Предмет физики. Размерности

Физика 1 · лекция 01

УНИВЕРСИТЕТ ИННОПОЛИС · ОСЕНЬ 2026

ВВЕДЕНИЕ · ПРЕДМЕТ

Что такое физика

Физика использует эксперимент, чтобы описывать объективную реальность.
Отвечаем «как»
Как устроено, как считается, как проверяется. Ответ измеряется и годится для расчёта.
Не отвечаем «почему»
Почему мир таков, а не другой, физика не спрашивает. Это вопрос философии.

КАРТА · ГДЕ МЫ НАХОДИМСЯ

КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА мир привычных скоростей и размеров ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Физика 1 · осень 2026 Механика Термодинамика и статистическая физика Гидродинамика и сплошные среды Колебания и волны Оптика Электромагнетизм Теория хаоса ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ когда скорость близка к световой Специальная теория относительности Общая теория относительности КВАНТОВАЯ ФИЗИКА когда масштабы атомные и меньше Атомная физика Физика конденсированного состояния Ядерная физика Физика частиц и Стандартная модель Квантовая теория поля ГРАНИЦА ЗНАНИЯ где теории пока не сходятся Тёмная материя Тёмная энергия Квантовая гравитация по мотивам Map of Physics, Dominic Walliman (Domain of Science)

КАРТА · НАША ЧАСТЬ

А теперь внутрь нашей клетки

граф ядра курса: узлы — понятия, рёбра — связи между ними

ВВЕДЕНИЕ · ML

Зачем физика в ML

Физик
Собирает экспериментальные данные и строит модель реальности, которая предсказывает поведение системы.
ML-инженер
Собирает данные и строит модель, которая предсказывает. Ремесло то же — другой материал.

ВВЕДЕНИЕ · КУРС

Как устроен курс

  • Первый семестр: механика и термодинамика
  • Второй семестр: электромагнетизм и оптика
  • Летом — квантовая физика, 7 недель, по желанию

ИЗМЕРЕНИЯ · ЗАЧЕМ

Зачем вообще измерять

Измерения дают количественное описание: без них не сравнить результаты и не проверить гипотезу.
  • Длина — в локтях, шагах и пядях; вес — в фунтах и стоунах
  • Торговля, наука и технологии потребовали стандартизации

ИЗМЕРЕНИЯ · СЕМЬ ВЕЛИЧИН

Договорились о семи величинах

Первичные величины ниоткуда не выводятся: о них договорились. Вторичные собираются из первичных.
  • Длина — метр
  • Масса — килограмм
  • Время — секунда
  • Сила тока — ампер
  • Температура — кельвин
  • Количество вещества — моль
  • Сила света — кандела

ИЗМЕРЕНИЯ · ВАВИЛОН

Почему в круге 360 градусов

В Вавилоне считали, что в году 360 дней. А ещё 360 делится почти на всё.
s=θ⋅π⋅r180s = \frac{\theta \cdot \pi \cdot r}{180}
длина дуги через градусы: в формуле заводится множитель π/180

ИЗМЕРЕНИЯ · РАДИАН

Радиан: дуга, делённая на радиус

r s θ
θ=sr\theta = \frac{s}{r}
отношение двух длин — просто число, без соглашений

ИЗМЕРЕНИЯ · МЕТР

Метр родился из революции

  • Одна десятимиллионная расстояния от экватора до полюса
  • Десятичность: километр — это ровно 1000 метров
  • Время устояло: часы с десятью делениями не прижились
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ИЗМЕРЕНИЯ · БАЙКА

Революционеры взялись и за время

Что поделили на десять
Сутки на 10 часов, час на 100 минут, неделя в 10 дней, месяцы уложены в 360 дней.
Чем кончилось
Бонапарт идею со временем не оценил, и её свернули. Длины и массы остались, часы вернулись к двенадцати.

ИЗМЕРЕНИЯ · БАЙКА

Америка так и живёт в футах

США метрическую систему не приняли: футы, фунты, унции, мили.
  • Навигатор говорит «через 3000 футов поверните направо», и это ни о чём не говорит
  • Договор старше удобства: перестроиться не выходит даже у тех, кто хочет

ИЗМЕРЕНИЯ · ЭТАЛОНЫ

Эталоны: слиток и атом

Металл
Метр — две риски на платино-иридиевом слитке. Килограмм — эталон в Международном бюро мер и весов.
Атом
Секунда с 1967 года — частота перехода в цезии-133. Такой эталон нельзя поцарапать.

ИЗМЕРЕНИЯ · КОНСТАНТЫ

СИ теперь держится на константах

с секунда кг килограмм моль кд кандела К кельвин А ампер м метр ΔνCs h NA Kcd kB e c 9 192 631 770 Гц 299 792 458 м/с 6,626 070 15·10⁻³⁴ Дж·с 6,022 140 76·10²³ моль⁻¹ 683 кд·ср/Вт 1,380 649·10⁻²³ Дж/К 1,602 176 634·10⁻¹⁹ Кл

ИЗМЕРЕНИЯ · КОНСТАНТЫ

Каждая единица прибита к своей константе

Семь базовых единиц СИ и мировые константы, через которые они определены
Семь единиц, семь констант и старые определения в блоках «КОГДА-ТО»

ИЗМЕРЕНИЯ · СГС

СГС: а можно без кулона?

F=14πϵ0q1q2r2F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}
СИ: нужна ε₀ и отдельная единица заряда
F=q1q2r2F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
СГС: заряд собран из грамма, сантиметра и секунды

ИЗМЕРЕНИЯ · ПЛАНК

Планковские единицы: вершина объективности

lp=ℏGc3≈1.616×10−35 мl_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \approx 1.616 \times 10^{-35} \ \text{м}
длина
tp=ℏGc5≈5.391×10−44 сt_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \approx 5.391 \times 10^{-44} \ \text{с}
время
mp=ℏcG≈2.176×10−8 кгm_p = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \approx 2.176 \times 10^{-8} \ \text{кг}
масса

РАЗМЕРНОСТИ · ФОРМУЛА

Размерность — всегда произведение степеней

[Q]=La⋅Mb⋅Tc\left[ Q \right] = \text{L}^a \cdot \text{M}^b \cdot \text{T}^c
у каждой величины — свой набор показателей a, b, c

РАЗМЕРНОСТИ · ВОПРОС ЗАЛУ

А может размерность быть любой функцией?

Почему размерность обязана быть произведением степеней? Почему не сумма, не синус, не корень из суммы?

РАЗМЕРНОСТИ · ВЫВОД

Докажем масштабированием

f(A)f(kA)=f(B)f(kB)=ϕ(k)\frac{f(A)}{f(kA)} = \frac{f(B)}{f(kB)} = \phi(k)
отношение объёмов не зависит от самих тел — только от масштаба k
ϕ(k1k2)=f(A)f(k1k2A)=f(A)f(k1A)⋅f(k1A)f(k1k2A)=ϕ(k1)⋅ϕ(k2)\phi(k_1 k_2) = \frac{f(A)}{f(k_1 k_2 A)} = \frac{f(A)}{f(k_1 A)} \cdot \frac{f(k_1 A)}{f(k_1 k_2 A)} = \phi(k_1) \cdot \phi(k_2)
двойное масштабирование — произведение
ϕ(k)=kN\phi(k) = k^N
единственная гладкая функция с таким свойством

РАЗМЕРНОСТИ · ВОПРОС ЗАЛУ

А что будет с логарифмом?

Возьмём логарифм от размерной величины. Что станет с размерностью?

РАЗМЕРНОСТИ · НЕЗАВИСИМОСТЬ

Зависимые и независимые размерности

[a]=[b1]p1[b2]p2…[bn]pn[a] = [b_1]^{p_1} [b_2]^{p_2} \ldots [b_n]^{p_n}
если таких степеней не существует — величины размерно-независимы
Как линейная зависимость
Размерно-зависимая величина раскладывается по другим, как вектор по базису. Только вместо коэффициентов — показатели степеней.
Как смена базиса
Безразмерные комплексы, которые получатся дальше, — это переход к новому базису. Система та же, координаты другие.

РАЗМЕРНОСТИ · ДАВЛЕНИЕ

Соберём давление из вязкости, тяжести и длины

[P]=[η]p[g]q[l]r[P] = [\eta]^p [g]^q [l]^r
ищем показатели p, q, r
{p=1−2q−p=−2−p+q+r=−1\begin{cases} p = 1 \\ -2q - p = -2 \\ -p + q + r = -1 \end{cases}
приравняли показатели при M, T и L
[P]=[η]1[g]1/2[l]−1/2[P] = [\eta]^1 [g]^{1/2} [l]^{-1/2}
решение единственно; дробные степени — это нормально

РАЗМЕРНОСТИ · ВОПРОС ЗАЛУ

Совпадут ли периоды?

Два одинаковых маятника, но у второго груз впятеро тяжелее. Отпускаем разом. Что покажет секундомер?

РАЗМЕРНОСТИ · ЭКСПЕРИМЕНТ

Проверим теорию экспериментом

ПИ-ТЕОРЕМА · ФОРМУЛИРОВКА

Пи-теорема

Вместо n размерных аргументов у зависимости остаётся n − k безразмерных комбинаций.
aa1α…akω=F(ak+1a1b1…akbk,…,ana1z1…akzk)⟺π=F(π1,…,πp)\frac{a}{a_1^{\alpha} \ldots a_k^{\omega}} = F\left(\frac{a_{k+1}}{a_1^{b_1} \ldots a_k^{b_k}}, \ldots, \frac{a_n}{a_1^{z_1} \ldots a_k^{z_k}}\right) \Longleftrightarrow \pi = F(\pi_1, \ldots, \pi_p)
зависимость связывает не сами величины, а их безразмерные комбинации

ПИ-ТЕОРЕМА · ML

Уберём аргументы, ничего не потеряв

Сто признаков на выборке в десять тысяч строк стоят вычислений, а вычисления стоят денег.
Обычный способ
Выбросить часть признаков или слепить их эвристикой. За сокращение платят потерей информации.
Способ пи-теоремы
Склеить величины в безразмерные комплексы. Аргументов меньше ровно на число независимых размерностей, информация о системе цела.

ПИ-ТЕОРЕМА · ВЫВОД

Докажем в три шага

a=f(a1,…,ak,ak+1,…,an)⇒π=f(a1,…,ak,πk+1,…,πn)a = f(a_1, \ldots, a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n) \Rightarrow \pi = f(a_1, \ldots, a_k, \pi_{k+1}, \ldots, \pi_n)
обезразмерили всё, что можно
π=f(a1,…,ak,πk+1,…,πn)⇒π=f(10a1,…,ak,πk+1,…,πn)\pi = f(a_1, \ldots, a_k, \pi_{k+1}, \ldots, \pi_n) \Rightarrow \pi = f(10a_1, \ldots, a_k, \pi_{k+1}, \ldots, \pi_n)
масштаб a₁ изменили, вид не поменялся — значит, зависимости от a₁ нет
π=f(πk+1,…,πn)\pi = f(\pi_{k+1}, \ldots, \pi_n)
повторили для a₂…a_k — остались одни безразмерные π

ПИ-ТЕОРЕМА · ПАДЕНИЕ

Свободное падение: как не надо и как надо

S=kt2S = k t^2
k меняется при смене масштаба времени — пи-теорему такая формула не выдерживает
π=Sgt2\pi = \frac{S}{gt^2}
единственная безразмерная комбинация задачи
S=kgt2S = kgt^2
вид закона восстановлен; k = 1/2 приходит уже из решения

ПИ-ТЕОРЕМА · РУКАМИ

Соберём комбинации руками

ПИ-ТЕОРЕМА · РЕЙНОЛЬДС

Вязкое трение и число Рейнольдса

F=f(η,v,r,ρ)F = f(\eta, v, r, \rho)
пять величин, три независимые размерности — комбинаций две
π1=Fηvr\pi_1 = \frac{F}{\eta vr}
безразмерная сила
π2=ρvrη\pi_2 = \frac{\rho vr}{\eta}
а это — число Рейнольдса
Fηvr=f(ρvrη)\frac{F}{\eta vr} = f\left(\frac{\rho vr}{\eta}\right)
вся гидродинамика шарика — функция одной переменной

ПИ-ТЕОРЕМА · ВОПРОС ЗАЛУ

Удвоим шар и уполовиним скорость

Радиус шара увеличили вдвое, скорость потока уменьшили вдвое, жидкость та же. Что случится с картиной обтекания?

ПИ-ТЕОРЕМА · ПОДОБИЕ

Зачем это инженерам

Уменьшенная модель отвечает за полноразмерную машину, пока у них сходятся безразмерные комплексы.
Ракета-носитель и её уменьшенная модель на стапеле, человек в кадре для масштаба
Ракета-носитель и её продувочная модель. Человек в кадре — для масштаба

ПИ-ТЕОРЕМА · АЭРОТРУБА

А теперь та же модель в трубе

Дозвуковая труба Корейского аэрокосмического института (KARI), 2016. Модель истребителя KF-X · CC BY 3.0

ТРИНИТИ · СНИМОК

Что можно вытащить из одного кадра?

Огненный шар взрыва Тринити через 25 миллисекунд после подрыва
Тринити, 16 июля 1945 года. Съёмка группы Дж. Мака и Б. Брикснера, Лос-Аламос · общественное достояние

ТРИНИТИ · ОЦЕНКА

Энергия из одной фотографии

E∼ρR5t2E \sim \frac{\rho R^{5}}{t^{2}}
плотность воздуха, радиус шара, время. Больше ничего не нужно
E∼1,2⋅13050,0252≈7⋅1013 ДжE \sim \frac{1{,}2 \cdot 130^{5}}{0{,}025^{2}} \approx 7 \cdot 10^{13} \ \text{Дж}
подставляем прямо с фотографии
E≈17 ктE \approx 17 \ \text{кт}
килотонна — это энергия тысячи тонн тротила, 4,18·10¹² Дж

ТРИНИТИ · ЧЕМ КОНЧИЛОСЬ

Тейлор попал

Оценка размерностями
У Тейлора в 1950 году вилка от 9 до 34 тысяч тонн, сам он предпочёл 16,8. Считано по рассекреченным снимкам.
Что там было
Официально десятилетиями 21 кт, радиохимическая переоценка 2021 года дала 24,8 ± 2. Порядок величины угадан с фотографии.

Дальше — кинематика точки

Вопросы, задача про энтропию и демки — на странице недели

ФИЗИКА 1 · НЕДЕЛЯ 01

← Неделя 01