+v1′=v2+v2′\displaystyle v_1 + v_1' = v_2 + v_2'
поделили: удар был, v1′≠v1v_1' \ne v_1
v1′−v2′=−(v1−v2)\displaystyle v_1' - v_2' = -(v_1 - v_2)
относительная скорость меняет знак

ДОСТУПНО · УПРУГИЙ

Решим то же в системе центра масс

v1′−v2′=−(v1−v2)\displaystyle v_1' - v_2' = -(v_1 - v_2)
тела расходятся так же быстро, как сближались
v1′=2VC−v1,v2′=2VC−v2\displaystyle v_1' = 2V_C - v_1, \qquad v_2' = 2V_C - v_2
в системе центра масс каждое разворачивается
доудара 2 V C ц.м. 1кг 3кг послеудара 1 V C 1 лабораторнаясистема доудара 1,5 0,5 послеудара 1,5 0,5 системацентрамасс
1 кг на 2 м/⁠с о покоящиеся 3 кг: обе по 1 м/⁠с врозь

ДОСТУПНО · УПРУГИЙ

Сосчитаем удары у стенки

ДОСТУПНО · ОКРУЖНОСТЬ

Упругий удар только поворачивает импульсы

p⃗1c=−p⃗2c=μ v⃗отн,μ=m1m2m1+m2\displaystyle \vec p_{1c} = -\vec p_{2c} = \mu\, \vec v_{\text{отн}}, \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
импульсы в системе центра масс: ±μ v отн
Kотн=pc22m1+pc22m2=pc22μ=μvотн22\displaystyle K_{\text{отн}} = \frac{p_c^2}{2m_1} + \frac{p_c^2}{2m_2} = \frac{p_c^2}{2\mu} = \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}
энергия относительного движения
pc′=pc\displaystyle p_c' = p_c
упругий удар сохраняет модули
χ p 1 c p 2 c p 1 c p 2 c

ДОСТУПНО · ОКРУЖНОСТЬ

Чего законы сохранения не скажут

θ max θ V C v 1 c v 1 c v 1

ДОСТУПНО · ОКРУЖНОСТЬ

Покрутим удар в системе центра масс

ДОСТУПНО · УГОЛ

Найдём предельный угол

sin⁡θmax⁡=v1cVC\displaystyle \sin\theta_{\max} = \frac{v_{1c}}{V_C}
касательная к окружности скоростей
sin⁡θmax⁡=mM\displaystyle \sin\theta_{\max} = \frac{m}{M}
синус предельного угла: отношение масс
α-частица на электроне: не больше 0,008°

ДОСТУПНО · СЛИПАНИЕ

Посчитаем потерю при слипании

ΔK=−μvотн22\Delta K = -\frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}
после слипания относительного движения нет
Машина и грузовик на 100 км/⁠ч: 351 кДж, кто бы ни ехал

ДОСТУПНО · ПОРОГ

Сольём две частицы в новую

Ниже порога удар упругий, с порога частицы сливаются

ДОСТУПНО · ПОРОГ

Заменим реакцию подъёмом на горку

доподъёма H M m v напороге V C V C
На вершине шайба и горка едут вместе, с центром масс

ДОСТУПНО · ПОРОГ

Найдём порог реакции

Kотн≥Q\displaystyle K_{\text{отн}} \geq Q
реакция берёт только из K отн
mv22=M+m2(mvM+m)2+Q\displaystyle \frac{m v^2}{2} = \frac{M + m}{2} \left( \frac{m v}{M + m} \right)^2 + Q
на пороге продукты идут вместе, с центром масс
K⋅MM+m=Q\displaystyle K \cdot \frac{M}{M + m} = Q
доступна доля M/(M + m)
Kпор=Q(1+mM)\displaystyle K_{\text{пор}} = Q\left(1 + \frac{m}{M}\right)
наименьшая энергия, при которой реакция идёт

ДОСТУПНО · ПОРОГ

Сравним лёгкий и тяжёлый снаряд

Снаряд и мишеньРеакция берётПорог
Электрон и молекула азота15,6 эВвыше на 0,002 %
α-частица и ядро азота1,19 МэВ1,53 МэВ
Лёгкий снаряд отдаёт почти всё, тяжёлый только часть

СЧЁТ ЗАКРЫТ

Поставим импульс и энергию рядом

ИмпульсЭнергия
Множитель у парыdt, общийперемещение, у каждого своё
Внутренние силысокращаютсяостаются
Что выбираетсистему и точкукласс сил
В ударесохраняетсятратится только K отн
Внутренние силы тронули только K отн

ДОМАШНЕЕ · ТРИ ЗАДАЧИ

С чего начать дома

ЗадачаС чего начать
Удар о стенку, идущую навстречуПересядьте на стенку и вернитесь
Пружина с грузомОдин потенциал для тяжести и пружины
Потенциал Леннарда-ДжонсаСила ноль там, где производная U ноль
Двенадцать вопросов и три задачи на странице недели

Дальше: момент импульса и тяготение

Вопросы и задачи лежат на странице недели

ФИЗИКА 1 · НЕДЕЛЯ 04

← Неделя 04