Законы Ньютона. ЗСИ. Центр масс

Физика 1 · лекция 03

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

МОСТ · ПОЕЗД

Чашка тронулась без причины

МОСТ · ДВЕ ПРОБЛЕМЫ

Что не так со школьными формулировками

Первый закон лишний?
Положите во втором законе силу равной нулю — ускорение тоже ноль, движение равномерное. Первый закон выходит частным случаем второго, и непонятно, зачем ему отдельный номер.
Круг в определениях
Сила — то, что сообщает массе ускорение. Масса — то, что мешает силе ускорять. Каждая величина определена через другую, и ни одна не определена сама по себе.

ТЕЗИС

Одно, два, три

Три закона соберём из одного предположения и двух определений
Одно предположение: количество движения только передаётся
Два определения: масса из опыта, сила как имя производной
Три закона: первый принят, второй записан, третий выведен
Дальше они выберут: отсчёт, ось, состояние, систему, точку

СТРОИМ · ПОСТУЛАТ

Первый закон говорит не о телах

Есть система отсчёта, где свободное тело идёт без ускорения
  • Закон: она одна на все свободные тела
  • Определение: её и называют инерциальной
  • Доказать нельзя, опыт не возражает
Платим тем, что законы пишутся только в такой системе

СТРОИМ · ПОСТУЛАТ

Годится ли Земля

ω2R=(2π86,4⋅103 с)2⋅6,4⋅106 м≈0,034 м/с2,\omega^2 R = \left(\frac{2\pi}{86{,}4\cdot10^3\ \text{с}}\right)^2 \cdot 6{,}4\cdot10^6\ \text{м} \approx 0{,}034\ \text{м/с}^2,
центростремительное ускорение точки на экваторе
  • Три с половиной тысячных от g
  • Мячу и тележке на дорожке всё равно
  • Маятнику за сутки и океану уже нет

СТРОИМ · КЛАСС СИСТЕМ

Пересядем к другому наблюдателю

x y z O K x y z O K r r R A
r⃗=r⃗′+V⃗t\displaystyle \vec{r} = \vec{r}' + \vec{V}t
система K′ уехала на Vt
v⃗=v⃗′+V⃗\displaystyle \vec{v} = \vec{v}' + \vec{V}
продифференцировали: скорости складываются

СТРОИМ · КЛАСС СИСТЕМ

Что переживает пересадку

a⃗=a⃗′\vec{a} = \vec{a}'
скорость V постоянна, и вторая производная от неё нуль
Ускорение одно у всех: через него закон и запишут

СТРОИМ · КЛАСС СИСТЕМ

Принцип относительности Галилея

  • Шарик падает одинаково: стоим или едем
  • Инерциальных систем бесконечно много
  • Внутри класса выбираем по удобству
Платим одним временем на всех: его отдадим у света

СТРОИМ · ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ

Опыт, в котором никакой силы нет

СТРОИМ · ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ

Количество движения только передаётся

m1Δv⃗1=−m2Δv⃗2m_1 \Delta \vec{v}_1 = -m_2 \Delta \vec{v}_2
изменения скоростей в изолированной паре
Приняли одно: снаружи на пару не действует ничто

СТРОИМ · МАССА

Почему «мера инертности» — не определение

Первая попытка
Масса есть мера инертности: чем тело массивнее, тем труднее его разогнать. Слово «труднее» ничем не определено, мерить по нему нечего. Камень побольше, скатившись с горы, проедет чуть дальше — вот и весь прибор.
Что сделали вместо
Взяли опыт, где никакой силы нет вовсе, и число, которое в нём приписывается телу, назвали массой. Такое определение измеримо: столкни тело с эталоном и посчитай отношение изменений скоростей.

СТРОИМ · МАССА

Это число и называется массой

  • Знаки одинаковы: скорости меняются навстречу
  • Отношение не зависит от рода взаимодействия
  • Столкнули с эталоном — получили число
Платим тем, что это только инертная масса

СТРОИМ · МАССА

Эталон: от цилиндра к постоянной Планка

До 2019 года
Платиново-иридиевый цилиндр под Парижем, и килограмм равен его массе. Копии за век разошлись с оригиналом на десятки микрограммов, и сказать, кто из них похудел, было не с чем.
С 20 мая 2019 года
Постоянной Планка приписано точное значение, а килограмм воспроизводят весами Киббла: вес уравновешивают силой на катушку с током, а ток и напряжение меряют квантовыми эталонами.

СТРОИМ · СИЛА

Импульс и сохранение для пары

p⃗=mv⃗\displaystyle \vec p = m\vec v
произведение массы на скорость
m1v⃗1+m2v⃗2=m1v⃗1′+m2v⃗2′\displaystyle m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}_1' + m_2 \vec{v}_2'
та же строка опыта, переписанная суммой

СТРОИМ · СИЛА

Сила: имя того, что меняет импульс

dp⃗1dt=F⃗12\displaystyle \frac{d\vec{p}_1}{dt} = \vec{F}_{12}
определение силы: скорость изменения импульса
F⃗=dp⃗dt=d(mv⃗)dt=mdv⃗dt=ma⃗\displaystyle \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}
при постоянной массе — школьная запись
Платим тем, что второй закон перестал быть законом

СТРОИМ · СИЛА

Где закон возвращается

Наш порядок
Опыт даёт сохранение импульса, из него масса, силе дано имя. Второй закон ничего не утверждает о природе: утверждение спрятано раньше, в предположении.
У Ньютона
Три закона стоят аксиомами, сила первична, сохранение импульса выводится. Обе постройки дают одни уравнения движения, и обе живут в учебниках.
Закон вернётся, когда сила станет известна независимо

СТРОИМ · СУПЕРПОЗИЦИЯ

Силы от разных тел складываются

  • Убрали второе тело — измерили силу первого
  • Вернули — вклады сложились векторно
  • Соседи друг другу не мешают
Принято сверх счёта: из определения силы не следует

СТРОИМ · ТРЕТИЙ ЗАКОН

Третий закон не принимаем, а выводим

dp⃗1dt+dp⃗2dt=0\displaystyle \frac{d\vec{p}_1}{dt} + \frac{d\vec{p}_2}{dt} = 0
сумма импульсов пары постоянна
F⃗12+F⃗21=0\displaystyle \vec{F}_{12} + \vec{F}_{21} = 0
подставили определение силы
F⃗12=−F⃗21\displaystyle \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}
равны по величине, противоположны по направлению
Оказывается: никто его не закладывал, а он вышел

СТРОИМ · ТРЕТИЙ ЗАКОН

Чего вывод не даёт

  • Что силы вдоль прямой — отдельный факт
  • Из сохранения импульса он не следует
  • Понадобится в пятой неделе
Равенство мгновенное, и в этом его граница

СТРОИМ · ГРАНИЦА

Где третий закон перестаёт работать?

Тридцать секунд на подумать, потом соберём ответы

СТРОИМ · ГРАНИЦА

Солнце узнают через восемь минут

  • От Солнца до Земли 150 миллионов км
  • Свет идёт 8 минут 19 секунд
  • Пока перенос идёт, пары сил нет
Импульс уходит в поле, и счёт всё равно сходится

СТРОИМ · ГРАНИЦА

Восемь минут, сжатые в две секунды

СТРОИМ · СИСТЕМА ТОЧЕК

Внутренние силы уходят парами

1 2 3 n F 12 F 13 F 1 n F 21 F внеш 1 F внеш 2 F внеш 3 F внеш n
dp⃗idt=F⃗i внутр+F⃗i внеш,F⃗i внутр=∑k≠iF⃗ik\displaystyle \frac{d\vec{p}_i}{dt} = \vec{F}_i^{\,\text{внутр}} + \vec{F}_i^{\,\text{внеш}}, \qquad \vec{F}_i^{\,\text{внутр}} = \sum_{k \ne i} \vec{F}_{ik}
на каждую точку: внутренние и внешние
dp⃗dt=F⃗ внеш,F⃗ внеш=∑iF⃗i внеш\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}^{\,\text{внеш}}, \qquad \vec{F}^{\,\text{внеш}} = \sum_i \vec{F}_i^{\,\text{внеш}}
импульс системы меняют только внешние

СЧЁТ ПЕРВОГО АКТА

Одно предположение, два определения, три закона

предположение изолированнаяпара m 1 ∆ v 1 = − m 2 ∆ v 2 принятосверх суперпозиция F = F A + F B определение масса m 2 m 1 = | ∆ v 1 | | ∆ v 2 | определение сила F = dp dt принято первыйзакон инерциальная система запись второйзакон F = dp dt следствие третийзакон F 12 = − F 21 p = mv

ОКАЗЫВАЕТСЯ · МАССЫ СКЛАДЫВАЮТСЯ

Аддитивность массы — теорема

p⃗=∑imiv⃗i\displaystyle \vec{p} = \sum_i m_i \vec{v}_i
импульс системы в системе S
p⃗ ′=∑imi(v⃗i−V⃗)=p⃗−(∑imi)V⃗\displaystyle \vec{p}\,' = \sum_i m_i (\vec{v}_i - \vec{V}) = \vec{p} - \Big(\sum_i m_i\Big)\vec{V}
пересели к наблюдателю, который едет с V
M=∑imi\displaystyle M = \sum_i m_i
коэффициент при V и есть масса системы

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · ОСЬ

Вдоль какой оси импульс сохраняется

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · ОСЬ

Ударный импульс

Δp⃗=∫t1t2F⃗(t) dt\Delta \vec{p} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \, dt
изменение импульса — интеграл силы по времени
По силе, которую никто не мерил, судим по импульсу

АНТИМИФ · МЯЧ ДЛЯ ГОЛЬФА

Верите этому ролику?

Кадр вирусного ролика: мяч расплющен о стальную плиту больше чем вдвое
Открыть на YouTube
Ходит по сети с 2009 года, первоисточник неизвестен · перезалив канала Singularity, YouTube

АНТИМИФ · МЯЧ ДЛЯ ГОЛЬФА

Прикинем, сколько он может сплющиться

τ=πmk,xmax⁡=v τπ\displaystyle \tau = \pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad x_{\max} = \frac{v\,\tau}{\pi}
сила по полусинусоиде, как в демке мяча
xmax⁡≈67⋅0,45⋅10−3π м≈1 см,\displaystyle x_{\max} \approx \frac{67 \cdot 0{,}45\cdot10^{-3}}{\pi}~\text{м} \approx 1~\text{см},
контакт 0,45 мс, скорость 67 м/⁠с
Сантиметр, четверть мяча. Вдвое сплющится только вчетверо мягкий

АНТИМИФ · МЯЧ ДЛЯ ГОЛЬФА

Настоящий мяч на тех же 150 милях

Кадр ролика USGA: стандартный мяч для гольфа летит в стальную плиту
Открыть на YouTube
USGA, «Golf Ball Hitting Steel in Slow Motion» · YouTube

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · ОСЬ

Семьсот ньютонов за пять миллисекунд

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · ОСЬ

Когда ударом можно пользоваться нагло

Ракета на осколки
Разлом длится сотые доли секунды, тяжесть за это время ничтожна. Суммарный импульс осколков равен импульсу ракеты, и неважно, как она разваливалась.
Мяч у стены
Стену из системы не выкинуть: её реакция ничем не ограничена, и именно она разворачивает мяч. Импульс мяча не сохраняется, и пренебречь стеной нельзя.
Критерий: импульс внешней силы против импульсов тел

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СОСТОЯНИЕ

Что нужно знать, чтобы предсказать

md2r⃗dt2=F⃗(r⃗,v⃗,t)m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)
слева ускорение, справа закон силы
  • Знать нужно положение и скорость сейчас
  • Это шесть чисел, и назвал их закон
Платим тем, что без закона силы оно ничего не скажет

МОСТ · В ML

Одного кадра мало, двух хватает

Кадров на входеЧто модель из них знает
ОдинПоложение. Скорости нет
ДваПоложение и скорость: состояние целиком
БольшеО состоянии ничего нового
Сколько чисел в состоянии, столько признаков

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СОСТОЯНИЕ

Шаг за шагом

v⃗1=v⃗0+F⃗(r⃗0,v⃗0,t0)m Δt,r⃗1=r⃗0+v⃗0 Δt\vec{v}_1 = \vec{v}_0 + \frac{\vec{F}(\vec{r}_0, \vec{v}_0, t_0)}{m}\,\Delta t, \qquad \vec{r}_1 = \vec{r}_0 + \vec{v}_0\,\Delta t
на шаге сила считается постоянной
Так считают всё: от игры до расчёта орбиты

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СОСТОЯНИЕ

Порядок двух строк решает, живёт ли орбита

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СОСТОЯНИЕ

Два тела сводятся к одному

O r 1 r 2 r F 12 F 21 m 1 m 2
d2r⃗dt2=(1m1+1m2)F⃗21\displaystyle \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \vec{F}_{21}
поделили на массы и вычли
μ=m1m2m1+m2\displaystyle \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
приведённая масса
μd2r⃗dt2=F⃗21\displaystyle \mu \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}_{21}
одно тело массой μ в поле силы

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СОСТОЯНИЕ

Куда делось второе уравнение

  • Сложили вместо вычитания: сохранение импульса
  • Движение распалось на две независимые части
  • Земля и Луна: μ меньше массы Луны на 1,2 %
Общий центр масс лежит внутри Земли, в 4700 км от центра

ЯЗЫК ГОВОРИТ «НЕТ» · ТРИ ТЕЛА

Формул нет, уравнение есть

  • Общего решения в известных функциях нет
  • Частные есть: треугольник, точки Лагранжа
  • В одной из них работает телескоп Уэбба
Считать можно, а вот предсказывать — до горизонта
Роман Лю Цысиня назван по этой самой задаче

ЯЗЫК ГОВОРИТ «НЕТ» · ТРИ ТЕЛА

Две копии, отличие в десятом знаке

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СИСТЕМУ

Разогнаться нечем, кроме собственной массы

момент t m v момент t + dt dm газ v газ m + dm v + dv наблюдатель

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СИСТЕМУ

Уравнение Мещерского

(m+dm)(v⃗+dv⃗)+dmгаз v⃗газ−mv⃗=F⃗ dt\displaystyle (m + dm)(\vec{v} + d\vec{v}) + dm_{\text{газ}}\, \vec{v}_{\text{газ}} - m\vec{v} = \vec{F}\, dt
баланс импульса системы за время dt
mdv⃗dt=F⃗+(v⃗газ−v⃗)dmdt\displaystyle m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} + (\vec{v}_{\text{газ}} - \vec{v}) \frac{dm}{dt}
dm·dv отброшено, dm газа равно убыли массы
mdv⃗dt=F⃗+v⃗отнdmdt\displaystyle m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} + \vec{v}_{\text{отн}} \frac{dm}{dt}
пересели на ракету: скорость истечения
Оказывается: от пустоты не оттолкнёшься, от своей массы да

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СИСТЕМУ

Полетели

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СИСТЕМУ

Сколько топлива стоит скорость

m dv=−vотн dm\displaystyle m \, dv = -v_{\text{отн}} \, dm
внешних сил нет, проекция на ось
v(t)=vотнln⁡(m0m(t))\displaystyle v(t) = v_{\text{отн}} \ln \left(\frac{m_0}{m(t)}\right)
скорость растёт логарифмически
m0mп=e4≈54,6\displaystyle \frac{m_0}{m_{\text{п}}} = e^4 \approx 54{,}6
для 8 км/⁠с при истечении 2 км/⁠с
Топливо — около 98 процентов стартовой массы

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · СИСТЕМУ

Логарифм и гравитационные потери

1 − m/m 0 v/v отн 0 50% 100% 1 2 3 4 86,5% 98,2% ln( m 0 /m ) потери gt

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · ТОЧКУ

Куда поместить всю массу

1кг 3кг ц.м. 1м 0 , 75 м 0 , 25 м
R⃗ц.м.=∑mir⃗i∑mi\vec{R}_{\text{ц.м.}} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}
веса — массы точек
Простое среднее годится только при равных массах

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · ТОЧКУ

Стержень: от суммы к интегралу

∆ x x i y = x x y L
Xц.м.=1L∑xiΔx\displaystyle X_{\text{ц.м.}} = \frac{1}{L} \sum x_i \Delta x
погонная плотность сократилась
Xц.м.=1L∫0Lx dx\displaystyle X_{\text{ц.м.}} = \frac{1}{L} \int_0^L x \, dx
предел при Δx → 0 — интеграл
Xц.м.=1L[x22]0L=1L⋅L22=L2\displaystyle X_{\text{ц.м.}} = \frac{1}{L} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^L = \frac{1}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{L}{2}
середина, как и ожидалось

ЗАКОН ВЫБИРАЕТ · ТОЧКУ

Стержень, у которого плотность растёт

x λ L λ 0 λ ( x )= λ 0 x/L X ц.м. =2 L/ 3 λ = const L/ 2

ОКАЗЫВАЕТСЯ · ТОЧКА НАЗВАНА

Центр масс движется как материальная точка

v⃗ц.м.=∑miv⃗i∑mi=P⃗M\displaystyle \vec{v}_{\text{ц.м.}} = \frac{\sum m_i \vec{v}_i}{\sum m_i} = \frac{\vec{P}}{M}
скорость центра масс: импульс на массу
a⃗ц.м.=1MdP⃗dt\displaystyle \vec{a}_{\text{ц.м.}} = \frac{1}{M}\frac{d\vec{P}}{dt}
массы не меняются, M выносится
Ma⃗ц.м.=∑F⃗ внеш\displaystyle M\vec{a}_{\text{ц.м.}} = \sum \vec{F}^{\,\text{внеш}}
второй закон для тела целиком
Платим тем, что о вращении и форме теорема молчит

ОКАЗЫВАЕТСЯ · ТОЧКА НАЗВАНА

Снаряд разорвался, центр масс летит

разрыв ц.м. m 2 m

ОКАЗЫВАЕТСЯ · ТОЧКА НАЗВАНА

Внутренними силами центр масс не сдвинуть

ц.м. 4м до 1,33м 2,67м после

ОКАЗЫВАЕТСЯ · ТОЧКА НАЗВАНА

Тележки дёргаются, точка идёт ровно

ОКАЗЫВАЕТСЯ · ТОЧКА НАЗВАНА

В системе центра масс импульс ноль

P⃗′=∑mi(v⃗i−v⃗ц.м.)=P⃗−Mv⃗ц.м.=0\vec{P}' = \sum m_i \left(\vec{v}_i - \vec{v}_{\text{ц.м.}}\right) = \vec{P} - M\vec{v}_{\text{ц.м.}} = 0
в своей системе центр масс стоит
  • Ноль в каждый момент, хватает определения
  • Инерциальна, если внешние силы уравновешены
Через неделю этот ноль разделит энергию на две части

СЧЁТ ЗАКРЫТ

Выбирали мы — выбрал закон

ВыборВыбирали мыВыбрал закон
ОтсчётДа как хотитеКласс инерциальных систем
ОбъектТочка вместо телаЦентр масс: какая именно точка
ОсиПрикручены болтамиВдоль какой оси сохранение
Что знатьЗакон движения целикомШесть чисел сейчас
Одно предположение, два определения, три закона

ДОМАШНЕЕ · ДВЕ ЗАДАЧИ

С чего начать дома

Сила между частями палочки
Палочка идёт как целое, значит ускорение у всех её частей одно. Выделите мысленно кусок и напишите второй закон для него: сила со стороны остальной палочки войдёт единственной неизвестной.
Грузы на наклонной с блоком
Нить нерастяжима, блок невесом: ускорения равны по модулю, натяжение одно по всей нити. Сначала согласуйте положительные направления со связью, иначе знаки разъедутся.
Четырнадцать вопросов и обе задачи — на странице недели

Дальше — работа и энергия

Вопросы и задачи недели — на странице недели

ФИЗИКА 1 · НЕДЕЛЯ 03

← Неделя 03