Законы Ньютона. ЗСИ. Центр масс

Вагон идёт со скоростью $20$ м/с, на столе стоит чашка, кнопка «тормозить» включает торможение с ускорением $2$ м/с². Модель одна, камер две. Изнутри вагона чашка трогается с места без видимой причины и ползёт к краю стола; с платформы она продолжает идти со своими $20$ м/с, а стол уезжает из-под неё. Между чашкой и столом трение с $\mu = 0{,}1$: пока торможение слабее $\mu g \approx 1$ м/с², чашка стоит на месте, при $2$ м/с² скользит относительно стола с ускорением около $1$ м/с² и доезжает до края стола за секунду.

Строка показаний печатает ускорение чашки в обеих системах и «силу», которую пришлось бы выдумать наблюдателю в вагоне, чтобы объяснить движение чашки: $m a_{\text{поезда}} = 0{,}6$ Н при массе чашки $0{,}3$ кг. Регулятор торможения показывает границу, за которой чашка срывается, и она проходит ровно по $\mu g$.

Две тележки на воздушной дорожке. Первая эталон с массой единица, у второй масса задаётся ползунком отношения $m_2/m_1$ от $0{,}25$ до $4$; кнопка «клонировать эталон» ставит на её место две эталонные тележки, сцепленные вместе. Взаимодействие на выбор: сжатая пружина между тележками, отпущенными из покоя, упругий удар или пластилин. Демка гонит модель и снимает скорости до и после засечками по координатам за $0{,}2$ с, а не из переменных модели, и печатает отношение $|\Delta\vec v_1|/|\Delta\vec v_2|$.

Отношение не меняется ни при смене взаимодействия, ни при смене толчка, и равно $m_2/m_1$: при отношении $0{,}5$ и пружине первая тележка приобретает $0{,}30$ м/с, вторая $0{,}60$ м/с в другую сторону, те же числа, что в главе. Именно эта неизменность и делает пару чисел свойством самих тел. Трения нет, и это сказано на кадре.

Два тела на прямой, $5$ кг и $1$ кг, обмениваются импульсом порциями по $0{,}5$ кг$\cdot$м/с. В режиме «мгновенно» отдача и приём случаются в один и тот же момент: импульсы тел меняются на равные и противоположные величины, сумма стоит на месте всегда, третий закон выполняется в обычной форме. Переключатель «с задержкой» разносит те же два события временем полёта: порцию несёт посылка со скоростью $c$, и пока она идёт, отдачу получило одно тело, а второе о ней ещё не знает. Сумма импульсов двух тел проваливается ровно на величину порции и держится в провале столько, сколько длится перенос.

Пять показаний под сценой считают этот провал вслух: импульс каждого тела, их сумма, импульс в пути и полная сумма. Проваливается только сумма двух тел, полная стоит неподвижно, потому что отданное не пропало, а летит. Ползунок скорости переноса от $2$ до $30$ м/с начинает опыт заново, и длина провала на дорожке времени идёт за $\tau = L/c$: при $c = 3$ м/с первый перенос через зазор в $6$ м длится две секунды, при $30$ м/с провал в десять раз короче и почти незаметен. Лёгкая тележка раскачивается так же широко, как тяжёлая, зазор между ними дышит, и следующие переносы идут дольше первого ровно настолько, насколько тележки успели разойтись. Отсюда и видно, чем классическая механика расплачивается за третий закон: он верен ровно настолько, насколько велика скорость переноса по сравнению со скоростями тел.

Орудие массой $500$ кг стоит на гладкой горизонтальной площадке и стреляет снарядом массой $5$ кг со скоростью $200$ м/с относительно себя; угол ствола задаётся ползунком от $0$ до $80°$. После выстрела на кадре таблица: горизонтальная составляющая импульса системы до и сразу после выстрела (равны, обе нули), вертикальная (до выстрела нуль, после $m u\sin\alpha$) и импульс, который сообщила системе площадка: ровно разность. При $45°$ орудие откатывается со скоростью $1{,}40$ м/с, вертикальный импульс снаряда $707$ кг·м/с, и столько же система получила от опоры.

Снаряд летит по параболе, посчитанной шагами, а рядом тонкой линией лежит парабола по формуле, и они совпадают. Вдоль какой оси импульс сохраняется, решила не разметка осей, а внешняя сила: по горизонтали её нет, по вертикали есть опора.

Теннисный мяч массой 58 г летит в стену со скоростью 30 м/с и отскакивает. Во время контакта мяч сплющивается, и рядом в реальном времени рисуется график силы: короткий горб, площадь под которым и есть изменение импульса. Демка набирает эту площадь отдельным счётом, трапециями по силе, и печатает её рядом с $2mv$: они сходятся с точностью лучше тысячной доли процента. Пик силы выходит $1{,}1$ кН, средняя за удар около $700$ Н, вес мяча $0{,}57$ Н.

Переключатель «мягкий — жёсткий» меняет время контакта вдвое при той же скорости налёта: горб становится вдвое выше и вдвое уже, а площадь остаётся прежней, потому что импульс задан скоростями, а не тем, из чего мяч сделан. Ползунок скорости меняет и площадь, и пик, а время контакта не трогает вовсе: у линейной оболочки оно равно $\pi\sqrt{m/k}$ и от скорости не зависит. Отдельной строкой стоит импульс тяжести за время удара: он в тысячу двести раз меньше, и потому за эти пять миллисекунд тяжесть из расчёта выпадает.

Точка идёт по круговой орбите под силой, направленной к центру и пропорциональной расстоянию до него. Ползунок задаёт число шагов на оборот от $20$ до $1000$, переключатель выбирает схему: явный Эйлер, где положение считается по старой скорости, и полунеявный, где сначала обновляется скорость, а положение считается уже по новой. Кнопка «оборот» делает ровно один оборот и останавливается, чтобы число можно было прочитать.

Явный Эйлер при ста шагах растит радиус на $21{,}8$ процента за оборот, при тысяче на $2{,}0$; полунеявный при тех же ста шагах возвращает точку на исходный радиус с точностью лучше процента. Рост радиуса снимается с положения точки на границах оборота, а формула $\sqrt{1 + (2\pi/N)^2}$ держится рядом только для сверки. Справа график радиуса от числа оборотов: у явной схемы экспонента, у полунеявной полка с рябью, и это устойчивость от шага одним взглядом.

Две копии одной и той же системы трёх притягивающихся тел равной массы нарисованы в одном кадре: первая залитыми кружками, вторая кольцами того же радиуса, и пока копии совпадают, кольцо сидит на кружке. Во второй копии одно тело сдвинуто на долю $\varepsilon$ размера системы, ползунок задаёт её от $10^{-9}$ до $10^{-3}$. Старт из треугольника Лагранжа, вращающегося как целое: это точное решение задачи трёх тел, и оно неустойчиво, так что малое возмущение растёт как экспонента.

Кнопка «пуск»: сначала копии неразличимы, потом кольца сходят с кружков, и таймер печатает, за сколько расстояние между копиями выросло до размера системы. При $\varepsilon = 10^{-6}$ это около $22{,}6$ единиц времени, при $10^{-9}$ около $32{,}6$: каждая лишняя декада точности начальных условий покупает около $3{,}4$ единицы времени, и на графике логарифма расстояния рост идёт прямой. Обе копии считаются одним кодом и одной сеткой шагов, энергия и импульс каждой печатаются как контроль; уменьшение шага вдвое времени расхождения не меняет, значит расходится физика, а не счёт. Вторая линия на графике показывает, как от точного решения из-за конечной точности чисел уходит и сама первая копия.

Уравнение Мещерского интегрируется по шагам. Ползунки задают скорость истечения от $1$ до $4$ км/с, расход массы от $0{,}5$ до $5$ т/с и долю топлива в стартовых $100$ т. На графике скорость от времени, а рядом тонкой линией формула Циолковского $v = v_{\text{отн}}\ln(m_0/m)$: без тяжести кривые совпадают, и это проверка честности счёта. При $2$ км/с, $98$ процентах топлива и расходе $1$ т/с конечная скорость $7{,}8$ км/с; ровно восемь получаются при доле $1 - e^{-4}$.

Переключатель «тяжесть» включает вертикальный старт: кривая уходит ниже на гравитационные потери $gt$, около $0{,}96$ км/с за $98$ с работы двигателя. Если реактивная сила меньше веса, как при расходе $0{,}5$ т/с и истечении $1$ км/с, ракета стоит на опоре и не отрывается, пока не сгорит половина топлива; на кадре видны три силы, реактивная, вес и опора. Переключатель «налипание» показывает то же уравнение при растущей массе: вагон под дождём тормозится, а импульс сохраняется.

Две тележки, $1$ кг и $3$ кг, связаны пружиной с $k = 20$ Н/м; пружина сжата на $0{,}2$ м и отпущена, обе тележки идут со скоростью центра масс $0{,}2$ м/с. Тележки дёргаются навстречу и врозь, а точка между ними, взвешенная массами, идёт по прямой с постоянной скоростью. Под сценой график положений: следы тележек ломаные, след центра масс прямая. Центр масс считается по определению из положений тележек, и его прямолинейность результат счёта, а не рисунка.

Ползунок наклона дорожки задаёт внешнее ускорение до $1$ м/с² и превращает прямую центра масс в параболу. Ускорение центра масс, снятое с графика второй разностью, совпадает с $F^{\,\text{внеш}}/M$ с точностью счёта, а без наклона равно нулю, какими бы ни были колебания тележек.