Кинематика материальной точки

Физика 1 · лекция 02

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

ОРГМИНУТКА · СДАЧИ И ДЕДЛАЙН

Сдачи идут, дедлайн двадцатого

  • Дедлайн первой недели: 20 сентября, 23:59
  • Запись на сдачу через бота
  • Сдача поштучно с преподавателем
  • Расписание и шкала на странице курса

ВВЕДЕНИЕ · ЗАЧЕМ МЕХАНИКА

Почему механика идёт первой

Механика — это наука о движении и равновесии тел
Из этой фразы берём одно слово
  • Самый базовый и самый наглядный раздел
  • Работа, энергия и импульс заводятся здесь

ТЕЗИС

Четыре раза скажу «оказывается»

сцена триизмерения иодновремя объект точкавместо тела отсчёт телоичасы оси стоятнаместе пятая вконцеглавы описаниеуже ценарастёт
  • Малое, поделённое на малое, даст конечное
  • Площадь под графиком станет перемещением
  • Скорость заведёт себе собственную траекторию
  • Поворот покажется вектором и не будет им

ВВЕДЕНИЕ · АКСИОМА

Что физик называет аксиомой

Аксиома у физика
Опыт, который повторяется: сосед собрал свою установку на то же явление и получил то же самое. Закон инерции при этом не подтверждён наблюдением ни разу.
Схема на всю лекцию
Принять. Записать на языке математики. Дальше язык сам начнёт предлагать особенности, которых в него никто не клал.

ДОГОВОРЁННОСТЬ 1 · СЦЕНА

Три числа на место, одно на время

Место
Три числа задают точку. А сколько чисел нужно задаче, решает сам вопрос.
Время
Одно число, и течёт оно у всех одинаково. Отсюда право писать одну букву t на всю задачу.
Стрелка времени наша: уравнения читаются в обе стороны
Платим тем, что сцена держится не везде

ДОГОВОРЁННОСТЬ 1 · ГЕОМЕТРИЯ

Всегда ли в треугольнике 180°?

полюс экватор меридиан сумма 270 ◦ сумма 180 ◦
α+β+γ−π=SR2\alpha + \beta + \gamma - \pi = \frac{S}{R^2}
избыток над 180° есть площадь на квадрат радиуса: на одной восьмой сферы ровно 90°

ДОГОВОРЁННОСТЬ 1 · КРИВИЗНА

Треугольник в трёх пространствах

ГРАНИЦА СТРОГОСТИ

Секунда честности про уровень строгости

Что принимаем
Перечень свойств, взятый списком. У каждого пункта стоит опыт, который его подсказал, и названо, что мы теряем на границе.
Как строго бывает
Время объявляется числовой осью, а движение — отображением времени в пространство. Аксиомы формулируются про это отображение.

ДОГОВОРЁННОСТЬ 1 · ПАРАЛЛАКС

Расстояние до звезды без полёта к ней

Нижней границы у параллаксов не нашли

ДОГОВОРЁННОСТЬ 1 · ЗАТМЕНИЕ 1919

Кривизну поймали у края Солнца

29 мая 1919 года, сдвиг наружу 1,75 угловой секунды

ДОГОВОРЁННОСТЬ 2 · ОБЪЕКТ

Что теряет тело, став точкой

Из тела выброшено всё, кроме положения
Осталась точка, которой приписана масса
восколькосядет точкасмассой 800км/ч 800км ответодинчас почемулетит подъёмнаясила уточкиформынет тотжесамолёт
  • Границу назначает вопрос, а не тело
  • Проверка: замените тело кирпичом той же массы
  • Взамен вся история движения в одной r⃗(t)\vec r(t)
Платим тем, что вопросы про форму теряют смысл

ДОГОВОРЁННОСТЬ 3 · ОТСЧЁТ

Движется ли эта машина?

Две машины идут рядом по шоссе
  • Система отсчёта — это тело плюс часы
  • Привязывать можно к чему угодно
Платим тем, что без тела вопрос о движении пуст

ДОГОВОРЁННОСТЬ 3 · ТЕЛО ОТСЧЁТА

Пересядем и посмотрим на числа

ДОГОВОРЁННОСТЬ 4 · ОСИ

Та же точка, другие числа

{x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ;{r=x2+y2,tg⁡φ=yx.\begin{cases} x = r\cos\varphi, \\ y = r\sin\varphi; \end{cases} \qquad\qquad \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}, \\ \operatorname{tg}\varphi = \dfrac{y}{x}. \end{cases}
та же точка парой (r,φ)(r,\varphi); складывать такие пары покомпонентно нельзя
x y 3 4 (3;4) декартовыоси x y α 4 , 60 1 , 96 (4 , 60;1 , 96) повёрнутыеоси x r ϕ (5;53 ◦ ) полярнаяпара

ДОГОВОРЁННОСТЬ 4 · ПРОВЕРКА

Повернём оси и посмотрим на числа

ДОГОВОРЁННОСТЬ 4 · ЦЕНА

Оси не едут и не поворачиваются

x=R(φ−sin⁡φ),y=R(1−cos⁡φ)x = R(\varphi - \sin\varphi), \qquad y = R(1 - \cos\varphi)
простейшее движение, а запись выходит с остриями
dr⃗dt=dxdti^+dydtj^+xdi^dt+ydj^dt\frac{d\vec r}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + x\frac{d\hat{i}}{dt} + y\frac{d\hat{j}}{dt}
два последних слагаемых пропадают, только если оси не поворачиваются

ДОГОВОРЁННОСТЬ 4 · ДВА СЛОВА

Точка обода в четырёх наборах осей

ЗАПИСЬ · РАДИУС-ВЕКТОР

Положение столбиком и его длина

x y z x A y A z A A ( x A ,y A ,z A ) ˆ i ˆ j ˆ k r ( t )
r⃗=xi^+yj^+zk^\displaystyle \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}
стрелка есть до всякой записи
r⃗=[xyz]\displaystyle \vec{r} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
три числа приходят вместе с осями, а не с точкой
∣r⃗∣=x2+y2+z2\displaystyle |\vec r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
Пифагор дважды: длина от поворота осей не зависит

ЗАПИСЬ · ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ

Основная задача: найти r(t)

  • Без начальных условий задача не поставлена
  • Из одной скорости положение не следует

ЗАПИСЬ · ТРАЕКТОРИЯ

Чего мы требуем от закона движения

  • Непрерывность: прыжков нет, телепортации нет
  • Две производные требуем от r(t), не от линии
обрыв телепортациязапрещена (0; v ) ( v ;0) излом насевер навосток скачок

ЗАПИСЬ · ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

Перемещение — это хорда, а не путь

x y z A B r ( t ) r ( t +∆ t ) ∆ r s
Δr⃗=r⃗(t+Δt)−r⃗(t)\Delta \vec{r} = \vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)
от начала движения к концу, а не длина кривой

ЗАПИСЬ · СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ

Поделим перемещение на время

v⃗avg=Δr⃗Δt=r⃗(t+Δt)−r⃗(t)Δt\vec{v}_{\mathrm{avg}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}
сверху вектор, снизу число: направление деление не трогает

ВОЗВРАТ 1 · СЖИМАЕМ ПРОМЕЖУТОК

Что такое ноль, поделённый на ноль?

v⃗=lim⁡Δt→0Δr⃗Δt=lim⁡Δt→0r⃗(t+Δt)−r⃗(t)Δt\displaystyle \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}
на законе 5t² отношение садится на 20 м/⁠с
v⃗=dr⃗dt\displaystyle \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}
производная у математиков, мгновенная скорость у нас

ВОЗВРАТ 1 · ПО СТРОЧКАМ

Продифференцируем по строчкам

v⃗=ddt[xyz]=[dx/dtdy/dtdz/dt]=[vxvyvz]\vec{v} = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dx/dt \\ dy/dt \\ dz/dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}
оси не поворачиваются, единичные векторы от времени не зависят

ВОЗВРАТ 1 · ВТОРОЙ ВОПРОС

Куда направлена скорость?

A B  B B касательная секущая хорда
Предельное положение секущей и есть касательная

ВОЗВРАТ 1 · КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

Школьное определение не работает

x x =0 y = x 3 однаточка, нонекасательная касательная, нопересекает
Одна общая точка врёт в обе стороны

ВОЗВРАТ 1 · ЧЕТЫРЕ ДРОБЛЕНИЯ

Стянем две точки и посчитаем

ВОЗВРАТ 1 · ИЗЛОМ

В углу производная есть, а направления нет

подходсюга уходнавосток остановка
У одного вопроса два ответа, значит касательной здесь нет

ВОЗВРАТ 2 · ОБРАТНЫЙ ХОД

Можно ли пройти дорогу назад?

v(t)=v0e−t2/τ2\displaystyle v(t) = v_0 e^{-t^2/\tau^2}
короткий разгон с плавным началом и концом
∫−∞+∞v0e−t2/τ2 dt=v0τπ\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} v_0 e^{-t^2/\tau^2} \, dt = v_0 \tau \sqrt{\pi}
площадь берётся точно, а положение в середине пути нет

ВОЗВРАТ 2 · ПЛОЩАДЬ

Площадь под графиком и есть перемещение

Δr⃗≈v⃗(t)Δt\displaystyle \Delta \vec{r} \approx \vec{v}(t) \Delta t
на кусочке скорость заморожена
r⃗(t)−r⃗(t0)=lim⁡max⁡iΔti→0∑i=1Nv⃗(ti) Δti=∫t0tv⃗(t′) dt′\displaystyle \vec{r}(t) - \vec{r}(t_0) = \lim_{\max_i \Delta t_i \to 0} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}(t_i) \, \Delta t_i = \int_{t_0}^{t} \vec{v}(t') \, dt'
предел берётся по самому широкому столбику
[x(t)−x(t0)y(t)−y(t0)z(t)−z(t0)]=[∫t0tvx dt′∫t0tvy dt′∫t0tvz dt′]\displaystyle \begin{bmatrix} x(t) - x(t_0) \\ y(t) - y(t_0) \\ z(t) - z(t_0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \int_{t_0}^{t} v_x \, dt' \\ \int_{t_0}^{t} v_y \, dt' \\ \int_{t_0}^{t} v_z \, dt' \end{bmatrix}
вторая покупка за болты: интеграл разваливается по осям

ВОЗВРАТ 2 · ОШИБКА СТОЛБИКА

Разрежем запись на кадры

ВОЗВРАТ 2 · ПУТЬ

Путь: тот же интеграл под модулем

s=lim⁡max⁡Δti→0∑i∣v⃗(ti)∣ Δti=∫t1t2∣v⃗(t)∣ dts = \lim_{\max \Delta t_i \to 0} \sum_i |\vec v(t_i)|\,\Delta t_i = \int_{t_1}^{t_2} |\vec v(t)|\,dt
вся разница с перемещением сидит в модуле
1 , 5 3 2 − 2 t ,с v x ,м/с +2 , 25 м − 2 , 25 м перемещение 2 , 25 − 2 , 25=0 1 , 5 3 2 t ,с | v x | ,м/с 2 , 25 м 2 , 25 м путь 2 , 25+2 , 25=4 , 5 м

ВОЗВРАТ 2 · ПОСТОЯННАЯ

Постоянная интегрирования и есть начало

∫t0tv⃗(t′) dt′=F⃗(t)−F⃗(t0),dF⃗dt=v⃗\displaystyle \int_{t_0}^{t} \vec{v}(t') \, dt' = \vec{F}(t) - \vec{F}(t_0), \qquad \frac{d\vec{F}}{dt} = \vec{v}
площадь получается вычитанием
r⃗(t)=r⃗0+∫t0tv⃗(t′) dt′\displaystyle \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_{t_0}^{t} \vec{v}(t') \, dt'
постоянная и начальные условия совпали число в число

УСКОРЕНИЕ · ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Повторим предел для скорости

a⃗avg=Δv⃗Δt=v⃗(t+Δt)−v⃗(t)Δt\displaystyle \vec{a}_{\mathrm{avg}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)}{\Delta t}
с нуля до ста за пять секунд — это около 5,6 м/⁠с²
a⃗=dv⃗dt\displaystyle \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}
тот же предел, только к другому вектору
r⃗=[x(t)y(t)z(t)],v⃗=[dx/dtdy/dtdz/dt],a⃗=[d2x/dt2d2y/dt2d2z/dt2]\displaystyle \vec{r} = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix}, \qquad \vec{v} = \begin{bmatrix} dx/dt \\ dy/dt \\ dz/dt \end{bmatrix}, \qquad \vec{a} = \begin{bmatrix} d^2x/dt^2 \\ d^2y/dt^2 \\ d^2z/dt^2 \end{bmatrix}
третья покупка за тот же платёж

УСКОРЕНИЕ · РАВНОУСКОРЕННОЕ

Одно условие, а формулы две

v⃗(t)−v⃗(t0)=∫t0ta⃗(t′) dt′\displaystyle \vec{v}(t) - \vec{v}(t_0) = \int_{t_0}^{t} \vec{a}(t')\, dt'
площадь под графиком ускорения даёт скорость
v⃗(t)=v⃗0+a⃗t\displaystyle \vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a} t
прямоугольник высотой a и шириной t
r⃗(t)=r⃗0+v⃗0t+a⃗t22\displaystyle \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a} t^2}{2}
под наклонной ещё и треугольник, отсюда квадрат времени
at v 0 t at 2 / 2 площадь площадь a v x t t t v 0 x 0 a =const v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t + at 2 / 2

УСКОРЕНИЕ · БРОСОК

Бросим мяч под углом

y=v0sin⁡α⋅t−gt22\displaystyle y = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{g t^2}{2}
по вертикали формула работает целиком
T=2v0sin⁡αg\displaystyle T = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}
из двух корней первый есть момент броска
x y v 0 v 0 α v 0 cos α v 0 sin α 9,8м L =39 , 2 мза T =2 , 83 с

ВОЗВРАТ 3 · ГОДОГРАФ

Годограф: все скорости из одного начала

  • По осям годографа метры в секунду
  • Стрелка говорит, как точка едет, а не где
  • Движение равномерное, иначе не окружность
O O R v v a a 1 1 2 x ,м y ,м v x ,м/с v y ,м/с оборотза T тотже T траектория, R =1 м годограф, v =2 м/с a = v 2 /R =4 м/с 2

ВОЗВРАТ 3 · ЦЕНА УСЛОВИЯ

Снимем равномерность и посмотрим

ВОЗВРАТ 3 · ДВА ДЕЛЕНИЯ

Поделим две длины на один период

v=2πRT\displaystyle v = \frac{2\pi R}{T}
слева длина окружности на период обращения
a=2πvT\displaystyle a = \frac{2\pi v}{T}
справа та же арифметика за то же время
av=vR,a=v2R\displaystyle \frac{a}{v} = \frac{v}{R}, \qquad a = \frac{v^2}{R}
делим одно на другое, производной ни одной
a⃗=−v2R r⃗R=−v2R2 r⃗\displaystyle \vec{a} = -\frac{v^2}{R}\,\frac{\vec{r}}{R} = -\frac{v^2}{R^2}\,\vec{r}
два поворота на 90° дают 180°, минус значит «к центру»

ВРАЩЕНИЕ · УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ

Вернём годографу долг

ω=lim⁡Δt→0ΔφΔt=dφdt\displaystyle \omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \frac{d\varphi}{dt}
та же схема в третий раз: угол за время, и предел
T=2πω,ν=1T=ω2π\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}
период брали в долг, теперь он выводится
v=lim⁡Δt→02Rsin⁡(Δφ/2)Δt=Rlim⁡Δt→0ΔφΔt=ωR\displaystyle v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2R\sin(\Delta\varphi/2)}{\Delta t} = R \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \omega R
при малом угле хорда садится на дугу
a=v2R=ω2R\displaystyle a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
подстановка в то, что дал годограф
ε=dωdt\varepsilon = \frac{d\omega}{dt}
той же операцией; на нём стоит третья задача недели

ВРАЩЕНИЕ · ХОРДА И ДУГА

Откуда взялся синус половины угла

R R ∆ ϕ ω v v хорда дуга
При малом угле хорда и дуга сливаются

ВРАЩЕНИЕ · ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Соберём скорость векторным произведением

O θ r r sin θ ω v
v⃗=ω⃗×r⃗\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}
запись держит вращение вокруг одной оси

ВРАЩЕНИЕ · СЛОЖЕНИЕ

Складываются ли угловые скорости?

r⃗→r⃗+δφ⃗1×r⃗→r⃗+(δφ⃗1+δφ⃗2)×r⃗+δφ⃗2×(δφ⃗1×r⃗)\displaystyle \vec r \to \vec r + \delta\vec\varphi_1 \times \vec r \to \vec r + (\delta\vec\varphi_1 + \delta\vec\varphi_2) \times \vec r + \delta\vec\varphi_2 \times (\delta\vec\varphi_1 \times \vec r)
два малых поворота подряд: порядок сидит в последнем слагаемом
ω⃗=ω⃗1+ω⃗2\displaystyle \vec\omega = \vec\omega_1 + \vec\omega_2
оно второго порядка малости и в пределе исчезает
Складывается скорость поворота, а не сам поворот

ВОЗВРАТ 4 · ПОВОРОТЫ

А конечные повороты складываются?

При конечных углах последнее слагаемое не исчезает
Углы те же, оси те же, а исход другой
Поворот выглядит вектором и вектором не является

ВОЗВРАТ 4 · ПРОВЕРЬТЕ САМИ

Повторите вместе со мной

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · ОСИ НА ТОЧКЕ

Посадим оси на саму точку

v⃗=dr⃗dt=dr⃗ds dsdt\displaystyle \vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{d\vec r}{ds}\,\frac{ds}{dt}
по цепочке через путь: хорда и дуга сливаются
v⃗=vτ⃗\displaystyle \vec{v} = v\vec{\tau}
одно число и направление, которое даёт кривая
τ τ n n
dr⃗dt=dxdti^+dydtj^+xdi^dt+ydj^dt\frac{d\vec r}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + x\frac{d\hat{i}}{dt} + y\frac{d\hat{j}}{dt}
пока оси не поворачиваются, два последних слагаемых нули
Платим правом дифференцировать покомпонентно

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · РАЗВЕДКА

Педаль и руль как два вектора

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · ДВА СЛАГАЕМЫХ

Возьмём производную произведения

a⃗=dv⃗dt=dvdtτ⃗+vdτ⃗dt\displaystyle \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv}{dt} \vec{\tau} + v \frac{d\vec{\tau}}{dt}
два слагаемых вместо одного: это и потеряно с болтами
at=dvdt\displaystyle a_t = \frac{dv}{dt}
вдоль касательной: величина меняется, направление нет

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · ТРЕУГОЛЬНИК

Куда смотрит приращение тау

∣dτ⃗∣=dα\displaystyle |d\vec\tau| = d\alpha
основание есть хорда единичной окружности
dτ⃗=dα n⃗\displaystyle d\vec\tau = d\alpha\,\vec n
углы при основании в пределе становятся прямыми
τ τ dτ dα dα 1 1 90 ◦ − dα/ 2 90 ◦ − dα/ 2

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · КРИВИЗНА

Угол поворота на единицу пути

dτ⃗dt=dαdt n⃗=dαds dsdt n⃗=v dαds n⃗\displaystyle \frac{d\vec\tau}{dt} = \frac{d\alpha}{dt}\,\vec n = \frac{d\alpha}{ds}\,\frac{ds}{dt}\,\vec n = v\,\frac{d\alpha}{ds}\,\vec n
домножили на единицу и расщепили
k=dαds\displaystyle k = \frac{d\alpha}{ds}
ни времени, ни скорости: свойство самой линии
an=v2R\displaystyle a_n = \frac{v^2}{R}
на дуге окружности кривизна выходит единицей на радиус

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · ОКРУЖНОСТЬ КРИВИЗНЫ

Окружность через три сближающиеся точки

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · ПОЛНОЕ УСКОРЕНИЕ

Соберём ускорение из двух чисел

a⃗=atτ⃗+ann⃗\vec{a} = a_t \vec{\tau} + a_n \vec{n}
первое число меняет величину скорости, второе её направление

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · БИНОРМАЛЬ

Проверим третью ось на винтовой линии

Вдоль бинормали ноль при любом движении
Rk=v2an=ω2R2+u2ω2R=R+u2ω2RR_k = \frac{v^2}{a_n} = \frac{\omega^2 R^2 + u^2}{\omega^2 R} = R + \frac{u^2}{\omega^2 R}
проверка на винтовой линии: всё ускорение нормальное
τ n b соприкасающаясяплоскость

ДОГОВОРЁННОСТЬ 5 · ГРАНИЦЫ

Две точки, где конструкции нет

В изломе
Скорость в углу ноль, направления у неё нет, касательной нет, а значит нет и тау. Оси туда посадить не на что.
В точке перегиба
Кривизна проходит через ноль, радиус обращается в бесконечность, окружности нет. Касательная при этом есть.
R R перегиб,окружностинет визломекасательнойнет, значитнети τ окружностькривизны

ИТОГ · ЛЕСТНИЦА

Пять ступеней обратным ходом

  • Оси на точке: τ⃗\vec\tau не выносится, два числа
  • Оси на болтах: вращение снаружи, столбик
  • Отсчёт: без тела ответа нет, привязка любая
  • Точка вместо тела: нет формы, есть r⃗(t)\vec r(t)
  • Одно время на всех: мимо СТО, зато Пифагор

ИТОГ · ЧЕТЫРЕ ВОЗВРАТА

Четыре раза сказал: первые два

v⃗=lim⁡Δt→0Δr⃗Δt=lim⁡Δt→0r⃗(t+Δt)−r⃗(t)Δt\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}
малое на малое дало конечное
r⃗(t)−r⃗(t0)=lim⁡max⁡iΔti→0∑i=1Nv⃗(ti) Δti=∫t0tv⃗(t′) dt′\vec{r}(t) - \vec{r}(t_0) = \lim_{\max_i \Delta t_i \to 0} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}(t_i) \, \Delta t_i = \int_{t_0}^{t} \vec{v}(t') \, dt'
площадь оказалась перемещением, обратный ход классом задач

ИТОГ · СЧЁТ ЗАКРЫТ

И ещё два: годограф и поворот

av=vR,a=v2R\frac{a}{v} = \frac{v}{R}, \qquad a = \frac{v^2}{R}
скорость завела себе окружность
Поворот вектором не оказался
продольнаяось поперечнаяось 90 ◦ 90 ◦ 90 ◦ 90 ◦ продольная,потомпоперечная поперечная,потомпродольная

ДОМАШКА · ЧЕТЫРЕ ЗАДАЧИ

Разберём первую задачу

Дедлайн: 27 сентября, 23:59
Подсказки на странице недели
  • Графики пути и ускорения по графику скорости
  • Мяч под углом и бегущий навстречу игрок
  • Угол ускорения и скорости на окружности
  • Скорость, пропорциональная координате

ЗА ГРАНИЦЕЙ · РАДИУС КРИВИЗНЫ

Прочитаем формулу в обратную сторону

R=v2an\displaystyle R = \frac{v^2}{a_n}
известным был радиус, искомым ускорение
RA=vx2g=v02cos⁡2α0g\displaystyle R_A = \frac{v_x^2}{g} = \frac{v_0^2\cos^2\alpha_0}{g}
в вершине скорость горизонтальна, g перпендикулярен ей
R=v2gcos⁡α\displaystyle R = \frac{v^2}{g\cos\alpha}
поперёк скорости остаётся g на косинус текущего наклона
A a n = g R A =5 , 1 м R =6 , 8 м R = v 2 /a n v 0 =10 м/с α 0 =45 ◦ α v v g g a n a t

ЗА ГРАНИЦЕЙ · ОТКУДА ЧЕТЫРЕ ВЕЛИЧИНЫ

Что померить на самой кривой

x y P A α P dx dy ds dα

ЗА ГРАНИЦЕЙ · В НЕПОДВИЖНЫХ ОСЯХ

Та же кривизна в чужих осях

tg⁡α=y′,α=arctg⁡y′\displaystyle \operatorname{tg}\alpha = y', \qquad \alpha = \operatorname{arctg} y'
наклон касательной задан первой производной
dαdx=y′′1+y′2\displaystyle \frac{d\alpha}{dx} = \frac{y''}{1 + y'^2}
дифференцируем арктангенс по цепочке
ds=dx2+dy2=dx1+y′2\displaystyle ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = dx\sqrt{1 + y'^2}
кусочек дуги есть гипотенуза с катетами по осям
k=dαds=y′′(1+y′2)3/2,R=(1+y′2)3/2∣y′′∣\displaystyle k = \frac{d\alpha}{ds} = \frac{y''}{\left(1 + y'^2\right)^{3/2}}, \qquad R = \frac{\left(1 + y'^2\right)^{3/2}}{|y''|}
знак говорит только о стороне изгиба
y(x)=xtg⁡α0−gx22vx2,y′′=−gvx2\displaystyle y(x) = x\operatorname{tg}\alpha_0 - \frac{g x^2}{2 v_x^2}, \qquad y'' = -\frac{g}{v_x^2}
в вершине радиус тот же, что дал первый маршрут

Дальше систему отсчёта за нас начнут выбирать законы

Материалы, запись и четыре задачи на странице недели

ФИЗИКА 1 · НЕДЕЛЯ 02

← Неделя 02