Предмет физики. Размерности

Физика 1 · лекция 01

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

О КУРСЕ · КТО ЧИТАЕТ

Кирилл Клименок

Выпускник МФТИ 2014 года, кандидат физико-математических наук с 2018 года.
Девять лет на Физтехе
С 2014 по 2023 вёл лабораторные, семинары и лекции. Этот курс читаю с осени 2024 года, по приглашению Гасникова.
Почему дистанционно
Работаю в исследовательском центре в Бостоне, поэтому лекции идут дистанционно.

О КУРСЕ · УСТРОЙСТВО

Классическая физика за два семестра

Осенью тринадцать недель, лекция раз в неделю, по четвергам. Каждая записывается и остаётся у вас навсегда.
Что даёт лекция
Ход мысли и то, ради чего всё это. Слушать живьём полезнее, но пропуск не катастрофа: запись, конспект и слайды лежат в системе.
Что не заменяет запись
Разбор с преподавателем. Он раз в неделю и оценивается, и вот его пропускать нельзя.

О КУРСЕ · РАЗБОРЫ

Вместо семинаров разборы

Раз в неделю встреча с преподавателем: вопросы по теории, разбор задач, иногда задача сверх. По итогам ставится оценка.
Один на один или в малых группах
Зависит от преподавателя. Даже в группе вопросы у каждого свои, и отсидеться за спиной соседа не выйдет.
Время выбираете вы
Преподаватель заводит слоты, вы записываетесь на удобный. В кабинете видно, кто принимает.

О КУРСЕ · РАСПИСАНИЕ

Почему у разборов нет одного времени

Преподаватели курса раскиданы по миру: Бостон, Калифорния, Китай, Москва, Иннополис. В одно время это не собирается.
Кто в Иннополисе
Принимают очно по средам с утра, по расписанию. Это оно и стоит в расписании как семинары.
Все остальные
Свои сессии в своё время. Слоты заводят сами преподаватели, и появляются они в кабинете.

О КУРСЕ · ОЦЕНКА

Из чего складывается итог

итог=0,7⋅⟨недели⟩+0,3⋅экзамен\text{итог} = 0{,}7 \cdot \langle\text{недели}\rangle + 0{,}3 \cdot \text{экзамен}
среднее берётся по всем тринадцати неделям, а не по сданным: пропущенная неделя это ноль
ОценкаИтоговый балл
Aот 8,00
Bот 5,00 до 7,99
Cот 3,00 до 4,99
Dниже 3,00
потолок за семестр без экзамена — ровно 7,00

О КУРСЕ · ЭКЗАМЕН

Как устроен экзамен

Банк примерно из сотни теоретических вопросов известен заранее. Из него собираются билеты.
Письменная часть
Десять-одиннадцать вопросов, сорок минут. Пишете ответы, без устного экзамена в классическом смысле.
Проверка на месте
Разбираем написанное вместе и задаём уточняющие вопросы там, где ответ непонятен.

О КУРСЕ · КАБИНЕТ

Что вы увидите у себя

Кабинет студента: список из тринадцати недель с дедлайнами
Три пункта меню, и это вся система: недели, ваши записи, ваши оценки

О КУРСЕ · КАБИНЕТ

Неделя изнутри

Раскрытая карточка недели: тема, преподаватель, кнопка материалов, запись на разбор
Материалы недели, ваш преподаватель и свободные слоты для записи

ВВЕДЕНИЕ · ПРЕДМЕТ

Что такое физика

Физика использует эксперимент, чтобы описывать объективную реальность.
Отвечаем «как»
Как устроено, как считается, как проверяется. Ответ измеряется и годится для расчёта.
Не отвечаем «почему»
Почему мир таков, а не другой, физика не спрашивает. Это вопрос философии.

КАРТА · ГДЕ МЫ НАХОДИМСЯ

КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА мир привычных скоростей и размеров ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Физика 1 · осень 2026 осенью краем Физика 2 · весна 2027 Механика Термодинамика и статистическая физика Гидродинамика и сплошные среды Колебания и волны Оптика Электромагнетизм Теория хаоса ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ когда скорость близка к световой Специальная теория относительности Общая теория относительности КВАНТОВАЯ ФИЗИКА когда масштабы атомные и меньше Атомная физика Физика конденсированного состояния Ядерная физика Физика частиц и Стандартная модель Квантовая теория поля ГРАНИЦА ЗНАНИЯ где теории пока не сходятся Тёмная материя Тёмная энергия Квантовая гравитация по мотивам Map of Physics, Dominic Walliman (Domain of Science)

КАРТА · НАША ЧАСТЬ

А теперь внутрь нашей клетки

граф ядра курса: узлы — понятия, рёбра — связи между ними

ВВЕДЕНИЕ · ML

Зачем физика в ML

Физик
Собирает экспериментальные данные и строит модель реальности, которая предсказывает поведение системы.
ML-инженер
Собирает данные и строит модель, которая предсказывает. Ремесло то же — другой материал.

ИЗМЕРЕНИЯ · ЗАЧЕМ

Зачем вообще измерять

Измерения дают количественное описание: без них не сравнить результаты и не проверить гипотезу.
  • Длина — в локтях, шагах и пядях; вес — в фунтах и стоунах
  • Торговля, наука и технологии потребовали стандартизации

ТЕЗИС

Что мы сегодня докажем

Единица измерения условна. Её выбрали люди, и выбрать могли иначе.
Требование
Физический закон не может зависеть от того, в чём мы меряем. Формула, которая ломается при переходе от метров к сантиметрам, описывает нашу линейку, а не природу.
Что из этого выйдет
Устройство любой физической величины, способ выбрасывать переменные из задачи и ответы к задачам, которых мы не решали.

ИЗМЕРЕНИЯ · ВАВИЛОН

Почему в круге 360 градусов

В Вавилоне считали, что в году 360 дней. А ещё 360 делится почти на всё.
s=θ⋅π⋅r180s = \frac{\theta \cdot \pi \cdot r}{180}
длина дуги через градусы: в формуле заводится множитель π/180

ИЗМЕРЕНИЯ · РАДИАН

Радиан: дуга, делённая на радиус

r s θ
θ=sr\theta = \frac{s}{r}
отношение двух длин — просто число, без соглашений

ИЗМЕРЕНИЯ · МЕТР

Метр родился из революции

  • Одна десятимиллионная расстояния от экватора до полюса
  • Десятичность: километр — это ровно 1000 метров
  • Время устояло: часы с десятью делениями не прижились

ИЗМЕРЕНИЯ · БАЙКА

Революционеры взялись и за время

Что поделили на десять
Сутки на 10 часов, час на 100 минут, неделя в 10 дней, месяцы уложены в 360 дней.
Чем кончилось
Бонапарт идею со временем не оценил, и её свернули. Длины и массы остались, часы вернулись к двенадцати.

ИЗМЕРЕНИЯ · БАЙКА

Америка так и живёт в футах

США метрическую систему не приняли: футы, фунты, унции, мили.
  • Навигатор говорит «через 3000 футов поверните направо», и это ни о чём не говорит
  • Договор старше удобства: перестроиться не выходит даже у тех, кто хочет

ИЗМЕРЕНИЯ · ЭТАЛОНЫ

Эталоны: слиток и атом

Металл
Метр — две риски на платино-иридиевом слитке. Килограмм — эталон в Международном бюро мер и весов.
Атом
Секунда с 1967 года — частота перехода в цезии-133. Такой эталон нельзя поцарапать.

ИЗМЕРЕНИЯ · СЕМЬ ВЕЛИЧИН

Договорились о семи величинах

Первичные величины ниоткуда не выводятся: о них договорились. Вторичные собираются из первичных.
  • Длина — метр
  • Масса — килограмм
  • Время — секунда
  • Сила тока — ампер
  • Температура — кельвин
  • Количество вещества — моль
  • Сила света — кандела

ИЗМЕРЕНИЯ · КОНСТАНТЫ

СИ теперь держится на константах

с секунда кг килограмм моль кд кандела К кельвин А ампер м метр ΔνCs h NA Kcd kB e c 9 192 631 770 Гц 299 792 458 м/с 6,626 070 15·10⁻³⁴ Дж·с 6,022 140 76·10²³ моль⁻¹ 683 кд·ср/Вт 1,380 649·10⁻²³ Дж/К 1,602 176 634·10⁻¹⁹ Кл

ИЗМЕРЕНИЯ · КОНСТАНТЫ

Каждая единица прибита к своей константе

Семь базовых единиц СИ и мировые константы, через которые они определены
Семь единиц, семь констант и старые определения в блоках «КОГДА-ТО»

ИЗМЕРЕНИЯ · НАПРАВЛЕНИЕ

Куда движется единица

ЕдиницаОт чего зависит
Градусот обычая одного народа
Метрот размеров одной планеты
Эталон в Севреот одного предмета в подвале
Мировая константани от чего, кроме природы
каждый шаг убирает произвол предыдущего и уводит от привычного масштаба

ИЗМЕРЕНИЯ · СГС

СГС: а можно без кулона?

F=14πϵ0q1q2r2F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}
СИ: нужна ε₀ и отдельная единица заряда
F=q1q2r2F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
СГС: заряд собран из грамма, сантиметра и секунды
[q]=L3/2M1/2T−1[q] = \mathrm{L}^{3/2}\mathrm{M}^{1/2}\mathrm{T}^{-1}
никакой новой базовой величины: только длина, масса и время

ИЗМЕРЕНИЯ · ПЛАНК

Планковские единицы: вершина объективности

lp=ℏGc3≈1.616×10−35 м\displaystyle l_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \approx 1.616 \times 10^{-35} \ \text{м}
длина
tp=ℏGc5≈5.391×10−44 с\displaystyle t_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \approx 5.391 \times 10^{-44} \ \text{с}
время
mp=ℏcG≈2.176×10−8 кг\displaystyle m_p = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \approx 2.176 \times 10^{-8} \ \text{кг}
масса

РАЗМЕРНОСТИ · ПРИНЦИП

Требование, из которого всё выйдет

a=f(a1,…,an)сохраняет вид приai→kiaia = f(a_1, \ldots, a_n) \quad \text{сохраняет вид при} \quad a_i \to k_i a_i
масштабы единиц меняем как угодно, вид закона обязан остаться прежним
Что метод даст
Форму зависимости. Период маятника пропорционален корню из отношения длины к ускорению свободного падения.
Чего не даст никогда
Числа. Множитель 2π из размерностей не извлекается ничем: он приходит из решения уравнений или из одного измерения.

РАЗМЕРНОСТИ · ФОРМУЛА

Размерность — всегда произведение степеней

[Q]=La⋅Mb⋅Tc\left[ Q \right] = \text{L}^a \cdot \text{M}^b \cdot \text{T}^c
у каждой величины — свой набор показателей a, b, c

РАЗМЕРНОСТИ · ВОПРОС ЗАЛУ

А может размерность быть любой функцией?

Почему размерность обязана быть произведением степеней? Почему не сумма, не синус, не корень из суммы?

РАЗМЕРНОСТИ · ВЫВОД

Что значит «изменить масштаб»

все размеры × k a3 a1 a2 ka3 ka1 ka2 A = (a1, a2, a3) V = f(A) kA = (ka1, ka2, ka3) f(kA) = k3V

РАЗМЕРНОСТИ · ВЫВОД

Докажем масштабированием

f(A)f(kA)=f(B)f(kB)=ϕ(k)\displaystyle \frac{f(A)}{f(kA)} = \frac{f(B)}{f(kB)} = \phi(k)
отношение объёмов не зависит от самих тел — только от масштаба k
ϕ(k1k2)=f(A)f(k1k2A)=f(A)f(k1A)⋅f(k1A)f(k1k2A)=ϕ(k1)⋅ϕ(k2)\displaystyle \phi(k_1 k_2) = \frac{f(A)}{f(k_1 k_2 A)} = \frac{f(A)}{f(k_1 A)} \cdot \frac{f(k_1 A)}{f(k_1 k_2 A)} = \phi(k_1) \cdot \phi(k_2)
двойное масштабирование — произведение
ϕ(k)=kN\displaystyle \phi(k) = k^N
единственная гладкая функция с таким свойством

РАЗМЕРНОСТИ · ВОПРОС ЗАЛУ

А что будет с логарифмом?

Возьмём логарифм от размерной величины. Что станет с размерностью?
ln⁡(1+x)=x−x22+x33−…\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots
ряд складывает степени аргумента, а складывать можно только однородное
Значит аргумент обязан быть безразмерным. Само разложение берём готовым: этому учат в курсе математического анализа.

РАЗМЕРНОСТИ · ПРОВЕРКА

Два правила, которые ловят ошибку

Уравнение однородно
Все слагаемые обеих частей одной размерности. Иначе при смене единиц они умножатся на разные числа, и равенство развалится.
Аргумент безразмерен
Под логарифмом, экспонентой и синусом только безразмерная комбинация: ряд складывает степени аргумента, а складывать можно однородное.
Ошибку эти правила ловят, а правоту не подтверждают.

РАЗМЕРНОСТИ · НЕЗАВИСИМОСТЬ

Зависимые и независимые размерности

[a]=[b1]p1[b2]p2…[bn]pn[a] = [b_1]^{p_1} [b_2]^{p_2} \ldots [b_n]^{p_n}
если таких степеней не существует — величины размерно-независимы
Как линейная зависимость
Размерно-зависимая величина раскладывается по другим, как вектор по базису. Только вместо коэффициентов — показатели степеней.
Как смена базиса
Безразмерные комплексы, которые получатся дальше, — это переход к новому базису. Система та же, координаты другие.

РАЗМЕРНОСТИ · ДАВЛЕНИЕ

Соберём давление из вязкости, тяжести и длины

[P]=[η]p[g]q[l]r\displaystyle [P] = [\eta]^p [g]^q [l]^r
вязкость нам ещё не встречалась; для выкладки хватит её размерности ML⁻¹T⁻¹
{p=1−2q−p=−2−p+q+r=−1\displaystyle \begin{cases} p = 1 \\ -2q - p = -2 \\ -p + q + r = -1 \end{cases}
приравняли показатели при M, T и L
[P]=[η]1[g]1/2[l]−1/2\displaystyle [P] = [\eta]^1 [g]^{1/2} [l]^{-1/2}
решение единственно; дробные степени — это нормально

РАЗМЕРНОСТИ · ВОПРОС ЗАЛУ

От чего зависит период?

Два маятника, у второго груз впятеро тяжелее. Отпускаем разом. Что покажет секундомер?
От чего вообще может зависеть период: масса, длина, ускорение свободного падения. И, наверное, размах — проверим и это.

РАЗМЕРНОСТИ · ЭКСПЕРИМЕНТ

Меняем по одной величине

ПИ-ТЕОРЕМА · ФОРМУЛИРОВКА

Пи-теорема

a=f(a1,…,ak,ak+1,…,an)a = f(a_1, \ldots, a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n)
исходная зависимость: n аргументов, среди них k с независимыми размерностями
Условие: вид функции не меняется при смене масштабов в выбранном классе систем единиц.
π=F(π1,…,πn−k)\pi = F(\pi_1, \ldots, \pi_{n-k})
тогда зависимость эквивалентна связи n − k безразмерных величин, и ничего кроме них

ПИ-ТЕОРЕМА · ВЫВОД

Докажем в три шага

a=f(a1,…,ak,ak+1,…,an)⇒π=f(a1,…,ak,πk+1,…,πn)\displaystyle a = f(a_1, \ldots, a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n) \Rightarrow \pi = f(a_1, \ldots, a_k, \pi_{k+1}, \ldots, \pi_n)
обезразмерили всё, что можно
π=f(a1,…,ak,πk+1,…,πn)⇒π=f(10a1,…,ak,πk+1,…,πn)\displaystyle \pi = f(a_1, \ldots, a_k, \pi_{k+1}, \ldots, \pi_n) \Rightarrow \pi = f(10a_1, \ldots, a_k, \pi_{k+1}, \ldots, \pi_n)
масштаб a₁ изменили, вид не поменялся — значит, зависимости от a₁ нет
π=f(πk+1,…,πn)\displaystyle \pi = f(\pi_{k+1}, \ldots, \pi_n)
повторили для a₂…a_k — остались одни безразмерные π

ПИ-ТЕОРЕМА · ПАДЕНИЕ

Свободное падение: как не надо и как надо

S=kt2\displaystyle S = k t^2
k меняется при смене масштаба времени — пи-теорему такая формула не выдерживает
π=Sgt2\displaystyle \pi = \frac{S}{gt^2}
единственная безразмерная комбинация задачи
S=kgt2\displaystyle S = kgt^2
вид закона восстановлен; k = 1/2 приходит уже из решения

ПИ-ТЕОРЕМА · РУКАМИ

Соберём комбинации руками

ПИ-ТЕОРЕМА · РЕЙНОЛЬДС

Вязкое трение и число Рейнольдса

F=f(η,v,r,ρ)\displaystyle F = f(\eta, v, r, \rho)
пять величин, три независимые размерности — комбинаций две
π1=Fηvr\displaystyle \pi_1 = \frac{F}{\eta vr}
безразмерная сила
π2=ρvrη\displaystyle \pi_2 = \frac{\rho vr}{\eta}
а это — число Рейнольдса
Fηvr=f(ρvrη)\displaystyle \frac{F}{\eta vr} = f\left(\frac{\rho vr}{\eta}\right)
связь двух комплексов, и только их

ПИ-ТЕОРЕМА · ЭКСПЕРИМЕНТ

Пять опытов на одной кривой

ПИ-ТЕОРЕМА · ML

Уберём аргументы, ничего не потеряв

Сила сопротивления зависит от четырёх величин. Пи-теорема сворачивает их в один аргумент.
Fρv2r2=Φ ⁣(ρvrη)\frac{F}{\rho v^2 r^2} = \Phi\!\left(\frac{\rho v r}{\eta}\right)
пять величин, три базовые размерности, значит независимых комплексов ровно два

ПИ-ТЕОРЕМА · ML

Что это даёт

Цена в данных
Прощупать функцию четырёх переменных по десяти точкам на ось — это десять тысяч опытов. Функцию одного аргумента — десять.
Важнее экономии
Кривая, снятая на бусине в глицерине, предсказывает футбольный мяч. Модель на сырых признаках так не умеет: она не знает, что ответ зависит от произведения.

ПИ-ТЕОРЕМА · ВОПРОС ЗАЛУ

Удвоим шар и уполовиним скорость

Радиус шара увеличили вдвое, скорость потока уменьшили вдвое, жидкость та же. Что случится с картиной обтекания?
Ничего. Число Рейнольдса осталось прежним, значит и обтекание прежнее: две задачи подобны.

ПИ-ТЕОРЕМА · ПОДОБИЕ

Зачем это инженерам

Уменьшенная модель отвечает за полноразмерную машину, пока у них сходятся безразмерные комплексы.
Две динамические модели на испытательных стендах: копия ракеты семейства «Сатурн» и модель «Шаттла», рядом человек для масштаба
Динамические модели NASA: копия ракеты семейства «Сатурн» и модель «Шаттла» в масштабе 1:8. Человек в кадре для масштаба

ПИ-ТЕОРЕМА · АЭРОТРУБА

А теперь модель в трубе

Дозвуковая труба Корейского аэрокосмического института (KARI), 2016. Модель истребителя KF-X · CC BY 3.0

ТРИНИТИ · СНИМОК

Что можно вытащить из одного кадра?

Огненный шар взрыва Тринити через 25 миллисекунд после подрыва
Тринити, 16 июля 1945 года. Съёмка группы Дж. Мака и Б. Брикснера, Лос-Аламос · общественное достояние

ТРИНИТИ · ОЦЕНКА

Энергия из одной фотографии

E∼ρR5t2E \sim \frac{\rho R^{5}}{t^{2}}
плотность воздуха, радиус шара, время. Больше ничего не нужно
E∼1,2⋅13050,0252≈7⋅1013 Дж\displaystyle E \sim \frac{1{,}2 \cdot 130^{5}}{0{,}025^{2}} \approx 7 \cdot 10^{13} \ \text{Дж}
подставляем прямо с фотографии
E≈17 кт\displaystyle E \approx 17 \ \text{кт}
килотонна — это энергия тысячи тонн тротила, 4,18·10¹² Дж

ТРИНИТИ · ЧЕМ КОНЧИЛОСЬ

Тейлор попал

Оценка размерностями
У Тейлора в 1950 году вилка от 9 до 34 тысяч тонн, сам он предпочёл 16,8. Считано по рассекреченным снимкам.
Что там было
Официально десятилетиями 21 кт, радиохимическая переоценка 2021 года дала 24,8 ± 2. Порядок величины угадан с фотографии.

ИТОГ

Что дало одно требование

ПолучилиИз чего
Размерность есть произведение степенейиз преобразования масштабов
Деление величин на зависимые и независимыеиз формулы размерностей
n величин сворачиваются в n − k комплексовиз того же требования
Энергия ядерного взрыва по одному кадруиз трёх величин и трёх размерностей
и ни одного уравнения движения по дороге

Дальше — кинематика точки

Вопросы, задача про энтропию и демки — на странице недели

ФИЗИКА 1 · НЕДЕЛЯ 01

← Неделя 01