Момент импульса. Гравитация

Спутник висит в пустоте, вид сверху. Внутри корпуса маховик, между ними мотор. «Раскрутить маховик» включает мотор на $2$ с: маховик раскручивается против часовой стрелки, корпус поворачивается по часовой, и справа от спутника видно, как моменты импульса обеих частей растут в разные стороны, а их сумма стоит на нуле. «Остановить маховик» тормозит его тем же мотором, и корпус останавливается вместе с ним, но уже повёрнутым.

Ползунок «Маховик : корпус» задаёт отношение от $1:1000$ до $1:10$. Сравниваются суммы $mr^2$ всех точек маховика и корпуса: у части, которая вращается целиком, момент импульса равен такой сумме, умноженной на угловую скорость. У маховика сумма меньше, потому что он легче корпуса и его точки ближе к оси. Полный момент всё время ноль, поэтому маховик поворачивается во столько раз быстрее корпуса, во сколько раз меньше его сумма $mr^2$. Кнопка «Развернуть на 90°» проводит разворот по программе: мотор разгоняет маховик, выжидает, пока корпус довернётся, и тормозит. При отношении $1:1000$ маховик за такой разворот проворачивается относительно корпуса на $250{,}25$ оборота, при $1:10$ на $2{,}75$.

Шарик массой $0{,}1$ кг ходит по гладкому столу вокруг отверстия на радиусе $0{,}5$ м со скоростью $1$ м/с; нить уходит в отверстие, снизу её держит рука. Рука может держать длину нити и втягивать её до $0{,}25$ м за заданное время, а может держать силу натяжения, и тогда радиус меняется сам. Под рисунком момент импульса, площадь, заметённая радиус-вектором за секунду, энергия шарика, работа руки и натяжение.

При любом способе тянуть момент импульса стоит на $0{,}05$ кг·м$^2$/с, и площадь за секунду остаётся $0{,}25$ м$^2$. На радиусе $0{,}25$ м скорость $2$ м/с, энергия $0{,}20$ Дж вместо $0{,}05$, рука совершила $0{,}15$ Дж, натяжение выросло до $1{,}6$ Н. Если нить перерезать, шарик уходит по прямой, и момент относительно отверстия тот же.

Точка обходит центр силы $O$ крупными шагами, от $12$ до $40$ на оборот, и ведёт её схема третьей недели. После каждого шага закрашен треугольник, который замёл радиус-вектор, а справа столбиками стоят площади последних треугольников. Силу можно выбрать: обратный квадрат, упругую или толчки Ньютона, у которых модуль каждого толчка к центру случайный. Единицы безразмерные, $GM = 1$ и $m = 1$; точка стартует на расстоянии $r = 1$ со скоростью $0{,}8$ по касательной, так что $L = 0{,}8$.

В полунеявной схеме толчок в каждой вершине направлен на $O$, и все треугольники одной площади $L\,\Delta t/2m$ при любой силе и любом числе шагов; разброс порядка $10^{-16}$, это ошибка округления. В явной схеме толчок достаётся точке уже в новой вершине, его прямая проходит мимо $O$, и за шаг момент растёт на $\Delta t^2\,(\vec v_n\times\vec F_n)$. Демка печатает это приращение рядом с посчитанным по модели, они совпадают, а треугольники растут от шага к шагу, пока точка не уйдёт из окна.

Слева Солнце, Земля и Марс на своих орбитах, вид сверху, и кольцо созвездий зодиака с яркими звёздами: Регулом, Спикой, Антаресом, Альдебараном. Отрезок от Земли к Марсу показывает, куда смотрит наблюдатель; звёзды бесконечно далеко, и на кольце отмечено то же направление, перенесённое к Солнцу. Справа полоса неба вдоль эклиптики, где долгота растёт влево, к востоку, как на карте неба, а широта растянута втрое; Марс оставляет на ней след среди звёзд. Под полосой таблица: раз в десять суток в неё ложатся дата, долгота и широта Марса и долгота Солнца, по которой известно, где Земля. Углы записываются с точностью Браге, до $2'$, или как с телескопом сегодня, до секунды дуги, и тогда виден ещё диск Марса.

Марс идёт по небу на восток и раз в два с небольшим года пятится. В противостояние 19 февраля 2027 года попятный ход длится $81{,}0$ суток и уводит Марс назад на $19{,}5°$, до Марса в этот день $0{,}68$ а.е., а от прошлого противостояния прошло $764{,}5$ суток. По противостояниям с 1971 по 2089 год промежутки между ними от $764$ до $811$ суток, в среднем $779{,}9$, попятный ход от $60$ до $81$ суток, петля от $10°$ до $19{,}5°$, расстояние от $0{,}37$ а.е. в 2003 году до $0{,}68$ а.е. Диск Марса бывает от $3{,}5''$, когда Марс за Солнцем, до $25''$. Расстояния в таблице нет; кнопка «Через 687 суток» показывает, как его находят по двум записям, сделанным через звёздный период Марса.

С Земли видно только направление на Марс. В таблицу наблюдений попадают дата, долгота Солнца, долгота и широта Марса среди звёзд, углы округлены до $2'$, как у Тихо Браге; расстояния в таблице нет. Слева плоскость земной орбиты сверху, справа небо, каким его видит наблюдатель, со следом Марса и его петлями, и строки таблицы. Марс возвращается в ту же точку своей орбиты через $686{,}98$ суток, а Земля за это время приходит в другое место, и два луча по записанным долготам из двух положений Земли пересекаются в точке орбиты Марса. Так набираются $24$ точки, к ним подгоняются окружность с любым центром и эллипс с Солнцем в фокусе. Режим «площади» делит орбиту на участки, пройденные за равное время, режим «третий закон» собирает таблицу шести планет.

Эллипс проходит через точки с промахом около $1'$, если смотреть с Земли, то есть в пределах точности таблицы; у него $e = 0{,}093$ и $a = 1{,}524$ а.е., а плоскость орбиты наклонена к эклиптике на $1{,}85°$. Окружность подбирается так, чтобы её наибольший промах с Земли был как можно меньше, и всё равно промахивается на $8'$; на рисунке обе кривые сливаются, различает их только график промахов. У Кеплера похожее расхождение с наблюдениями Браге, $8'$, дала другая модель, окружность с эквантом, и от окружности он отказался. За равное время, $28{,}62$ суток, радиус-вектор Марса поворачивается у перигелия на $18°$, у афелия на $12{,}5°$, а площадь заметает одну и ту же с разбросом в десятую долю процента. В режиме «третий закон» орбиты круговые, с нынешними средними расстояниями. По ним посчитаны наибольшая элонгация Меркурия и Венеры и срок от противостояния до квадратуры у внешних планет; из этих углов и сроков геометрия возвращает расстояния, а из синодических периодов получаются звёздные. Отношение $a^3/T^2$ у шести планет выходит от $0{,}998$ до $1{,}001$. Настоящие орбиты вытянуты, и по отдельным квадратурам Марса тот же приём даёт от $1{,}4$ до $2{,}1$ а.е.

Через центр планеты прорыта прямая шахта, и тело падает в неё без трения и без воздуха. Планета бывает однородной, из тяжёлого ядра и лёгкой мантии или такой, какой Землю видит сейсмика (модель PREM); масса у всех одна. Справа ускорение свободного падения $g$ от расстояния $r$ до центра. Над поверхностью три кривые сливаются в одну: снаружи шар притягивает как точка (Пройдём путь Ньютона). Это следует из теоремы Гаусса, и из неё же второе: внутри на тело действует только шар под ним, а слой сверху в сумме не тянет никуда.

В однородной планете $g$ растёт от центра линейно, тело качается, как грузик на пружине, и всё время идёт точно под спутником, который облетает планету у самой поверхности. На другой стороне оно через $42$ минуты, за полвитка низкой орбиты (Разгоним тело до космических скоростей), а центр проходит с первой космической скоростью $7{,}91$ км/с. У Земли треть массы собрана в ядре: к его границе $g$ растёт до $10{,}7$ м/с$^2$, в мантии держится около $10$ м/с$^2$, и тело долетает за $38$ минут. Две однородные части с той же массой ядра дают $38{,}9$ минуты.

Два равных тела обходят общий центр масс. Цвет показывает меняющуюся часть поля пары: вблизи узор поворачивается вместе с парой, вдали отстаёт и закручивается в спираль, которая бежит наружу со скоростью света. Детектор на краю видит сигнал с частотой вдвое выше частоты обращения и с запаздыванием на время, за которое поле доходит до него.

Если сделать скорость света бесконечной, узор поворачивается как целое и ничего от пары не уходит. Если включить потери, волны уносят энергию, тела сближаются, сигнал частит и растёт, а после слияния за последней волной идёт тишина.

Звезда массы $M$ и планета массы $m$ на расстоянии $a$ друг от друга обходят общий центр масс по окружностям; крест отмечает центр масс. Переключатель выбирает, какую постановку рисовать: в задаче двух тел движутся оба тела, в другой звезду держат на месте. Ползунок меняет отношение масс $m/M$ от $1/1111$ до $1$, опыты ставят Юпитер у Солнца, Луну у Земли и двойную звезду. Кнопка «Вектор $\vec r$» рисует стрелку от звезды к планете и путь планеты относительно звезды.

Период модель меряет по оборотам. Справа в таблице стоят периоды обеих постановок, а под ними $4\pi^2a^3/T^2$ в долях $GM$: у двух тел выходит $1 + m/M$, у неподвижной звезды $1$. У Юпитера разница $0{,}095$ процента, у Луны $1{,}2$ процента, и центр масс пары Земля и Луна лежит в $4671$ км от центра Земли, внутри неё. Звёзды в одну и три массы Солнца на расстоянии $1$ а.е. обходят друг друга за полгода, $182{,}6$ суток, а с неподвижной тяжёлой звездой вышло бы $210{,}9$ суток. Если звезду держать, центр масс пары ходит по кругу, значит, на пару действует внешняя сила.

Слева эффективная энергия $U_{\text{эфф}}(r) = l^2/2r^2 - GM/r$ и горизонтальный уровень удельной энергии $\mathcal{E}$, справа та же орбита на плоскости. Маркер на графике стоит на текущем расстоянии $r$ и ходит по уровню от одной точки поворота до другой, пока точка справа обходит центр: график отвечает, где точка может быть, но не когда. Отрезок под маркером, от кривой до уровня, равен $v_r^2/2$. В режиме «орбита» энергию и момент задают ползунки; уровень на дне кривой даёт окружность, ниже нуля эллипс в кольце между $r_{\text{min}}$ и $r_{\text{max}}$, на нуле параболу, выше нуля гиперболу. При другом моменте кольцо меняется, а большая полуось $a = -GM/2\mathcal{E}$ остаётся прежней.

Режим «переход» считается на числах Земли. Спутник идёт по круговой орбите высотой $300$ км со скоростью $7{,}73$ км/с. Импульс двигателя добавляет скорость вдоль движения: уровень энергии поднимается, а кривая меняет форму вместе с моментом. Кнопка «На геостационар» даёт первый импульс $2{,}43$ км/с, и спутник уходит по переходному эллипсу к радиусу $42\,164$ км. В апоцентре его скорость $1{,}61$ км/с, второй импульс $1{,}47$ км/с доводит её до круговой, $3{,}07$ км/с. Всего на переход уходит около $3{,}9$ км/с и пять с четвертью часов.

Зонд пролетает мимо Юпитера, который идёт по орбите со скоростью $13{,}1$ км/с. Слева пролёт в системе планеты: вдали зонд идёт со скоростью $v$ по прямой, отстоящей от центра Юпитера на прицельное расстояние $b$, огибает планету по гиперболе, подходит к ней на наименьшее расстояние $r_{\text{min}}$ и уходит с той же скоростью $v$, повернув её на угол $\delta$. В середине тот же пролёт в системе Солнца, где к движению зонда прибавлено движение планеты. Справа скорости вдали: к скорости планеты $\vec V$ прибавлены скорость зонда относительно планеты до пролёта $\vec v$ и после него $\vec v^{\,\prime}$. Концы обеих лежат на окружности радиуса $v$, как у шайб при упругом ударе в системе центра масс (Посмотрим на удар из системы центра масс).

Пролёт считается интегрированием уравнения движения, а угол поворота сверяется с формулой $\sin(\delta/2) = 1/(1 + r_{\text{min}} v^2/GM)$. При $v = 10$ км/с и сближении до трёх радиусов Юпитера скорость поворачивается на $118^\circ$. Если зонд обходит планету сзади, скорость поворачивается по ходу планеты, и относительно Солнца он уходит быстрее, чем пришёл: $22{,}45$ км/с вместо $16{,}48$. Если спереди, скорость поворачивается против хода планеты, и зонд уходит медленнее, со скоростью $6{,}27$ км/с. Так «Вояджеры» разгонялись у Юпитера и Сатурна.

Пушка стоит на вершине горы и стреляет горизонтально. Земля нарисована в масштабе, $GM = 3{,}986\cdot10^{14}$ м$^3$/с$^2$, $R_{\text{З}} = 6371$ км, атмосферы нет; гора по умолчанию высотой $200$ км, выше настоящих гор в двадцать с лишним раз, и её высоту можно менять. Ползунок задаёт скорость ядра от нуля до $12$ км/с, кнопки ставят круговую скорость и скорость ухода для выбранной высоты, «Огонь» стреляет, следы нескольких выстрелов остаются. Справа шкала скоростей с порогами для вершины горы, энергия на килограмм и её знак, тип орбиты, период, дальность падения и наибольший радиус орбиты, то есть удаление от центра Земли.

Медленное ядро падает рядом с горой, быстрое дальше: с горы $200$ км ядро на $2$ км/с падает в $424$ км от неё, на $7$ км/с в $3310$ км. Путь падающего ядра есть дуга эллипса с фокусом в центре Земли. На круговой скорости $v_{\text{кр}} = \sqrt{GM/(R_{\text{З}}+h)}$ ядро обходит Землю и возвращается к пушке; у самой поверхности это первая космическая $v_1 = 7{,}91$ км/с и $84$ минуты на оборот, с горы $200$ км уже $7{,}79$ км/с. Между круговой скоростью и скоростью ухода $v_{\text{ух}} = \sqrt{2GM/(R_{\text{З}}+h)}$ энергия отрицательна и орбита эллипс. Начиная со скорости ухода, у поверхности это вторая космическая $v_2 = 11{,}2$ км/с, энергия не меньше нуля, и ядро уходит по параболе или гиперболе.

Точку тянет к неподвижному центру сила, модуль которой убывает как $1/r^n$; показатель $n$ меняется от $1$ до $2{,}9$ и защёлкивается на $n = 2$. Точка стартует с расстояния $1$ по касательной, а скорость запуска задаёт ползунок скорости в долях круговой: от $0{,}85$ до $1{,}1$, у упругой силы от $0{,}5$, сначала $0{,}9$. След хранит последние десять оборотов, перицентры отмечены точками, а кольцо между точками поворота найдено из сохранения энергии и момента. Справа от орбиты момент и энергия, которые стоят, угол от перицентра до апоцентра и поворот перицентра за оборот, измеренные по модели. Рядом те же углы для почти круговой орбиты: первый по формуле $\pi/\sqrt{3-n}$, второй вдвое больше за вычетом полного оборота, $2\pi/\sqrt{3-n} - 2\pi$. Орбиты, уходящие далеко от центра, обходятся долго, и время на них показано ускоренным; во сколько раз, говорит строка под сценой.

При $n = 2$ от перицентра до апоцентра ровно $180^\circ$, перицентр стоит, и обороты ложатся на один эллипс с центром силы в фокусе. При других $n$ орбита заполняет кольцо розеткой. При скорости $0{,}9$ круговой угол при $n = 1$ равен $127{,}2^\circ$, при $n = 2{,}5$ равен $256{,}8^\circ$; если придвинуть скорость к круговой, они подходят к $127{,}3^\circ$ и $254{,}6^\circ$ по формуле. Упругая сила, растущая как $r$, снова даёт замкнутый эллипс, но центр силы сидит в его центре. Перицентров за оборот у него два, на концах малой оси, поэтому поворот меряется через один, и он нулевой. При $n \geq 3$ устойчивой окружности нет, и точка по спирали падает на центр или уходит.