Момент импульса. Гравитация

Физика 1 · лекция 05

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

МОСТ · ТРИ МНОЖИТЕЛЯ

Умножим закон на третий множитель

dp⃗1+dp⃗2=F⃗12 dt+F⃗21 dt=0d\vec p_1 + d\vec p_2 = \vec F_{12}\,dt + \vec F_{21}\,dt = 0
умножили на общий dtdt: пара сокращается
dAпары=F⃗12⋅dr⃗1+F⃗21⋅dr⃗2=F⃗12⋅d(r⃗1−r⃗2)dA_{\text{пары}} = \vec F_{12}\cdot d\vec r_1 + \vec F_{21}\cdot d\vec r_2 = \vec F_{12}\cdot d(\vec r_1 - \vec r_2)
умножили на свои dr⃗1d\vec r_1 и dr⃗2d\vec r_2: пара остаётся
Сегодня умножим закон векторно на r⃗\vec r
Сократится ли пара теперь?

ТЕЗИС

Три утверждения недели

Момент импульса: чтобы пара выпала, нужна ещё общая прямая
Сила к центру: моменту хватает её направления, модуль любой
Тяготение: закон читается у Кеплера и входит через энергию

МОМЕНТ · ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определим момент импульса точки

L⃗=r⃗×p⃗=m r⃗×v⃗\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m\, \vec{r} \times \vec{v}
r⃗\vec r проведён из полюса OO, p⃗=mv⃗\vec p = m\vec v импульс точки
∣L⃗∣=∣r⃗∣ ∣p⃗∣sin⁡α|\vec{L}| = |\vec{r}|\, |\vec{p}| \sin \alpha
α\alpha угол между r⃗\vec r и p⃗\vec p
Платим тем, что момент зависит от выбора полюса

МОМЕНТ · ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Направим момент по правой руке

r p L указательный средний большой
Указательный вдоль r⃗\vec r, средний вдоль p⃗\vec p, большой покажет L⃗\vec L

МОМЕНТ · ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Отдадим синус одному из векторов

O m L p S = | L | r ⊥ r O m L p S = | L | r p p ⊥
∣L⃗∣|\vec L| равен площади параллелограмма на r⃗\vec r и p⃗\vec p
r⃗=r⃗∥+r⃗⊥\displaystyle \vec{r} = \vec{r}_\parallel + \vec{r}_\perp
раскладываем r⃗\vec r вдоль скорости и поперёк
r⃗∥×v⃗=0\displaystyle \vec{r}_\parallel \times \vec{v} = 0
часть вдоль скорости даёт ноль
L⃗=m r⃗⊥×v⃗\displaystyle \vec{L} = m\, \vec{r}_\perp \times \vec{v}
плечо r⊥r_\perp, и модуль L=mvr⊥L = mvr_\perp
Точка летит по прямой: плечо r⊥r_\perp одно, и L⃗\vec L остаётся постоянным

МОМЕНТ · УРАВНЕНИЕ

Продифференцируем момент импульса

dL⃗dt=ddt(r⃗×p⃗)=r⃗˙×p⃗+r⃗×p⃗˙\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = \dot{\vec{r}} \times \vec{p} + \vec{r} \times \dot{\vec{p}}
как у произведения, но порядок сомножителей важен
r⃗˙×p⃗=v⃗×mv⃗=0\displaystyle \dot{\vec{r}} \times \vec{p} = \vec v \times m\vec v = 0
полюс неподвижен: r⃗˙=v⃗\dot{\vec r} = \vec v параллельна p⃗\vec p
M⃗=r⃗×F⃗\displaystyle \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
назовём r⃗×F⃗\vec r\times\vec F моментом силы
dL⃗dt=r⃗×F⃗=M⃗\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{M}
подставили p⃗˙=F⃗\dot{\vec p} = \vec F: уравнение моментов
Платим тем, что полюс неподвижен

МОМЕНТ · УРАВНЕНИЕ

Введём плечо силы

O r F d M
Сверху F⃗\vec F поворачивает r⃗\vec r против часовой: M⃗\vec M вверх
  • ∣M⃗∣=Fd|\vec M| = Fd, где dd от полюса до линии силы
  • Сила через полюс момента не имеет

НАПРАВЛЕНИЕ · ПАРА СИЛ

Сложим моменты двух точек

L⃗=L⃗1+L⃗2\displaystyle \vec{L} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2
момент системы: сумма моментов точек
dL⃗dt=r⃗1×F⃗1внеш+r⃗2×F⃗2внеш+r⃗1×F⃗12+r⃗2×F⃗21\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec r_1\times\vec F_1^{\text{внеш}} + \vec r_2\times\vec F_2^{\text{внеш}} + \vec r_1\times\vec F_{12} + \vec r_2\times\vec F_{21}
уравнение моментов для каждой точки
M⃗пары=r⃗1×F⃗12+r⃗2×F⃗21=(r⃗1−r⃗2)×F⃗12\displaystyle \vec M_{\text{пары}} = \vec r_1\times\vec F_{12} + \vec r_2\times\vec F_{21} = (\vec r_1 - \vec r_2)\times\vec F_{12}
третий закон: F⃗21=−F⃗12\vec F_{21} = -\vec F_{12}
Остался вектор r⃗1−r⃗2\vec r_1 - \vec r_2, проведённый от второй точки к первой

НАПРАВЛЕНИЕ · ПАРА СИЛ

Сравним три множителя

dp⃗1+dp⃗2=F⃗12 dt+F⃗21 dt=0d\vec p_1 + d\vec p_2 = \vec F_{12}\,dt + \vec F_{21}\,dt = 0
общий dtdt: хватает равенства сил
dAпары=F⃗12⋅dr⃗1+F⃗21⋅dr⃗2=F⃗12⋅d(r⃗1−r⃗2)dA_{\text{пары}} = \vec F_{12}\cdot d\vec r_1 + \vec F_{21}\cdot d\vec r_2 = \vec F_{12}\cdot d(\vec r_1 - \vec r_2)
свои перемещения: пара остаётся
M⃗пары=r⃗1×F⃗12+r⃗2×F⃗21=(r⃗1−r⃗2)×F⃗12\vec M_{\text{пары}} = \vec r_1\times\vec F_{12} + \vec r_2\times\vec F_{21} = (\vec r_1 - \vec r_2)\times\vec F_{12}
свои радиус-векторы: нужна ещё общая прямая

НАПРАВЛЕНИЕ · ПАРА СИЛ

Сократим пару на одной прямой

1 2 O r 1 r 2 F 12 F 21 F внеш 1 F внеш 2 r ⊥
Силы пары на прямой между точками: плечо у них общее
F⃗12∥(r⃗1−r⃗2)⇒M⃗пары=0\vec F_{12}\parallel (\vec r_1 - \vec r_2) \quad\Rightarrow\quad \vec M_{\text{пары}} = 0
при любом движении точек
Платим тем, что общую прямую берём из опыта

НАПРАВЛЕНИЕ · ПАРА СИЛ

Запишем закон сохранения момента

dL⃗dt=M⃗внеш\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}^{\text{внеш}}
пары выпали, остались моменты внешних сил
M⃗внеш=0⇒L⃗=const\displaystyle \vec M^{\text{внеш}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \vec{L} = \text{const}
нулевой момент внешних сил, а не нулевая сила
Строже: из изотропии пространства, по теореме Нётер

НАПРАВЛЕНИЕ · ПАРА СИЛ

Развернём спутник без топлива

НАПРАВЛЕНИЕ · СТАТУС

Строго доказать общую прямую мы не можем

  • Общую прямую приняли из опыта
  • Изотропия: направления равноправны
Отсюда сила, зависящая лишь от положения точек, идёт по их прямой
Симметрия по НётерЧто сохраняется
Однородность времениЭнергия
Однородность пространстваИмпульс
Изотропия пространстваМомент импульса

НАПРАВЛЕНИЕ · УСЛОВИЕ

Потянем нить через отверстие

НАПРАВЛЕНИЕ · УСЛОВИЕ

Оставим силе одно направление

F⃗(r⃗)=f(r) r⃗r\vec{F}(\vec{r}) = f(r)\,\frac{\vec{r}}{r}
неделя 04: модуль ff зависит только от rr, это понадобится для энергии
  • Моменту важно лишь направление к OO
  • Модуль может быть любым
M⃗=r⃗×F⃗=0\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = 0
полюс в центре силы: r⃗∥F⃗\vec r \parallel \vec F

НАПРАВЛЕНИЕ · ПЛОЩАДИ

Посчитаем заметённую площадь

O r ds dσ α
За dtdt радиус-вектор заметает треугольник dσd\sigma
dσ=12 ∣r⃗∣ ∣ds⃗∣sin⁡α\displaystyle d\sigma = \frac{1}{2}\, |\vec{r}|\, |d\vec{s}| \sin\alpha
площадь узкого треугольника
dσ=12 ∣r⃗∣ ∣v⃗∣sin⁡α dt=12 ∣r⃗×v⃗∣ dt=L2m dt\displaystyle d\sigma = \frac{1}{2}\, |\vec{r}|\, |\vec{v}| \sin\alpha\, dt = \frac{1}{2}\,|\vec r\times\vec v|\,dt = \frac{L}{2m}\,dt
подставили смещение v⃗ dt\vec v\,dt и момент LL
dσdt=L2m\displaystyle \frac{d\sigma}{dt} = \frac{L}{2m}
секториальная скорость постоянна
Площади за равное время равны: второй закон Кеплера без тяготения

НАПРАВЛЕНИЕ · ПЛОЩАДИ

Сравним импульс и момент Земли

p L
Импульс в каждой точке свой, L⃗\vec L один на всю орбиту
За полгодаЗемля, СИ
Импульс меняется на 2mv2mv3,6⋅10293{,}6\cdot10^{29}
Момент mvrmvr стоит2,7⋅10402{,}7\cdot10^{40}
Закон модуля пока не понадобился: за ним пойдём к Кеплеру

НАПРАВЛЕНИЕ · ПЛОЩАДИ

Пройдём площади шагами

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · КЕПЛЕР

Посмотрим на Марс с Земли

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · КЕПЛЕР

Снимем период Марса с дат

1T=1TЗ−1Tсин\frac{1}{T} = \frac{1}{T_\text{З}} - \frac{1}{T_\text{син}}
TсинT_\text{син} между противостояниями, в среднем 780780 суток
Звёздный период Марса T=687T = 687 суток с Земли прямо не виден

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · КЕПЛЕР

Расставим орбиту Марса по точкам

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · КЕПЛЕР

Опишем эллипс

F 1 F 2 2 a 2 b r 1 r 2 P
Для любой точки PP эллипса r1+r2=2ar_1 + r_2 = 2a
r1+r2=const\displaystyle r_1 + r_2 = \text{const}
сумма расстояний до фокусов постоянна
e2=a2−b2a2\displaystyle e^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2}
эксцентриситет ee: мера вытянутости
e2=a+ba⋅a−ba≈2⋅a−ba\displaystyle e^2 = \frac{a + b}{a} \cdot \frac{a - b}{a} \approx 2 \cdot \frac{a - b}{a}
почти окружность: через разницу полуосей
Марс: e≈0,093e \approx 0{,}093, малая полуось короче большой на 0,44 %

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · КЕПЛЕР

Найдём третий закон в таблице планет

Планетаaa, а.е.TT, годыa/Ta/Ta2/Ta^2/Ta3/T2a^3/T^2
Меркурий0,3870,2411,6060,6210,998
Венера0,7230,6151,1760,8500,999
Земля1,0001,0001,0001,0001,000
Марс1,5241,8810,8101,2351,000
Юпитер5,20311,860,4392,2831,001
Сатурн9,53729,450,3243,0881,000
Так же перебирала степени BACON.3 в 1979

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · КЕПЛЕР

Прочитаем законы Кеплера как свойства силы

Закон КеплераЧто видно в наблюденияхЧто это о силе
Первый, 1609Эллипс, Солнце в фокусеКак она убывает вдоль орбиты
Второй, 1609Равные площади за равное времяНаправлена к Солнцу
Третий, 1619a3/T2a^3/T^2 одно для всех планетКак убывает, и закон у всех один
Второй закон мы уже получили: он о направлении силы

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · КЕПЛЕР

Пройдём путь Ньютона

F=mω2r=mr4π2T2\displaystyle F = m \omega^2 r = m r \frac{4 \pi^2}{T^2}
орбита почти круг: сила даёт центростремительное
T2=r3K\displaystyle T^2 = \frac{r^3}{K}
третий закон Кеплера для окружностей
F=4π2Kmr2\displaystyle F = \frac{4 \pi^2 K m}{r^2}
подставили T2T^2: сила падает как 1/r21/r^2
Платим тем, что первый закон берём без вывода

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · МАССА

Поставим в закон массу Солнца

4π2K=GM⊙\displaystyle 4 \pi^2 K = G M_\odot
планета тянет Солнце той же силой
F=Gm1m2r2\displaystyle F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
закон всемирного тяготения
Кавендиш, 1798: Земля в 5,5 раза плотнее воды
Шар снаружи тянет так, будто вся его масса в центре

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · МАССА

Пророем шахту через планету

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · МАССА

Проверим закон на Луне

Ускорение Луным/с2\text{м}/\text{с}^2
Ускорение яблока gg, ослабленное в 60,3260{,}3^2 раз2,70⋅10−32{,}70\cdot10^{-3}
Центростремительное по орбите за 27,327{,}3 суток2,72⋅10−32{,}72\cdot10^{-3}
Луна в 60,3 радиусах Земли падает в 3636 раз слабее яблока

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · МАССА

Сравним инертную и гравитационную массу

ПроверкаКогдаСовпадение
Крутильные весы Этвёша1906–1909до 10−810^{-8}
Спутник MICROSCOPE, титан и платина2022до 10−1510^{-15}
Третий закон Кеплера для планет1619до m/M⊙m/M_\odot
Иначе ускорение падения зависело бы от вещества

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · МАССА

Найдём закон и массы по траекториям

ЧтоОткуда у сети
Равенство сил парызаложено в устройство
Масса как делитель суммы силзаложено в устройство
Общая прямая сил парынавязана повёрнутыми данными
Закон всемирного тяготениянайден перебором формул
Хуже всего вышли массы тел, которые почти никого не тянут

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · ПОЛЕ

Заменим дальнодействие полем

1 2 O r 1 r 2 r 1 − r 2 F 12 F 21
r⃗1−r⃗2\vec r_1 - \vec r_2 от второго тела к первому, F⃗12\vec F_{12} против него
F⃗12=−G m1m2∣r⃗1−r⃗2∣3 (r⃗1−r⃗2)\vec F_{12} = -G\,\frac{m_1 m_2}{|\vec r_1 - \vec r_2|^3}\,(\vec r_1 - \vec r_2)
для планет обе модели дают эту силу
  • Поле держит импульс при запаздывании
  • Поле предсказывает волны
Волны проверены: пульсар Халса и Тейлора, 1974; LIGO, 2015

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · ПОЛЕ

Посмотрим, как рождаются волны

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · ЭНЕРГИЯ

Запишем энергию тяготения

U(r)=−GmMrU(r) = -\frac{G m M}{r}
из четвёртой недели, ноль на бесконечности
U=GmMR−GmMR+h=GMR2⋅mh1+h/R≈mghU = \frac{G m M}{R} - \frac{G m M}{R + h} = \frac{G M}{R^2}\cdot\frac{m h}{1 + h/R} \approx m g h
mghmgh есть первый член по h/Rh/R
Уход с Земли стоит 62,6 МДж/⁠кг: это скорость 11,2 км/⁠с

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · ДВА ТЕЛА

Отпустим Солнце

ОБРАТНЫЙ КВАДРАТ · ДВА ТЕЛА

Сведём два тела к одному

d2r⃗dt2=−G (m1+m2) r⃗r3\displaystyle \frac{d^2\vec r}{dt^2} = -G\,(m_1 + m_2)\,\frac{\vec r}{r^3}
как вокруг неподвижного тела массы m1+m2m_1 + m_2
a3T2=G (M+m)4π2\displaystyle \frac{a^3}{T^2} = \frac{G\,(M + m)}{4\pi^2}
в третий закон входит сумма масс
ПараПоправка к a3/T2a^3/T^2
Солнце и Юпитер0,1 %
Земля и Луна1,2 %
Звёзды в 1 и 3 массы Солнца182,6 сут вместо 210,9

ОРБИТА · ОДНА КООРДИНАТА

Разложим скорость и ускорение по радиусу и углу

O ϕ r O ϕ r e r e ϕ v r v ϕ v
Слева e⃗r\vec e_r и e⃗φ\vec e_\varphi, справа vr=r˙v_r = \dot r и vφ=rφ˙v_\varphi = r\dot\varphi
v⃗=r˙ e⃗r+rφ˙ e⃗φ\displaystyle \vec v = \dot r\,\vec e_r + r\dot\varphi\,\vec e_\varphi
единичные векторы поворачиваются с точкой
a⃗=(r¨−rφ˙2)e⃗r+(rφ¨+2r˙φ˙)e⃗φ\displaystyle \vec a = \left(\ddot r - r\dot\varphi^2\right)\vec e_r + \left(r\ddot\varphi + 2\dot r\dot\varphi\right)\vec e_\varphi
дифференцируем ещё раз
rφ¨+2r˙φ˙=1r ddt(r2φ˙)\displaystyle r\ddot\varphi + 2\dot r\dot\varphi = \frac{1}{r}\,\frac{d}{dt}\bigl(r^2\dot\varphi\bigr)
угловая часть: производная r2φ˙r^2\dot\varphi
Сила к центру: угловая часть ноль, и r2φ˙r^2\dot\varphi стоит

ОРБИТА · ОДНА КООРДИНАТА

Уберём угол из энергии

vr22+vφ22−GMr=E\displaystyle \frac{v_r^2}{2} + \frac{v_\varphi^2}{2} - \frac{G M}{r} = \mathcal{E}
энергия на килограмм, скорость по радиусу и поперёк
vφ=Lmr=lr\displaystyle v_\varphi = \frac{L}{m r} = \frac{l}{r}
азимутальную часть даёт момент
vr22+l22r2−GMr=E\displaystyle \frac{v_r^2}{2} + \frac{l^2}{2 r^2} - \frac{G M}{r} = \mathcal{E}
остались только rr и vrv_r
Платим тем, что теряем угол и ход времени

ОРБИТА · ОДНА КООРДИНАТА

Соберём эффективную энергию

r U эфф E > 0 ,гипербола E =0 ,парабола E < 0 ,эллипс E = U min ,окружность
Точка бывает там, где кривая не выше уровня E\mathcal E
Uэфф(r)=l22r2−GMr\displaystyle U_{\text{эфф}}(r) = \frac{l^2}{2r^2} - \frac{G M}{r}
кусок кинетической плюс энергия тяготения
vr22+Uэфф(r)=E\displaystyle \frac{v_r^2}{2} + U_{\text{эфф}}(r) = \mathcal{E}
движение по прямой, и уравнение точное
График отвечает, где точка может быть, но не когда

ОРБИТА · ТИПЫ

Прочитаем орбиту по уровню энергии

УровеньДвижениеОрбита при 1/r21/r^2
E<0\mathcal E < 0финитное, в кольцеэллипс
E=0\mathcal E = 0уходит, на бесконечности стоитпарабола
E>0\mathcal E > 0уходит со скоростьюгипербола
rкруг=l2GMr_{\text{круг}} = \frac{l^2}{GM}
на дне кривой радиус не меняется: окружность

ОРБИТА · ТИПЫ

Сдвинем уровень энергии

ОРБИТА · ТИПЫ

Разгонимся у планеты

ОРБИТА · СКОРОСТИ

Выстрелим из пушки Ньютона

ОРБИТА · СКОРОСТИ

Посчитаем первую и вторую космические

v12RЗ=GMRЗ2\displaystyle \frac{v_1^2}{R_{\text{З}}} = \frac{GM}{R_{\text{З}}^2}
у поверхности тяготение даёт центростремительное
v1=GMRЗ=gRЗ=7,91 км/с\displaystyle v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R_{\text{З}}}} = \sqrt{g R_{\text{З}}} = 7{,}91 \ \text{км/с}
первая космическая
v22−GMRЗ=0\displaystyle \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R_{\text{З}}} = 0
уход: полная энергия ноль
v2=2GMRЗ=11,2 км/с\displaystyle v_2 = \sqrt{2 \frac{GM}{R_{\text{З}}}} = 11{,}2 \ \text{км/с}
вторая, в 2\sqrt 2 раз больше первой
Направление не важно: энергия скаляр

ОРБИТА · ПОЛУОСИ

Выразим полуоси через энергию и момент

F 1 F 2 r min r max b a a c
Фокус F1F_1: до перицентра rminr_{\text{min}}, до апоцентра rmaxr_{\text{max}}
rmin+rmax=−GME,rmin⋅rmax=−l22E\displaystyle r_{\text{min}} + r_{\text{max}} = -\frac{GM}{\mathcal{E}}, \quad r_{\text{min}} \cdot r_{\text{max}} = -\frac{l^2}{2\mathcal{E}}
корни rminr_{\text{min}} и rmaxr_{\text{max}} по теореме Виета
a=rmin+rmax2=−GM2E\displaystyle a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = -\frac{GM}{2\mathcal{E}}
большая полуось только от энергии
b=rmin⋅rmax=l−2E\displaystyle b = \sqrt{r_{\text{min}} \cdot r_{\text{max}}} = \frac{l}{\sqrt{-2\mathcal{E}}}
малая ещё и от момента

ОРБИТА · ПОЛУОСИ

Перейдём на геостационар двумя разгонами

Два разгона, 2,43 и 1,47 км/⁠с, всего около 3,9 км/⁠с

ОРБИТА · ТРЕТИЙ ЗАКОН

Выведем третий закон Кеплера

S=πab=πa⋅laGM\displaystyle S = \pi ab = \pi a \cdot l \sqrt{\frac{a}{GM}}
площадь πab\pi ab, в bb подставили энергию
S=dσdt⋅T=l2 T\displaystyle S = \frac{d\sigma}{dt} \cdot T = \frac{l}{2}\, T
та же площадь: секториальная скорость на период
S2=l2T24=π2a2l2aGM\displaystyle S^2 = \frac{l^2 T^2}{4} = \pi^2 a^2 \frac{l^2 a}{GM}
приравняли квадраты, и ll сократился
a3T2=GM4π2=K\displaystyle \frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4 \pi^2} = K
постоянная Кеплера, одна для всех орбит
По году и по массе Солнца: 3,36⋅1018 м3/с23{,}36\cdot10^{18}\ \text{м}^3/\text{с}^2

ОРБИТА · ЗАМКНУТОСТЬ

Отличим обратный квадрат от других законов

ОРБИТА · ЗАМКНУТОСТЬ

Проверим закон на Меркурии

F ∝ 1 /r 2 F ∝ 1 /r 2 , 2 F ∝ r
Обратный квадрат, 1/r2,21/r^{2{,}2} и упругая сила из одного старта
Перигелий МеркурияЗа век
Поворот по наблюдениям574″
Дают другие планетыоколо 532″
Остаток: теория относительностиоколо 43″
Здесь проходит граница закона тяготения в Солнечной системе

СЧЁТ ЗАКРЫТ

Сравним три величины

ИмпульсЭнергияМомент импульса
Множитель у парыобщий dtdtу каждого своё dr⃗d\vec rу каждого свой r⃗\vec r
Пара внутренних силсокращается при равенствеостаётсясокращается при равенстве и общей прямой
Условие на внешнюю силунулевая суммаработа не зависит от путинаправлена к неподвижному центру
На орбите планетыменяетсясохраняетсясохраняется
Второй закон Кеплера о направлении силы, первый и третий о законе

ДОМАШНЕЕ · ТРИ ЗАДАЧИ

С чего начать дома

ЗадачаС чего начать
Геостационарный спутникТретий закон Кеплера для двух спутников
Период двойной звездыВ третий закон входит сумма масс
Уход с круговой орбитыНа границе ухода полная энергия ноль
Десять вопросов и три задачи лежат на странице недели

Дальше: твёрдое тело

Вопросы и задачи лежат на странице недели

ФИЗИКА 1 · НЕДЕЛЯ 05

← Неделя 05